河北省保定市保定市部分高中2024届高三上学期开学数学试题

高三数学考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．复数的虚部为1，且，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

4．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ）

A．     B．1     C．     D．2

6．已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为，且，忽略容器的厚度，则（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知正项等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（    ）

注：同比增长率=（今年月销售额一去年同期月销售额）÷去年同期月销售额．

A．2023年1月至6月的月销售额的极差为8

B．2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8

C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D．2022年5月的月销售额为10万元

10．已知函数的定义域为，则（    ）

A．     B．

C．是奇函数     D．是偶函数

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心为原点，线段所在的直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系（为圆上的点），分别用表示秒后两点的纵坐标，则下列叙述正确的是（    ）

A．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象

B．函数的最大值为50

C．函数在上单调递减

D．当时，不等式

12．如图，在正方体中，，点分别为的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则四面体的体积为定值

B．若，则平面

C．平面截正方体所得的截面的周长为

D．若，则四面体外接球的表面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量，若，则_________．

14．位于数轴上的粒子每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子第二次向左移动的概率为（    ）

15．已知实数满足，则的最大值为_________．

16．已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知为正项等比数列，记为数列的前n项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求．

18．（12分）

已知的内角的对边分别为，且．

（1）求外接圆的面积；

（2）记内切圆的半径为，若，求的面积．

19．（12分）

“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表．

（1）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望；

（2）记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由．

20．（12分）

如图，在正四棱台中，．

（1）证明：．

（2）若正四棱台的高为3，过的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．

21．（12分）

已知椭圆的右顶点为，点在圆上运动，且的最大值为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，求直线被圆截得的弦长．

22．（12分）

已知函数是的导函数．

（1）证明：存在唯一零点．

（2）若关于的不等式有解，求的取值范围．

高三数学考试参考答案

1．A  【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．

，则．

2．D  【解析】本题考查复数的有关概念，考查数学运算的核心素养．

设，则，由，可得，化简可得，所以，则．

3．B  【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．

．

4．D  【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．

，

所求的切线方程为，即．

5．C  【解析】本题考查抛物线，考查直观想象的核心素养．

由，可得，所以，则，解得．

6．D  【解析】本题考查函数的单调性，考查数学抽象的核心素养．

显然在上单调递增不符合题意，故在上单调递减，所以解得．

7．B  【解析】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力．

因为且图①和②内所装水的体积相等，所以根据相似可知，即．

8．D  【解析】本题考查等差数列，考查逻辑推理的核心素养．

设等差数列的公差为，则．又，所以，即，所以，则，所以．

9．ACD  【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养．

对于A，2023年1月至6月的月销售额的极差为8，故A正确；对于B，因为，所以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为11，故B错误；对于C，2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5，故C正确；对于D，设2022年5月的月销售额为万元，则，解得，故D正确．故选ACD．

10．ABC  【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养．令，可得，故A正确；令，可得，令，可得，则，故B正确；

由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确；

因为，所以不是偶函数，故D错误．

11．BD  【解析】本题考查三角函数，考查数学建模的核心素养．

由题意可知，且，解得，

所以．

对于A，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，故A错误；

对于B，，最大值为50，故B正确；

对于C，在上不是单调函数，故C错误；

对于D，由，可得，解得，故D正确．

12．BD  【解析】本题考查正方体以及点、线、面的位置关系，考查直观想象和数学建模的核心素养．

如图1，取的中点，连接，易得，取的中点，连接，易得，再取的中点，连接，则，所以，则是平面与正方体底面的交线，延长，与的延长线交于，连接，交于，则，且五边形即平面交正方体的截面，计算可得，所以平面截正方体所得的截面的周长为，故C错误．

对于A，因为，

所以三点共线，所以点在上，因为与平面不平行，所以四面体的体积不为定值，A错误．

对于B，如图2，以为原点，分别以所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，

，则，，所以平面，故B正确．

对于D，若，则点即点．易知，则四面体的外接球与四棱锥的外接球相同，在中，，则外接圆的半径为，所以四面体外接球的半径，即四面体外接球的表面积为，D正确．故选BD．

13．  【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．

由，可得，则，解得．

14．  【解析】本题考查全概率公式，考查逻辑推理的核心素养．

所求的概率．

15．  【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．

由，可知，

则，当且仅当时，取得最大值．

16．  【解析】本题考查双曲线的离心率，考查直观想象的核心素养．

结合双曲线的对称性可知，，所以为等边三角形，

则，则，由双曲线的定义，得，

所以，则．

17．解：（1）设等比数列的公比为，即，

，

所以，

解得或（舍去）．

所以数列的通项公式是．

（2）

．

评分细则：

【1】第一问，也可正确求出的值得2分，正确求出得2分，写出的通项公式得1分．

【2】第二问，写出不得分，求出，得2分，求出，得2分，求出，得1分．

18．解：（1）设外接圆的半径为，

因为，所以，

所以，解得，

所以外接圆的面积为．

（2）因为，所以，故．

由余弦定理可得，则．

又，

则，所以，即．

所以的面积．

评分细则：

若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．

19．解：（1）的可能取值有100，60，0，

，

，

，

所以的分布列为

所以．

（2）由（1）可知，

又，

则，所以事件不相互独立．

评分细则：

【1】第一问总共7分，正确写对分布列可得5分，求出数学期望得2分．

【2】第二问总共5分，求出得1分，求出得2分，说明件不相互独立得2分．

20．（1）证明：连接，设正四棱台的上、下底面的中心分别为，则分别为的中点，连接．因为是正四棱台，所以平面，又平面，所以．

因为为正方形，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以．

（2）解：设的中点分别为，连接，易知两两垂直，

则以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

所以．

设平面的法向量为，

则取，则，所以．

设平面的法向量为，

则取，则，所以．

设平面与平面的夹角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

评分细则：

【1】在第一问中，也可以延长，设二者相交于，从而证明平面，得4分，进而证出，得1分．

【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．

21．解：（1）由题可知，

圆的圆心为，半径，

所以，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，

故设，直线，

联立消去整理得，

方程的判别式，

则

因为，所以，

所以，

所以，

整理得．

若，则，则直线过定点，与题意矛盾；

若，则，则直线过定点．

因为圆的圆心为，半径，所以直线被圆截得的弦长为4．

评分细则：

【1】在第一问中，求出得1分，求出得3分，写出椭圆的方程得1分．

【2】第二问总共7分，正确联立方程得1分，写出韦达定理得1分，得出直线过定点得3分，得出直线被圆截得的弦长为4，得2分．

【3】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．

22．（1）证明：．

令，当时，，故在上无零点，

分当时，，即在上单调递减．

又，所以在上有唯一零点．

综上，存在唯一零点．

（2）解：由可得，

设，

，

当，即时，在上单调递增，

，所以成立．

当，即时，在上单调递减，则，即，所以．

当时，，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以

．

令，

，所以成立．

综上，的取值范围为．

评分细则：

【1】在第一问中，也可以根据，说明在上单调递增，在上单调递减，得3分，又因为，则在上存在唯一的零点，所以存在唯一零点，得2分．

【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．