_江苏省扬州市梅岭中学教育集团2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年江苏省扬州市梅岭中学教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，计算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若三角形的两条边的长度是和，则第三条边的长度可能是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，下列条件中，能判断直线的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  六边形的内角和为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，则；
如图，，则；
如图，，则；
如图，，则；
以上结论正确的个数是(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，四边形中，、、、依次是，，，中点，是四边形内部一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为、、，四边形面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  某种流感病毒的直径大约为米，用科学记数法表示为______ 米

10.  若是关于，的二元一次方程，则 ______ ．

11.  计算：已知，，则的值是______．

12.  已知是二元一次方程的一个解，那么的值为______ ．

13.  如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则______

14.  已知是完全平方式，则的值为______ ．

15.  如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点，，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为______米．

16.  定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰三角形是“倍长三角形”，底边长为，则等腰三角形的周长为______ ．

17.  如图中，分别延长边，，，使得，，，若的面积为，则的面积为______ ．

18.  将一副三角板如图所示摆放，，，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边边，平行，则所有满足条件的的值为______ ．

 

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
因式分解：
；
．

21.  本小题分
解方程组：
；
．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

23.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，将平移后得到，图中标出了点，点，点和它的对应点，
画出平移前后的和；
利用网格点和直尺画出中边上的中线，并标出点．
的面积为______ ．

24.  本小题分
如图，和的平分线交于，的延长线交于点，，求证：
；
．

25.  本小题分
已知关于，的方程组，由于甲看错了方程中的得到方程组的解为，乙看错了方程中的得到方程组的解为，求的值．

26.  本小题分
综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧在中，与的平分线相交于点．

如图，如果，那么 ______
如图，作的外角，的平分线交于点，试探究与的数量关系．
如图，在的条件下，延长线段，交于点，在中，若，求的度数．

27.  本小题分
材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图，可以得到
．
材料二：已知，，求的值．
解：，，

请你根据上述信息解答下面问题：

写出图中所表示的数学等式______ ．
已知，，求的值．
已知，求的值．
如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为______ ．

28.  本小题分
阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的倍．
一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______ ．
如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点画射线交线段于点点不与点、点重合若是“优雅三角形”，求的度数．
如图，中，点在边上，平分交于点，为线段上一点，且，若是“优雅三角形”，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项以及同底数幂除法的运算法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项以及同底数幂除法的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：三角形的两条边分别是和，
三角形的第三边，
适合，
故选：．
利用三角形的三边关系求解即可．
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是利用三边关系确定第三边的取值范围，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：等号右边不是积的形式，
则不符合题意；
B.它是整式乘法运算，不是因式分解，
则不符合题意；
C.它符合因式分解的定义，
则符合题意；
D.它是整式乘法运算，不是因式分解，
则不符合题意；
故选：．
将一个多项式化成几个整式积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
由，不能判定，
故B不符合题意；
由，不能判定，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：

，
与的乘积中不含的一次项，
，
解得：，
故选：．
先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含的一次项得出，再求出即可．
本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据多边形的内角和可得：
．
故选：．
利用多边形的内角和即可解决问题．
本题考查了对于多边形内角和定理的识记．边形的内角和为．
 

7.【答案】 

【解析】解：


过点作直线，
，
，
，故本小题错误；
过点作直线，
，
，
，即，故本小题正确；
过点作直线，
，
，
，即，故本选项正确；
，，
，
，
，即，故本小题正确；
综上所述，正确的小题有共个，
故选：。
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质可得出；
先根据三角形内角和及平角性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断。
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和及平角性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键。
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，，，
、、、依次是各边中点，
和等底等高，所以，
同理可证，，，，
，
，，，
，
解得，．
故选：．
连接，，，，易证，，，，所以，所以可以求出．
本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
确定所有零的个数，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到，把小数写成即可．
本题考查了小于的数的科学记数法，熟练掌握，指数的确定方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是关于，的二元一次方程，
且，
解得：．
故答案为：．
根据二元一次方程的定义，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当，时，
原式，
故答案为：．
将、代入原式，计算可得．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：直尺的两边平行，
，
又，
．
故答案为：．
本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．
本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．
 

14.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
，
故答案为：．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：小明每次都是沿直线前进米后向左转，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故答案为：．
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以米即可．
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：等腰是“倍长三角形”，
或，
若，则三边分别是、、，符合题意，
等腰三角形的周长为；
若，则，三边分别是、、，
，
此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的周长为，
故答案为：．
由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接和，
，
，则，
，
，
，
同理可以求得：，则；；
．
故答案为：．
连接和，根据，可得，则，抓住图形中同高的三角形进行分析计算，最后根据计算的面积即可．
此题考查了三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：由题意得：，，
当时，
如图所示：延长交于点，

在上方，
，，，
，
，
，
，
，
即，；
 在下方时，，
，，，
，
 ，
，
，
，
即，
解之得：；
如图：当时，
延长交于点，

在上方，度，
，，
，
，
，
，
，
即，解之得：；
在下方，度，
，，，
，
，
，
，
，
即，解之得：，
综上可知：所有满足条件的的值为：或或，
故答案为：或或．
先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据题意，画出旋转后的图形．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算乘方，再算除法，后算减法，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，有理数的减法，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：；


． 

【解析】利用平方差公式进行分解，即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
方程组整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

22.【答案】解：


，
当，时，
原式

． 

【解析】利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，和为所作；
如图，为所作；

的面积．
故答案为：．
利用点和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点的对应点，点的对应点，从而得到和；
利用网格特点找出的中点，然后连接即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

24.【答案】证明：和的平分线交于，
，，
，
，
；

平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据角平分线定义得出，，根据得出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质和角平分线定义得出，即可求出答案．
本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能根据平行线的判定得出是解此题的关键．
 

25.【答案】解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以． 

【解析】把代入得出，求出，把代入得出，求出，再求出答案即可．
本题考查了二元一次方程组的解，能求出、的值是解此题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
如图，延长至，

为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
在中，由于，求出，由，得出，求解即可．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：从“整体”上看是边长为的正方形，因此面积为，也可以看作个“小部分”的面积和，即，
因此，
故答案为：；
，，



；
设，，则，
，即，




；
由题意可得，，，
设，，则，
长方形的面积为，
，
图中阴影部分的面积和为：



，
故答案为：．
用两种方法分别表示图中阴影部分的面积即可；
由整体代入计算即可；
设，，则，，求出的值即可；
由题意可得，，，设，，得到，，求出的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中各个部分的面积是解决问题的关键．
 

28.【答案】， 

【解析】解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义，“优雅角”为，另一个角为．
交于点，，
，是“优雅三角形”，当“优雅角”为时，另一个角为，则，的度数为，当另两个角中有优雅角时，另两个角之和为，
根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：，，
则，的度数为，
，的度数为．
，，
，
，
是“优雅三角形”，
平分交于点，
当，，
，
解得，；
当，，
无解，故不符合题意；
当，，
，
解得，；
当，，
，
解得，；
当，，
，
解得，；
当，，
无解，故不符合题意；
综上，的度数为：，或．
本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理．
本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理．解题的关键是能对新定义的理解和运用．