初中数学苏科版八年级上册3.3 勾股定理的简单应用测试题

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【教学目标】
1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题；
2、学会选择适当的数学模型解决实际问题。
【教学重难点】
1、应用勾股定理解决实际问题；
2、把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）；
【知识亮解】
勾股定理的应用
勾股定理的作用
1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2、用于解决带有平方关系的证明问题；
3、与勾股定理有关的面积计算；
4、勾股定理在实际生活中的应用．
亮题一：勾股定理的证明
【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.
【例1】★下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．
【例2】★如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【例3】★★勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a。
S四边形ADCB= ，
S四边形ADCB= ，
∴ ，化简得：a2+b2=c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
亮题二：利用勾股定理解折叠问题
【例1】★如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．
【例5】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．
亮题三：利用勾股定理求最短路径
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理求解.
【例1】★如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为
A．B．C．D．
【例2】★如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．12m B．14m C．13m D．15m
【例3】★如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米。
A．4 B．8 C．9 D．7
【例4】★如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A 3 B. +2 C. D. 4
【例5】★如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A. （3+8）cm B. 10cm C. 8cm D. 无法确定
【例6】★★如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2 ， 腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________ cm．
亮题四：勾股定理的实际应用
【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.
【例1】★数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【例2】★如图，大小两猴在树上的点A处戏耍，在距离树的底部B 20米的C处有一水池，它们准备到水池里喝水，大猴从树上滑下走到池边，小猴则爬高5米到树的顶端D处后直接跃入池中，如果两猴经过的路程相同，求其树高BD.
【例3】★如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的莲花，它高出水面30 cm．突然一阵大风吹过，莲花被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道莲花移动的水平距离为60 cm，则水深是 ( )
A．35 cm B．40 cm C．50 cm D．45 cm

【例4】★如图，∠AOB＝90°，OA＝9 cm，OB＝3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【例5】★★如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．
【亮点训练】
1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
3．一架米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑动（ ）
A．0.4米B．米C．米D．米
4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5
6．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为 ___________m.
7．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为______．
8．如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于______．
9．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．
10．如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______．
11．一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．
(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了吗？
12．抽油机是石油工业中最常见的设备，如图是一架抽油机机械臂的抽象图，当机械臂自然下垂时，底端距离地面1m（即：）；当机械臂底端提升至距地面3m是（即：），与OA的水平距离为6m（即：），求该抽油机的机械臂长．
13．轮船甲从码头出发，沿着西南方向航行，与此同时，轮船乙也从码头出发沿着固定方向航行，已知轮船甲、乙的速度分别是20海里/时、15海里/时，他们离开码头2小时后分别行驶到处和处，此时两船相距50海里，且乙船在甲船的东部，画出示意图，并求轮船乙是沿着哪个方向航行？
14．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
15．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．
(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．
【培优检测】
1．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，有一块长为的长方形绿地，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小颖想在处立一个标牌“少走（ ）步，踏之何忍”，但小颖不知应填什么数字，请你帮助她填上．（假设两步为）
A．步B．步C．步D．步
3．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cmB．13cmC．12cmD．14cm
4．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（ ）
A．9尺B．9尺C．12尺D．12尺
5．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（ ）米．
A．1.6B．1.8C．2D．2.2
6．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．
8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min到达点，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min到达点．则、两点的直线距离为______m．
9．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________．
10．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是____________．
11．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径；
(2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
12．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？
13．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．
14．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
15．如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．
(1)用含有x的式子表示AB的长．
(2)求OB的长度；
(3)如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．