2024长沙长郡中学高三上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题含解析

2024届高三暑假作业检测试卷

数学

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（    ）

A. ，1 B. 1， C. 1，1 D. ，

3. 设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ）

A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 8

4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（    ）

A. 36 B. 42 C. 50 D. 54

5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（    ）

A 若，，，，则

B. 若，，，则

C 若，，，则

D. 若，，，则

10. 已知圆，以下四个结论正确的是（    ）

A. 过点与圆M相切的直线方程为

B. 圆M与圆 相交

C. 过点可以作两条直线与圆M相切

D. 圆M上的点到直线的距离的最大值为3

11. 在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（    ）

A. 抛物线的方程为

B.

C. 以为直径的圆的方程是

D. 、、三点共线

12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（    ）

A

B.

C. 不存在，使得

D. 存在，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则__________.

14. 设等差数列的前项和为，已知，则__________.

15. 已知函数，则______．

16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知分别为内角的对边，且.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的值.

18. 已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求.

19. 如图所示，直三棱柱中，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？

（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中．

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

22. 已知函数.

（1）若在处切线方程平行于直线，求的值以及此时的切线方程；

（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.