河南省大联考2022-2023学年高二下学期阶段性测试(三)数学试题（解析版）

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天一大联考2022—2023学年高二年级阶段性测试（三）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 与向量共线的单位向量可以为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.故选：D2. 下列导数计算错误的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】A选项，利用幂函数的求导法则计算即可；B选项，简单复合函数求导法则计算即可；CD选项，利用求导乘法和除法法则计算即可.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：D3. 若数列是等差数列，且，则（    ）A. 1 B. -1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，从而代入求值即可.【详解】因为是等差数列，所以，故，解得，故.故选：A4. 已知函数满足（为的导函数），则（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】求导，代入求出，从而得到的解析式，求出答案.【详解】，当时，，解得，故，所以.故选：D5. 若直线与圆相切，则（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由直线和圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果.【详解】由圆方程改写成可得圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，解得或.故选：C6. 曲线在处的切线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】依题意，设切线方程的斜率为，因为，所以，，根据导数的几何意义可知，，又，所以切线方程为，即.故选：A.7. 函数，的最大值是（    ）A.  B.  C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】求导，判断函数的单调性，再求出最值.【详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值，也是最大值，故故选：B.8. 定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由导数与极大值之间的关系求解．【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用离心率公式可求得的值，利用双曲线的定义以及勾股定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，，因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，因为，由勾股定理可得，所以，，所以，，因此，.故选：D.10. 若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C  D. 【答案】C【解析】【分析】求导，分，与三种情况，结合函数极值及函数图象的走势，得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】当时，不经过三四象限，不合题意，舍去， 当时，由得，若，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限，在处取得极小值，且极小值为，函数一定过第三和第一象限，要想经过第四象限，只需，解得，若，则当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，且极小值为， 在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限，函数一定过第二和第四象限，要想经过第三象限，只需，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：C11. 已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由构造，得到其单调性，对不等式变形后得到，从而由单调性解不等式，求出答案.【详解】设，则在R上恒成立，所以在R上单调递增，可变形为，即，由的单调性可知，解得，实数k的取值范围是.故选：A12. 已知直线l：经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，点C为线段AB的中点，点D在抛物线的准线上，若，且，则（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意求出抛物线方程，设，，联立直线l方程，易知，利用韦达定理和两点表示斜率公式、弦长公式可得、，由列出方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，因直线l过，所以，解得，故抛物线的方程为，则准线方程为，，消去x，得，，设，AB的中点，则，所以，代入直线l，得，得.设，由，得，若，则，得，又，，由，得，解得.若，直线l方程为，此时AB的中点为F，，不符合题意.综上，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在等比数列中，，，则______．【答案】2【解析】【分析】根据等比数列通项公式得，化简得关于的方程，解出的值，而，代入即可.【详解】设等比数列的公比为，首项为，显然由题知，，，，化为,解得或（舍去），，故答案为：2 .14. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出，从而得到答案.【详解】，由题意得在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需，其中，所以.故答案为：15. 在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，则点D到平面的距离为______．【答案】1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面的空间向量公式求解答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，点D到平面的距离为.故答案为：116. 已知直线与曲线相切，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】设出切点，得到方程组，得到，故，构造，利用导函数求出最小值，得到答案.【详解】直线与曲线相切，设切点为，则，所以，因为，所以，即，又，，故，将代入得，，解得，故，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，故，故的最小值为-1.故答案为：-1【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a，b的值；（2）当时，求的单调递增区间．【答案】（1）或    （2），【解析】【分析】（1）求导，利用及，列出方程组，求出，检验后得到答案；（2）在（1）的基础上，由导函数大于0，解不等式，求出单调递增区间.【小问1详解】由题意知．∵，， ∴或，经检验都符合题意．小问2详解】当时，由（1）得，∴， 由，即，解得或，∴函数的单调递增区间为，．18. 已知数列的前n项和为．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，可得答案；（2）由（1）结合裂项求和法可得答案.【小问1详解】当时，，当时，，也满足该式， 所以．【小问2详解】由（1）知，所以．因为函数在上单调递增， 所以，即．19. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，且，侧面为菱形，且．（1）求证：平面ABC；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）通过证明，可得平面ABC；（2）由（1），以D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．后由向量法可得答案.【小问1详解】因为，点D为棱AC的中点，所以．又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以．如图，连接．因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又，平面ABC，平面ABC．所以平面ABC．【小问2详解】由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．不妨设，由题可知，，，，．由，可得．设平面的法向量为，而，，则有取，得．设平面的法向量为，而，，则有，取，得．设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．20. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；（2）设，根据题意求P，Q两点的坐标，进而可求，结合运算整理即可得结果.【小问1详解】设C的半焦距为，由题意可得，解得，所以C的方程为．【小问2详解】由（1）可得，，设椭圆上任意一点，所以直线AM的方程为，令，得，即同理可得 ，所以，∵在椭圆上，则，整理得，∴（为定值）.21. 已知函数，．（1）当时，证明：在上恒成立；（2）若有2个零点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.【小问1详解】当时，设，则，设，由函数和在上单调递增，知函数在上单调递增，且，所以当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以即在上恒成立；【小问2详解】由，得，令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，令，得，当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，且当时，，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，作出函数的大致图象如下：结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，故a的取值范围是．22. 已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明．【答案】（1）答案见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数，分类讨论当、时函数的单调性即可求解；（2）由（1）知，原不等式等价于，设，利用导数求出即可求解.【小问1详解】函数的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递减；若，则当时，当时，故上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当时，在处取得最小值，所以等价于，即．设，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，．从而当时，，即．