期末押题检测卷（培优卷）-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）

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本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2022·江苏·无锡市江南中学七年级期中）按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（ ）
A．9B．11C．17D．19
【答案】A
【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．
【详解】解：∵输入，，，即走“否”的路径，
∴，
输出结果为9，
故选：A
【点睛】本题考查了实数运算的程序设计，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．
2．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答．
【详解】解：如图：
分三种情况：
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求；
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求；
当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点的个数是8，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是分三种情况进行讨论．
3．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，相交于点O，，若用“”说明，则还需要加上条件（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用这条公共边，判断需要添加．
【详解】因为，，且原理为，
所以需要添加．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(﹣1，1)，B(﹣1，﹣2)，C(3，﹣2)，D(3，1)，一只瓢虫从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处．
A．(3，1)B．(1，1)C．(1，﹣2)D．(3，﹣2)
【答案】B
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）
∴ ，，
∴
瓢虫爬一圈，需要的时间是 秒
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2022秒相当于从A点出发爬了6秒，路程是：个单位，12=3+4+3+2，
∴瓢虫此时在AD上，距离D为2个单位长度
∴瓢虫在（1，1）处．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）下列图形能表示一次函数y＝nx+m与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：A.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项符合题意；
B.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意；
C.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意；
D.由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：当，函数的图象经过第一、二、三象限；当，函数的图象经过第一、三、四象限；当，函数的图象经过第一、二、四象限；当，函数的图象经过第二、三、四象限．
6．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校七年级阶段练习）十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个数码，这些数码与十进制的数码之间的对应关系如下表：
例如：十进制中的26=16+10，可用十六进制表示为1A；在十六进制中，E+D=1B等．由上可知，在十六进制中，2×F等于（ ）A．30B．1EC．E1D．2F
【答案】B
【分析】先根据十六进制可得E=14，依此可求2×F=30，再根据十六进制可得30=16+14求解，即可得出结论．
【详解】解：2×F对应的十进制中的2×15=30=16+14，而14对应的十六进制中的E，
∴2×F=1E．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不同进制之间的转化，把我们陌生十六进制转换成我们熟悉的十进制去计算是解题关键．
7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，，，，则的面积为（ ）
A．8B．12C．14D．16
【答案】D
【分析】作，，由等腰三角形的性质，得到，然后证明，求出，即可求出三角形的面积．
【详解】解：由题意，作，，如图：
∵，
∴是等腰三角形的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（）；
∴；
∴的面积为：；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，熟练的进行证明．
8．（2022·江苏·兴化市楚水实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵BC＝10，，AD⊥BC于点D，
∴AD＝12，
∵EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD，
如图，当P为EF与AD的交点时，PA＋PD取最小值，
此时，PA＋PD＝AD＝12，
∴PB＋PD的最小值为12，
故本题选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度=PB+PD的最小值是解题的关键．
9．（2022·江苏·南京市科利华中学八年级期中）如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】延长至点，使得，得到是的垂直平分线，即，由对称性质得，，推出，证明，得到，即当时，有最小值，根据勾股定理求出长，即可得到的最小值．
【详解】解：延长至点，使得，连接、、，
是长方形，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
边翻折至，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
即当时，有最小值，
是长方形，
，
，，
由勾股定理得：，
的最小值是5，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称性质，长方形性质，垂直平分线的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）己知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于___________
【答案】4
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解 从而可得答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和
∴
∴
∴这个正数等于
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“利用平方根的含义列方程”是解本题的关键．
12．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点E、F，若，则___________．
【答案】##130度
【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后根据三角形外角的性质和角平分线的概念求出，进而可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵在中，、的垂直平分线分别交于点E、F
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】主要运用了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）如图，中，．为中点，为上一点，交的延长线于点．，．则四边形周长的最小值是___．
【答案】20
【分析】由条件易知与全等，从而，则，所以只需最小即可，由垂线段最短原理可知，当垂直时最短．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
当时，最短，此时，
四边形周长的最小值为，
故答案为20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，证明是解题的关键．
14．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为，那么的值为______．
【答案】
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与全等的三角形和一个边长为的正方形组成
由题意得：，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
15．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，的纸片中，，点D在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长为______________．
【答案】7或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应线段相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
∴，
（1）当时，如图1，
过点作，交的延长线于点，
则可得四边形为矩形，
所以，，
由折叠得：，，
设，则
，，
在中，由勾股定理得：
，
即：，解得：（舍去），，
因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握直角三角形的分类讨论，正确作出相应图形是解题的关键．分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
16．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．
【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣
【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，
∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得，
∴AE＝，
∴E（1，），
当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，
∵，
∴OB=＜5，
当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，
∴k＞，符合题意；
②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，由勾股定理得 ，
∴DE＝4，
∴E（﹣3，4），此时E与C重合，
当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，
当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，
∴k＜0且k，符合题意；
综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
17．（2022·江苏·南京市科利华中学八年级期中）如图，在中，，，点D是边AC的中点，点E在边AB上，将沿DE翻折得△FED，若△FED有一边与BC平行，则的度数为___________．
【答案】或或
【分析】分三种情况讨论：当时，则，如图，当，记的交点为，如图，当时，再结合平行线的性质与轴对称的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，
∴，
如图，当，记的交点为，
∴，
由对折可得：，
∴，
如图，当时，
∴，而，
∴，
由对折可得：，
∴，
综上：为或或
故答案为：或或
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质与平行线的性质解题是关键．
18．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，点C的坐标是(2，2)，A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为_________．
【答案】3或1
【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【详解】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DF=AG=2
在RT△ADF和RT△AGF中，
∴RT△ADF≌RT△AGF
∴DF=FG
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE=1
∴AE=
∴
∴ 在RT△FCE中，EF2=FC2+CE2，即(DF+1)2=(2-DF)2+1，
解得，
∴点，
把点F的坐标代入y=kx得：2=，解得k=3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F(2,2)，
把点F的坐标代入y=kx得：2=2k，解得k=1．
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）原式
（2）原式
20．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
21．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证；
（2）根据，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键．
22．（2022·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
（2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c，
∴正方形的面积等于，
∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的，
∴正方形的面积为：，
∴；
（2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
根据题意得，，，
又∵
∴，
故徽标的外围周长为：．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键．
23．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
(1)根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
(2)将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式 ．
【答案】(1)（4，0），（0，2）
(2)y＝﹣x+2
【分析】（1）由OA＝4，OA＝2OC，得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得AE的长，从而求出点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可．
（1）
解：∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）
解：由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了翻折的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
24．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）【了解概念】
如图，在和，，连接，连接并延长与交于点F，那么将叫做和的底联角．
【探究归纳】
(1)两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．
【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：
(2)如图，，求的度数；
(3)如图，在四边形中，，点O为四边形内一点，且，求的长．
【答案】(1)，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．
(2)或；
(3)的长为．
【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明E，推得，再由，得；
（2）当点D在的内部时，延长交于点F，由（1）中的结论直接推得，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数；当点D在的外部时，设交于点F，交于点G，先证明，得，则，由此推得，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；
（3）连接、交于点F，则，由勾股定理可推得，则，可求出的长．
【详解】（1）解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．
理由：如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点D在的内部时，如图2甲，延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴；
当点D在的外部时，如图2乙，交于点F，交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或；
（3）如图3，连接、交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．
25．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期中）如图1，已知H是的边的中点，，过点H作交的角平分线于点E，交于点D，交于点N．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)求证：；
(4)如图2，将沿翻折得到，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
(4)证明见解析
【分析】（1）只需要根据平行线的性质和角平分线的定义证明即可证明；
（2）根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求出；
（3）根据三角形内角和定理可知，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可证明结论；
（4）由折叠的性质可知，由平行线的性质结合（1）的结论推出，再由，推出，则，即，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（4）解：由折叠的性质可知，
∵，
∴
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26．（2021·江苏·开明中学八年级期末）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条平滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若，则 ；若，则 ；当x= 时，函数y＝x+（x＞0）的最小值为 ；
阅读与运用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+（m为常数,m＞0，x＞0），由阅读1结论可知：x+≥2,所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．
(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为4平方米，深为1米．已知底面造价为2千元/平方米，侧面造价为1千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②求当x为多少米时，水池总造价最低？最低为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②米，水池总造价最低，最低为多少12000元
【分析】（1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
（2）利用图象法解决问题即可．
（3）①总造价=底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可．
②根据材料2的方法可得解决问题即可．
（1）
函数图象如图所示：
（2）
若，则；若，则
当x=1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值为1．
故答案为：．
（3）
依题意，，
，
②∵，
当，即时，水池总造价最低，最低为多少12000元．
【点睛】本题考查了描点法画函数解析式，列函数关系式，平方的非负性，理解材料中的解题方法是解题的关键．
27．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点C．当线段，的长度相等时，称点B为点A的等距点，称的面积为点A的等距面积．例如：如图，点，点，因为，所以点B为点A的等距点，此时点A的等距面积为．
(1)点A的坐标是，在点中，点A的等距点是 ．
(2)点A的坐标是，点A的等距点在第三象限，
①若点A的等距面积为2，求此时点B的坐标 ；
②若点B的坐标是，求此时点A的等距面积；
③若点A的等距面积不小于，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①或②点A的等距面积为．③或．
【分析】（1）轴交直线轴于，，即D是点A的等距点，同理，E是点A的等距点，，F不是点A的等距点；
（2）①由点A的等距面积为2，再建立方程求解即可；②根据题意得，可得等距三角形的面积 ； ③由点A的等距面积不小于，结合②的结论，由点B在第三象限，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，轴交直线轴于，过作轴的平行线，交轴于，
∵点A的坐标是，点
∴，
∴点A的等距点是，
故答案为：D，E．
（2）①根据新定义画图如下：由点的等距面积为2，
∴而，
∴，
∴或
②根据新定义画图如下：∵，，
∴，
∴点A的等距面积为．
③根据新定义画图如下：由点A的坐标是，点A的等距点在第三象限，点A的等距面积等于时，或，
∴结合图形可得点A的等距面积不小于于时，的范围为：
或．
【点睛】本题主要考查了新定义等距点与等距面积、等腰直角三角形、坐标与图形的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握新定义等距点与等距面积是解题的关键．
28．（2022·江苏·八年级专题练习）【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．

【迁移应用】
设直线与轴，轴分别交于，两点．
(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；
②求点的坐标．
(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
【拓展应用】
(3)如图4，若，点的坐标为．设点，分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)①2，3；②
(2)是，理由见解析
(3)点的坐标为或
【分析】（1）①若k＝，则直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；
②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；
（2）过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．
【详解】（1）解：①若k＝，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线y＝x+3，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x，2，
∴A（2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，
∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠EBD，
又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝OB+BD＝5，
∴点E的坐标为（3，5）；
（2）解：当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝，理由如下：
过点N作NM⊥OB于M，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．
∴MN＝OB＝3，
∴S△OBN＝OB•MN＝×3×3＝，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝ ；
（3）解：n＜3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，
∴ST＝5﹣n，
∴点Q的坐标为（2+n，n﹣5），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，
解得：n＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，）；
n＞3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，
∴ST＝n﹣1，
∴点Q的坐标为（n﹣2，1﹣n），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，
解得：n＝6，
∴点Q的坐标为（4，﹣5）．
综上，点Q的坐标为（ ，）或（4，﹣5）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键.十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
…