初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明7.2 实验习题

这是一份初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明7.2 实验习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市巴南区育才实验中学七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在实数：，，，中，无理数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  在直角坐标系中，点在轴上，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 3.  的算术平方根是(    )A.  B.  C.  D. 4.  估计的值在(    )A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间5.  下列不等式变形中，一定正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则6.  下列说法正确的是(    )A. 相等的两个角是对顶角
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7.  小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用分钟，他骑自行车的平均速度是米分，步行的速度是米分，他家离学校的距离是米．设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，则列出的二元一次方程组是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，，与、分别相交于点、，，与的平分线相交于点，且，则(    )A.
B.
C.
D. 10.  若使得关于的不等式组有且仅有个整数解，且使得关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的个数为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.  已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是______．12.  如图，若，，则的度数是______ ．
 13.  已知，都是实数，且，则的立方根是______ ．14.  实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______．15.  如图，，，，于，，，则______．
 16.  如图，点，，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是______ ．
17.  若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______ ．18.  一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为且个位数字大于，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“倍三数”．
例如：，，是“倍三数”；如果一个“倍三数”的各数位上的数字之和为，并且规定：将这个“倍三数”的十位与百位交换得到，记，记的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为若为正整数，所有符合条件的的值______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
按要求计算下列各题：
计算：；
已知，求的值．20.  本小题分
解方程组：；
解不等式：，并在数轴上表示出该不等式的解集．

 21.  本小题分
如图，三角形在平面直角坐标系中，点、、都在网格的格点上，完成下列问题：
请写出三角形各顶点的坐标；
若把三角形向上平移个单位，再向右平移个单位得到三角形，在图中画出平移以后的图形，并写出顶点、、的坐标．
求出三角形的面积．
22.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：≌；
若，，求的度数．
23.  本小题分
尺规作图并完成证明：
如图，点是上一点，，，．
尺规作图：作的平分线，交于点；
证明：．
证明：，
______，
______．
在和中，
，______
≌．
______．
又是的角平分线，
．
24.  本小题分
为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划一次性采购、两种类型的激光翻页笔，已知购买支型激光翻页笔和支型激光翻页笔共需元，购买支型激光翻页笔和支型激光翻页笔共需元．
问购买一支型激光翻页笔和一支型激光翻页笔各需多少元？
经过老师申报，学校调查研究，需要采购支激光翻页笔以满足教育教学需要．根据该中学的财政预算情况，用于购买这批激光翻页笔的资金不超过元，并且型激光翻页笔的数量不少于型激光翻页笔的倍，请设计出最省钱的购买方案．
25.  本小题分
如图，，点为平面内一点．

如图，当点在与之间时，若，，则 ______ ；
如图，当点在点右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请证明；
如图，平分，平分，若，则 ______ 26.  本小题分
如图，在中，点为中点，证明：；
如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；
如图，点为上动点不与，重合，，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 2.【答案】 【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据轴上的点纵坐标为，进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握轴上的点纵坐标为是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：的算术平方根是：．
故选：．
利用算术平方根的定义和二次根式的性质得出答案．
此题考查了算术平方根的定义，明确算术平方根与平方根的区别是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
先估算出的范围，再得到的范围．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，把无理数夹逼在个相邻的正整数之间是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解；、时，不成立，故A错误；
B、时，不成立，故B错误；
C、因为，故，则不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误．
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 6.【答案】 【解析】解：、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
C、从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，故本选项正确；
D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误．
故选：．
分别根据对顶角的性质、平行线的判定与性质及垂线段最短的知识对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是平行线的判定与性质，点到直线的距离的定义，对顶角相等的性质，垂线段最短的性质，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
根据关键语句“到学校共用时分钟”可得方程：，根据“骑自行车的平均速度是米分，步行的平均速度是米分．他家离学校的距离是米”可得方程：，两个方程组合可得方程组．
【解答】
解：设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，由题意得：
．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：在中，
，，是的角平分线，
．
是的高线，
，
，
．
故选：．
在中，先根据角平分线的定义求出的度数，再根据是的高线可得出的度数，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
在中，．
故选：．
根据平角等于求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组有且仅有个整数解，
，
；
解关于的方程得：，
方程有正数解，
，
，
，
的整数解为，，，，共个，
故选：．
解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解，得到的范围；解关于的方程，根据方程有正数解求得的范围，从而得到，所以的整数解为，，，，．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，求得的取值范围是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和计算公式作答．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 12.【答案】 【解析】解：对顶角相等，
已知，
等量代换，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
．
故答案是．
根据，易得，从而可证，那么，进而可求．
本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，
将代入原式，得到，
，
的立方根是，
故答案为：．
首先根据二次根式的非负性可以求出的值，再将其代入已知等式即可求出的值，从而求出的值，再对其开立方根即可求解．
本题考查了代数式的求值和立方根的定义，关键是从已知条件得到的取值范围，然后得出的值．
 14.【答案】 【解析】解：由题意知：，，，，



，
故答案为：．
根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可求解．
本题主要考查了二次根式和绝对值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：， 

在和中，
，
≌
，
，
故答案为
证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可证得，从而求解．
本题考查全等三角形的判定与性质，正确证明是解决本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是、、、、、，
纵坐标依次是、、、、、、、，
四个一循环，，
故点坐标是．
故答案为：．
由图形得出点的横坐标依次是、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、，四个一循环，继而求得答案．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．
 17.【答案】 【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
．
故答案为：．
得出，求出，把代入求出，把、的值代入方程得出，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出和是解此题的关键．
 18.【答案】或． 【解析】解：设的十位数字为，个位数为，
则千位数字为，百位数字为，
，
，
，
，
为正整数，
，，，，且都为整数，
当时，，此时，
当时，，此时，
故答案为：或．
设的十位数字为，个位数为，再用，表示千位数字和百位数字，再分别表示，，最后求出．
本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．
 19.【答案】解：

；
，
，
或． 【解析】先算绝对值和数的开方，再算加减；
根据平方根的意义求解．
本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 20.【答案】解：，
由得：，
解得，
将代入得：，
解得，
方程组的解为：；
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
其解集在数轴上表示如下所示：
． 【解析】利用加减消元法求解即可；
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解二元一次方程组以及解一元一次不等式的方法．
 21.【答案】解：如图，，，；
如图，即为所求，，，．
．
 【解析】根据，，的位置写出坐标即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
 22.【答案】解：证明：，，且，
，
在和中，，
≌；
解：由可知，≌，
，
，，
，
． 【解析】求出，根据推出≌．
由中全等三角形的性质得到：，进而得出结论即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 23.【答案】       【解析】解：如图，即为所求．

证明：，
，
．
在和中，
，
≌．
．
又是的角平分线，
．
故答案为：；；；．
根据角平分线的作图方法作图即可．
根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案．
本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 24.【答案】解：设购买一支型激光翻页笔需元，一支型激光翻页笔需元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一支型激光翻页笔需元，一支型激光翻页笔需元．
设购买型激光翻页笔支，则购买型激光翻页笔支，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
共有种购买方案，
方案：购买型激光翻页笔支，型激光翻页笔支，购买资金为元；
方案：购买型激光翻页笔支，型激光翻页笔支，购买资金为元；
方案：购买型激光翻页笔支，型激光翻页笔支，购买资金为元．
，
选择方案最省钱，即购买型激光翻页笔支，型激光翻页笔支最省钱． 【解析】设购买一支型激光翻页笔需元，一支型激光翻页笔需元，根据“购买支型激光翻页笔和支型激光翻页笔共需元，购买支型激光翻页笔和支型激光翻页笔共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型激光翻页笔支，则购买型激光翻页笔支，根据“用于购买这批激光翻页笔的资金不超过元，并且型激光翻页笔的数量不少于型激光翻页笔的倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出各购买方案，利用总价单价数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 25.【答案】   【解析】解：过点作，

，
，
又，，
，
，
；
故答案为：；
；理由如下：
延长交于点，

是的一个外角，
，
，
在，，
、、之间存在的数量关系为：；
延长交于点，过点，作，

，
，
，，，
平分，平分，若，
，，，
，，
，
．
故答案为：．
过点作，利用平行线的性质计算；
延长交于点，利用平行线的性质和三角形内角与外角的关系计算；
延长交于点，过点，作，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角与外角的关系计算．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是添加辅助线，掌握平分线的性质．
 26.【答案】证明：如图，延长到，使，连接，

则，
点为中点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
；
解：如图，取的中点，连接，，，

，，
是的中位线，
，
为三等分点且，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：的值为定值，理由如下：
如图，过点作于点，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
即，
，，
，
，
，
，为定值． 【解析】延长到，使，连接，证≌，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；
取的中点，连接，，，证是的中位线，则，再证，得，然后由三角形面积得，即可解决问题；
过点作于点，证≌，得，同理≌，得，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．