专题训练 勾股定理30道经典压轴题型-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）

专题训练 勾股定理30道经典压轴题型

【题型归纳】

勾股定理30道经典压轴题型

【重难点题型】

1．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）

①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④

3．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ）

A．13 B．12 C．11 D．10

4．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（　　）

①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

5．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．如图1，是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径OM＝20cm，把手MQ＝15cm，点O，M，Q在同一直线，用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠PQM大小可变），点P在轨道AB上来回滑动并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝80cm．若磨盘转动1周，则点P在轨道AB上滑过的路径长为（    ）

A．90cm B．150cm C．180cm D．70πcm

7．如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A．15 B．12 C．10 D．9

8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB＋∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，分别平分和，且点在上，分别是延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④恒为．其中结论正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）

A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1

11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则＝________．

12．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．

13．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝___s时，△POQ是等腰三角形．

14．如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．

15．在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿线段以每秒的速度运动到．当点的运动时间______秒时，的面积为．

16．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝_____．

17．由4个直角边分别是、全等的直角三角形拼接而成的图形如图所示，如果图中大小正方形的面积分别为52和4，则=________．

18．如图，在中，，，，平分交于点D，点E、F分别在、上，则的最小值为________．

19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．

20．在中，，AD是BC边上的高，AD上有一点E，连接CE，，在BC上取一点F使，，，则______．

21．如图1，在中，，，．

(1)求证：；

(2)如图2，交于点，若，求证：，，三点共线；

(3)如图3，在（2）的条件下，若于，过点作于，，，求，的长度．

22．[问题发现]小明遇到这样-一个问题:

如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E.

(1)小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系:           

(2)[类比探究] 如图2，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时(其它条件不变) ，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)[拓展应用] 当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比，

23．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．

(1)如图1，若ADC是直角三角形，

①当AD⊥BC时，求AD的长；

②当AD⊥AC时，求CD的长．

(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．

①若，求证：DBE≌ACD；

②若ADE是等腰三角形，求CD的长．

24．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图：

(1)在图1中，作的高；

(2)在图2中作图：

①找一格点使，且；

②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．

25．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，沿着射线BE以每秒1个单位的速度运动，点P运动的时间为t秒．

(1)DE的长为_______．

(2)如果动点P从点B出发，沿着B﹣C﹣D﹣A以每秒1个单位的速度向终点A运动，直接写出当t为何值时，△ABP≌△DCE；

(3)连接DP．

①求当t为何值时，△PDE是直角三角形；

②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．

26．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动、规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．

(1)边的长度为__________；

(2)从运动开始，当t取何值时，？

(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接写出t值；若不存在，请说明理由．

27．已知，△ABC和△DBE都是等边三角形，连接AD、EC．

(1)如图1，求证：AD＝CE；

(2)如图2，延长CE交AD于点F，连接BF，求证：BF平分∠DFE；

(3)如图3，在（2）的条件下，若BF＝6，AF＝4，求CF的长．

28．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒，0．

(1)当t=2秒时，求PQ的长；

(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？

(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）

29．如图1，在中，，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且．

(1)如果，连接CD．

①求证：；

②求证：；

(2)如图2，如果，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．

30．问题背景

定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．

(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．

(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．