黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题

2022~2023学年度下学期高一4月月考试卷

数  学

2023.4

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

4．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最大值为（    ）

A．10 B．8 C．6 D．5

5．已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

6．若，则（    ）

A．6 B．3 C．1 D．

7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法错误的是（    ）

A．平面内的单位向量是唯一存在的 B．

C．单位向量的方向相同或相反 D．零向量没有大小，没有方向

10．对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（    ）

A． B．

C．  D．

11．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．函数图象的一个对称中心坐标为

C．在区间上，函数与都单调递减

D．，，使得

12．对于函数下列说法中正确的是（    ）

A．是以为最小正周期的周期函数

B．的对称轴方程为，

C．的最大值为1，最小值为

D．当且仅当时，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，，则与的夹角是__________．

14．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则__________．

15．如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为__________．

16．如图，在平面四边形中，若，，则__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17．（本小题满分10分）

已知平面内三个向量，，．

（1）求；

（2）求满足的实数，；

（3）若，求实数．

18．（本小题满分12分）

设函数．

（1）请指出函数的定义域、周期性；（不必证明）

（2）请以正弦函数的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：在区间上单调递减．

19．（本小题满分12分）

已知平行四边形的周长为20，对角线的长为6，用坐标法求的最小值．

20．（本小题满分12分）

已知向量，，其中，且．

（1）求和的值；

（2）若，且，求角的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数（，，）同时满足下列四个条件中的三个：

①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为．

（1）请选出这三个条件并求出函数的解析式；

（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

图1                   图2

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点、分别在半径、上，且，，求花圃面积的最大值．

SL  2022~2023学年度下学期高一4月月考试卷·数学

参考答案、提示及评分细则

1．A  因为，，所以．

2．C  ，，．故选C．

3．D  因为，所以与共线；

因为，所以与共线；

因为，所以与共线．

只有与不共线，故选D．

4．A  据图象可知，这段时间水深最小值为，所以，

故这段时间水深的最大值为，故选A．

5．C  ，，在方向上的投影向量为：．

6．D  ．

7．D  如图，设，，由弧长公式可得：，解得：，

所以．故选D．

8．B  因为，由正弦定理可得，即，

因为，为三角形的内角，所以或，即或，

同理可得或；当时，不可能成立（三内角和不等于），

当时，也不可能成立，所以只有，即为等边三角形．

9．ACD  结合相关概念，可知只有B正确．

10．ABC  由平方差公式知恒成立，故A正确；

由模的平方等于向量的平方知恒成立，故B正确；

恒成立，故C正确；

当，不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，，故不恒成立，故D错误．故选ABC．

11．ABD  对于A，的图象向左平移个单位得，

因为的图象与的图象关于轴对称，所以，A正确；

对于B，，令，，得其对称中心为，，B正确；

对于C，当，在此区间上单调递减，在此区间上单调递增，C错误；

对于D，当时，，的值域为，的值域为，

因此，，使得，正确．故选ABD．

12．ABD  画出函数的图象如图所示：

由图可知，是以为最小正周期的周期函数，故A正确；

的对称轴方程为，，B正确；

当或，时，的最大值是1，当时，取得最小值，故C错误；

当时，，故D正确．故选ABD．

13．  ，因为，所以，与的夹角是．

14．  角的终边经过点，则．

15．  在中，由余弦定理可知，

整理可得，解得，所以，

又是等边三角形，所以，，

由勾股定理可得，，所以的周长为．

16．5  设与相交于点，则

，

所以．

17．解：（1），

．

（2）由得，

解得

（3），．

，，解得．

18．（1）解：函数，，，，故函数的定义域为．

显然，的周期即的周期，为．

（2）证明：正弦函数在区间上单调递增，且的值域为，

设，则，，即，

在区间上单调递减．

19．解：如图建立平面直角坐标系，设，，，，

则，，

由周长为20，得，所以，

，

因为，

当且仅当时取等号，

所以，所以，

所以的最小值为8．

20．解：（1）因为，所以，即，

．

（2）由（1）得，，

，

因为，，所以，

因为，所以，，

所以，

所以．

21．解：（1）由条件③可知，函数的周期，最大值为1与②④矛盾，故③不符合题意．

选择①②④三个条件．

由②得，由④中，知，则，

由①知，解得，

又，则．

所求函数表达式为．

（2）由题意知．

若，则．所以先递减再递增．

又，，

所以，所以，即的取值范围为．

22．解：（1），，，设，，

又，在中，由正弦定理知：，

，，

周长为，，

化简，

，，

当时，即时，周长取最大值，为．

（2）由题意，可知（2）中的面积与（1）中等底等高，即二者面积相等，

在中，，，，，

由余弦定理知：，

，，

当且仅当时取“=”，．

即花圃面积的最大值为．