山西省运城市2021-2022学年高二下学期期末调研测试——数学试题

运城市2021-2022学年第二学期期末调研测试

高二数学试题

2022.7

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的定义域求出集合，再求交集即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

2. 已知函数，则的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出的范围，然后可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

故选：D

3. 已知函数为上的偶函数，则实数（    ）

A.  B. 或 C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知结合偶函数定义，代入即可求得结果.

【详解】解：因为函数为上的偶函数，

所以，

即，

所以，即，

所以或.

故选：B.

4. 某社区服务站将5名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有（    ）

A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 300种

【答案】C

【解析】

【分析】先分类，分到3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案.

【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3，1，1，此时不同的分配方案有种，

若3个社区的志愿者人数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有种，

∴不同的分配方案共有种

故选：C.

5. “”是“函数有且只有两个零点”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数有且只有两个零点的充要条件即可判断.

【详解】解：因为当时，有一零点，

要使函数有两个零点，所以当时必有一个零点，

即有一个非正解.

即 在上有解，

所以，

又因为，

所以“”是“函数有且只有两个零点”必要不充分条件.

故选：A.

6. 已知函数，，则如下部分图像对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，令，

函数的定义域为，，

所以，函数为奇函数，与题图不符；

对于B选项，令，

对任意，，即函数的定义域为，

，所以，函数为奇函数，与题图不符；

对于C选项，，

函数的定义域为，，

函数为偶函数，与题图相符，

当时，，，则，与题图相符；

对于D选项，，由，可得，

故函数的定义域为，与题图不符.

故选：C.

7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且在上为减函数，由已知可得出，可得出，结合对数函数的单调性解此不等式即可得解.

【详解】构造函数，

，则函数为偶函数，且该函数在上为减函数，

由可得，即，

所以，，可得，即，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

8. 已知，且，则下列一定正确的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式即可判断A；举出反例即可判断BCD.

【详解】解：对于A，，

当且仅当时，取等号，

所以，故A正确；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，若，则，故C错误；

对于D，若，则，故D错误.

故选：A.

9. 已如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.

若，则正实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数、的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答.

【详解】由图象知，，，

显然函数是奇函数，则，

因此，函数的图象与的图象没有公共点，而的图象是的图象向右平移2个单位而得，

于是得，当且仅当，解得，而，即有，

所以正实数的取值范围为.

故选：D

10. 已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由可知函数是上的减函数，结合自变量的大小比较函数值即实数a,b,c的大小即可.

【详解】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，任取

故，化简得：，

∴函数是上的减函数，

因为，，

所以，同理，所以，

又因为，所以，

所以，

故选：C.

11. 若函数图象关于对称，则的最大值为（    ）

A. 16 B. 15 C. 9 D. 以上都不对

【答案】A

【解析】

【分析】根据对称性求得，利用导数求得的最大值.

【详解】关于直线对称，

，，解得，

所以，

，

令解得或或，

所以在区间递增；

在区间递减，

结合的对称性可知：当或时，

取得极大值也即是最大值，

.

故选：A

12. 已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题干条件，可得为奇函数，且周期为4，根据时的解析式，可求得在上的值域，结合函数的性质，可得在R上的值域为，分析可得只需在上有解即可，根据的解析式，分析计算，即可得答案.

【详解】因为函数的图象关于点对称，

所以图象关于点（0,0）对称，即为定义在R上的奇函数，，

因为，

所以，即的周期为4，

又当时，，

所以，即，

因为时，，

所以当时，，

因为为奇函数，

所以当时，

所以对于任意的，，

因为对任意，存在，使得成立，

所以只需在上有解即可，即在上有解，

整理得在上有解即可，

当t=2时，可得

所以，所以满足条件的实数的取值集合为.

故选：B

【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质，并灵活应用，难点在于需求出的值域，进而分析可得只需在上有解即可，根据存在性问题解题方法，即可得答案，

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中，各项系数的和为___________.

【答案】0

【解析】

【分析】利用赋值法求得正确答案.

【详解】由，令得各项系数的和为.

故答案为：

14. 已知函数，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】根据时，，可得当时，函数是以2为周期的一个周期函数，再根据函数的周期性即可得解.

【详解】解：当时，，

所以当时，函数是以2为周期的一个周期函数，

则.

故答案为：3.

15. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：

①

②点是函数图象的一个对称中心；

③函数在上有2023个零点；

④函数在上为减函数；

则所有正确结论的序号为___________.

【答案】①②③

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意是定义在上的奇函数，

由于当，且时，都有，

即

所以在区间上递增，

由，以替换得，

由，令得，

所以，

所以，所以是周期为的周期函数.

所以，，

以此类推可知，

，，

以此类推可知，

所以，①正确.

由上述分析可知，

所以，所以关于对称，

结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.

对于③，由，

以替换得，

所以关于直线对称，

是奇函数，，在上递增在上递增；

则在上递减.

结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.

对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.

由于是周期为的周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.

故答案为：①②③

16. 已知函数，对，总存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围___________.

【答案】

【解析】

【分析】求得在区间上的最大值的最小值，从而求得的取值范围.

【详解】设的最大值为，

令，，

当时，，

，

所以当时，单调递增，

，

当时，，

当时，，

所以当时，时，取得最小值，.

当时，在上递增，在上递减，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，

，

依题意，总存在实数，使得不等式成立，

所以.

故答案为：

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数，

（1）当时，求不等式的解集.

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；

（2）由可得，然后分、、三种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

当时，，

解得为，所以解集为

小问2详解】

由可得，

①当，即时，不等式解集为；

②当，即时，不等式可化为，此时解集为；

③当，即时，不等式解集为

综上所述，当时，解集；

当时，解集为；

当时，解集为.

18. 在甲､乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，3，…，6），以X表示排在甲､乙两单位演出之间的其他演出单位个数，以Y表示甲，乙都演出结束时，其他已演出单位的个数.

（1）求；

（2）求随机变量Y的分布列和数学期望.

【答案】（1）   

（2）分布列答案见解析，

【解析】

【分析】（1）只考虑甲､乙两单位演出的相对位置，则可用组合数来计算基本事件，结合古典概型即可得解；

（2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可.

【小问1详解】

解：只考虑甲､乙两单位演出的相对位置，

则；

【小问2详解】

解：Y的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

故Y的分布列为

.

19. 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；

（2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．

【小问1详解】

由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则

．

【小问2详解】

由题意可知，3，4，5，

则，

，

，

，

故X的分布列为

．

20. 电影院统计了某电影上映高峰后连续10场的观众人数，其中每场观众人数y（单位：百人）与场次x的统计数据如表：

通过散点图可以发现与之间具有相关性，且满足经验关系式：，设.

（1）利用与的相关性及表格中的前8组数据求出与之间的回归方程（结果保留两位小数）；

（2）如果每场观众人数超过1.2（百人），称为“满场”.从表格中的10组数据中随机选出8组，设表示“满场”的数据组数，求的分布列及数学期望.

附：.前8组数据的相关量及公式：，对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

【答案】（1）；   

（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【解析】

【分析】（1）根据对数的运算性质，结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可；

（2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可.

【小问1详解】

对两边求对数得：

设，又，则

，

，，

∴，

∴，

∴y与x之间的回归方程为，即；

【小问2详解】

ξ的可能取值2，3，4，

，，

，

.

21. 已知函数，.

（1）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围；

（2）设，若对于任意，都有，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由结合参变量分离法可得出，则直线与函数在区间内的图象有公共点，数形结合可得出实数的取值范围；

（2）由已知可得，求得，则，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，注意到，结合函数的单调性可求得的取值范围.

【小问1详解】

解：，其中，

由可得，则，

则直线与函数在区间内的图象有公共点，

且，故函数在上单调递增，如下图所示：

【小问2详解】

解：因为且，所以且，

因为，

故当时，，

因为

，

所以，

只需，即，

设，其中，

，所以，在上单调递增，

又，因为，即，所以，

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

22. 已知函数，.

（1）若，对，使得成立，求实数的取值范围；

（2）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知，利用基本不等式求得，可得出，令，分离参数可得，利用函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（2）令，分析可知关于的方程有且只有一个正根，分、、三种情况讨论，在时，直接求出方程的根，验证即可；在、这两种情况下，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：，即，

若，使得成立，只需要成立

因为，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，则，

因为，令，分离参数可得，

令，其中，

任取、且，则

，

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

故，.

【小问2详解】

解：由（1）可得，

由题意知，方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

令，则方程有且只有一个正根，

即方程有且只有一个正根，构造函数.

①当时，，令，解得，不合乎题意；

②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

，

由于，要使得方程有且只有一个正根，

则，解得；

③当时，则，，

设方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：

（1）二次项系数的符号；

（2）判别式；

（3）对称轴的位置；

（4）区间端点函数值的符号.

结合图象得出关于参数的不等式组求解.