广东省韶关市2021-2022学年高二下学期期末考试 数学试卷

韶关市2021-2022学年度第二学期高二期末检测

数  学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 若复数，其中为虚数单位，则在复平面内复数对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

3. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】C

4. 已知两个不同平面，，直线满足，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

5. 函数的图像大致是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 已知角为第四象限角，且它的终边与单位圆交于点，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

7. 已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 有一组成对样本数据，由这组成对样本数据得到的经验回归方程为，则（）

A. 在点中，至少有1个点在经验回归直线上

B. 若点都在经验回归直线上，则样本的相关系数满足

C. 若，，则

D. 若成对样本数据的残差为，则在这组成对数据中，必有成对样本数据的残差为

【答案】BC

10. 设公差小于0的等差数列的前项和为，若，则（）

A.  B.

C.  D. 的最大值为或

【答案】ACD

11. 定义，已知，则下列结论正确的是（）

A.  B. 是奇函数

C. 的一个周期为 D. 的最大值为

【答案】ACD

12. 设抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（）

A. 线段的中点到的准线距离为4

B. 直线过原点时，

C. 直线的倾斜角的取值范围为

D. 线段垂直平分线过某一定点

【答案】AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中常数项为____________（用数字作答）．

【答案】15

14. 若单位向量、的夹角为60°，，则实数____________．

【答案】

15. 随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动．某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）．若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为____________；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为____________（以上两空用数字作答）．

【答案】    ①.     ②. ##0.7

16. 在直三棱柱中，，，，设该三棱柱外接球的球心为，若四棱锥的体积为1，则球的表面积是____________．

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列满足，且．

（1）若，证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

因为，

所以，

所以，即，

又，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列

【小问2详解】

由（1）可得，

所以，

所以前项和

18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足____________．

①；②；③，

（1）从①②③条件中任选一个填在横线上，并求角的值；

（2）若的面积为，求的最小值．

【答案】（1）

（2）2

19. 某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（即有一方先胜四局即获胜，比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率都是．

（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；

（2）若甲以3：1的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．

【答案】（1）

（2）分布列见详解，

【解析】

【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率；

（2）写出的可能取值，求出各情况的概率即可得出结果．

【小问1详解】

第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为；

第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为；

所以比赛结束时恰好打了5局的概率为.

【小问2详解】

依题意得的可能取值为

的分布列为

．

20. 如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．

（1）求证：；

（2）若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

分析】（1）由已知得，，从而平面，由此能证明．

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【小问1详解】

证明：因为侧面，平面，

所以．

又因为，是线段的中点，

所以．

因为，平面，所以平面．

而平面，所以．

【小问2详解】

解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则有，，，，，设，

所以，，因为，

所以，解得或（舍去），

所以，所以，，，，

设为平面的法向量，

由，有，

取，所以．

设平面的法向量为，

由，有，

取，所以，

设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，

所以，

所以

故锐二面角的平面角的正弦弦值为．

21. 已知椭圆：的离心率，椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A，B两点，若的重心在直线上（为坐标原点），求面积的最大值．

【答案】（1）

（2）

22. 已知函数．

（1）当时，求函数在原点处的切线方程；

（2）讨论函数的零点个数．

【答案】（1）

（2）答案见解析

【小问1详解】

解：当时，，则，

所以，所以函数在原点处的切线方程为；

【小问2详解】

解：因为，

所以，

令，解得或，因为，所以，

当变化时，与变化如下表：

所以，，

令，，所以当时，时，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

即，即，

所以，所以且，

①当时，故，，

而时，，

所以在上有一个零点，此时有两个零点；

②当时，因为，所以，

，

当时，所以在上无零点，从而只有一个零点，

当时，所以在上只有一个零点，从而只有两个零点，

当时，所以在上有一个零点，，所以在上有一个零点，

从而只有三个零点，

③当时，因为，所以，，

所以在上只有一个零点，

又，

当时，所以在上只有一个零点，

又易知在上只有一个零点，

所以有三个零点，

综上可得：当时只有一个零点；

当或时有两个零点；

当且时有三个零点；