山东省烟台市牟平区某校2023-2024学年高三上学期限时练习（开学考试）数学试题

这是一份山东省烟台市牟平区某校2023-2024学年高三上学期限时练习（开学考试）数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。
21级高三限时练习（2023）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A＝{x|x2+3x﹣4＞0}，B＝{x∈Z|0＜|x|≤2}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．{﹣1，1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，1}D．{﹣2，﹣1，1，2}
2．已知复数z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（　　）
A． B．z2＝1 C． D．为纯虚数
3．设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1“是“数列{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A．（2，﹣2） B． C． D．
5．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（　　）

A． B．
C．和是一对相反向量D．
6．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点（1，2），则ω和φ的值分别为（　　）
A．π， B． C． D．2π，
7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且f（x﹣1）是偶函数，当1≤x≤3时，，则f（log240）＝（　　）
A． B． C． D．3
8．如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为12π，体积为V，则V2的最大值为（　　）

A． B．20 C．56 D．24
二、多项选择题：
9．已知函数f（x）＝sinx﹣cosx，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递增
C．直线是f（x）图象的一条对称轴
D．f（x）的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10．已知定义在R上的奇函数f（x），∀x，y∈（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，则（　　）
A．f（1）＝0 B．f（x）有2个零点
C．f（x）在（﹣∞，0）上为减函数 D．不等式xf（x﹣1）＜0的解集是（1，2）
11．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是△ABC所在平面内一点，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C．若点P为BC的中点，则
D．若，则）为定值18
12．已知函数f（x）＝cosx﹣cos3x，则（　　）
A．f（x）的图象关于y轴对称 B．f（x）的值域是[﹣2，2]
C．f（x）在上单调递增 D．f（x）在[0，π]上的所有零点之和为
三．填空题（共4小题）
13.向量，与夹角的大为 　 　．
14．已知a＞b＞1，若logab+logba＝，ab＝ba，则a+b＝　 　．
15．已知函数f（x）＝sin2x+fcosx，则f（）＝　 　．
16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．如图，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的．已知AB＝2，点P为上一点，则的最小值为 　 　．

四．解答题（共6小题）
17．(10分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小（2）若AD平分∠BAC并交BC于D，且AD＝2，a＝3，求△ABC的面积．
18．(12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，a＝3，，过B作BD⊥AC于点D，点E为线段BD的中点．（1）求c；（2）求的值．
19．(12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1，an，Sn成等差数列，且a4＝S3+2．
（1）求{an}的通项公式；（2）若，{bn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，不等式Tn＜λ恒成立，求λ的最小值．
20．(12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E在CC1上，且CE＝2EC1＝2．（1）若平面A1BE与D1C1相交于点F，求D1F；（2）求二面角A﹣BE﹣A1夹角余弦值．

21． (12分）已知函数f（x）＝﹣x+alnx存在两个极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围；（2）求f（x1）+f（x2）﹣3a的最小值．
22．(12分）函数f（x）＝lnx，g（x）＝，其中a＞0．（1）若h（x）＝f（x）+g（x）在（0，+∞）上有两个不同零点，求a的取值范围．（2）若F（x）＝﹣f（x）在 （0，1）上单调递减，求a的取值范围．（3）证明：，n，k∈N*．
（优秀班级）设函数f（x）＝+ax2﹣2ax，g（x）＝+2ax+，a∈R．
（1） 讨论f（x）的单调性；（2）若a∈[﹣1，0），求证：g（x）＜4a+3．

21级高三限时练习答案
1． C．2．C．3．D．
4．【解答】则．B．
5．【解答】解：A项，由于∠ABC＝∠BCD＝135°，明显有AB⊥CD，
故，A正确；B项，•+•＝•+•＝•（+）＝，B正确；C项，和 方向相反，但长度不等，因此不是一对相反C错误；D，∵，，∴，D正确．C．
6．【解答】A解：由题意可知，则T＝6，由，
解得ω＝π，所以：φ），由于，得，（k∈Z）；
因为，所以．故选：A．
7．【解答】解：f（x）的图象关于x＝﹣1对称，f（﹣2+x）＝f（﹣x），由f（1﹣x）＝f（1+x）可得f（x）关于x＝1对称，f（2+x）＝f（﹣x），则f（﹣2+x）＝f（2+x），所以f（x）＝f（x+4），函数f（x）周期为4．因为5＜log240＜6，则有1＜log240﹣4＜2，当1≤x≤3时，，则f（log240）＝+＝+＝．故选：C．
8．【解答】解：设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，则＝12π，则h2＝﹣r2＞0，解得r2∈（0，6），∴V＝，V2＝＝，令t＝r2∈（0，6），设V2＝f（t）＝（36t﹣t3），
则f′（t）＝，若t∈（0，2），f′（t）＞0，若t∈（2，6），f′（t）＜0，∴f（t）max＝f（2）＝π2，∴V2的最大值为．故选：A．
9．BC．10．【解答】解：在f（xy）＝f（x）+f（y）中，令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0，故A正确；又f（x）为R上的奇函数，f（﹣1）＝0，f（0）＝0，∴f（x）至少有三个零点，故B错误；设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，，
，∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上是增函数，由于f（x）为奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，故C错误；由题意，画出f（x﹣1）的图象如图，
xf（x﹣1）＜0等价于或，故选：AD．
11．【解答】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵bcosC+ccosB＝2，由余弦定理可得：
，∴，∴a＝2，又，∴，∴，∴，对A选项，∵，∴，∴AE⊥BC，又E为中点，∴BE＝，又AB＝c＝，∴，∴||＝||＝6，故A选项正确；
对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴AB⊥BC，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当PQ⊥BC时，PQ最小，此时PQ＝，故B选项错误；对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，∴，故C选项正确；对D选项，∵，∴∠BAC的平分线与BC垂直，
∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴AE⊥BC，又由A选项分析知AE＝3，
∴根据向量数量积的几何意义知＝9，∴）＝＝＝2×9＝18，故D选项正确．故选：ACD．
12．【解答】解：对于A：f（x）＝cosx﹣cos3x，则f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣cos（﹣3x）＝cosx﹣cos3x，∴f（﹣x）＝f（x），即f（x）是偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，故A正确；∵f（x）＝cosx﹣cos3x＝cos（2x﹣x）﹣cos（2x+x）＝2sin2xsinx＝4sin2xcosx＝4cosx（1﹣cos2x）＝﹣4cos3x+4cosx．令t＝cosx∈[﹣1，1]，则y＝g（t）＝﹣4t3+4t，则g'（t）＝﹣12t2+4＝﹣4（3t2﹣1）．由g'（t）＞0得，由g'（t）＜0得或．则g（t）在和上单调递减，在上单调递增，又g（﹣1）＝g（1）＝0，，，∴，即f（x）的值域是，故B错误；对于C：当时，．因为t＝cosx在上单调递减，且g（t）在上单调递减，所以f（x）在上单调递增，故C正确；对于D：f（x）＝2sin2xsinx＝0，即sin2x＝0或sinx＝0．∵0≤x≤π，∴0≤2x≤2π，∴x＝0或或x＝π，则f（x）在[0，π]上的所有零点之和为，故D正确，故选：ACD．
13．．14．【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1知t＞1，代入logab+logba＝t+＝，
即3t2﹣10t+3＝0，解得t＝3或t＝（舍去），所以logba＝3，即a＝b3，因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝，a＝3，则a+b＝4，
15．【解答】解f′（x）＝2cos2x﹣f′（）sinx，当x＝时，f′（）＝2cosπ﹣f′（）sin，得f′（）＝﹣1，∴f（x）＝sin2x﹣cosx，∴f（）＝﹣＝，
16．【解答】解：如图，取BC边的中点E，连接PE，PA，再取AE的中点F，连接PF，
则，∴，根据向量数量积的极化恒等式可得：
，又根据题意易得EF＝AE＝，连接CF交于点Q，
则P与Q重合时，PF取得最小值，且PF取得最小值QF＝QC﹣FC＝2﹣＝2﹣，
∴≥2[（2﹣）2﹣]＝10﹣4．故答案为：10﹣4．

17．【解答】解：（1）因，则c（a+c）+b（a+b）＝（a+c）（a+b），整理得：b2+c2﹣a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得：，而0＜A＜π，所以；
（2），而AD＝2，有S△BAD+S△CAD＝S△ABC，即则，整理得：，又a＝3，由（1）知，（b+c）2﹣a2＝3bc，即有，而bc＞0，解得bc＝6，．
18．【解答】解：（1）∵，a＝3，，∴accos＝3c×＝9，∴c＝6．
（2）∵a＝3，c＝6，，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝9+36﹣2×3×6×＝27，∴b＝3，
∵S△ABC＝acsinB＝×3×6×＝，∴BD＝＝＝3，∵点E为线段BD的中点，∴BE＝，∵BD⊥AC，∴•＝0，∵＝+＝+，∴＝•（+）＝＝．
19．【解答】解：（1）a4＝S3+2．所以2an＝a1+Sn，①，当n≥2时，2an﹣1＝a1+Sn﹣1，②，
①﹣②得：2an﹣2an﹣1＝an，整理得an＝2an﹣1，故（常数），所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列；且满足a4＝S3+2，故，解得a1＝2．故．（2）（1）得：；
故＝，当时，不等式Tn＜λ恒成立，故．
20．【解答】解：（1）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接D1C，EF，如图所示：
平面A1BE与D1C1相交于点F，CE＝2EC1＝2，则D1D＝3，C1E＝C1C，∵D1C∥A1B，∴EF∥D1C，∴C1F＝C1D1＝，D1F＝C1D1＝；（2）建立以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：AB＝2，且CE＝2EC1＝2，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，2），A（2，0，0），A1（2，0，3），
则＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），＝（0，2，﹣3），
设平面ABE的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则y＝0，z＝1，∴平面ABE的一个法向量为＝（1，0，1），设平面BEA1的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴平面BEA1的一个法向量为＝（2，3，2），∴|cos＜＞|＝＝＝，故二面角A﹣BE﹣A1的余弦值为．

21．【解答】解：f（x）定义域为，令g（x）＝﹣x2+ax﹣a，∴，解得：a＞4，∴实数a的取值范围为（4，+∞）．
（2）由（1）知：a＞4，x1，x2是g（x）＝0的两根，则x1+x2＝x1x2＝a，，令h（a）＝alna﹣3a（a＞4），则h′（a）＝lna﹣2，∴当a∈（4，e2）时，h′（a）＜0，当a∈（e2，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）在（4，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增，∴，即f（x1）+f（x2）﹣3a的最小值为﹣e2．
22．【解答】解：（1）由已知得，故，
可知x∈（0，a）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，故x＝a时，h（x）取最小值h（a）＝lna+1，又x→0，h（x）→+∞；x→+∞，h（x）→+∞．故要使h（x）在（0，+∞）有两个互异零点，需h（a）＝lna+1＜0，所以0＜a＜，即所求a的范围是（0，）．
（2）要使在区间（0，1）上单调递减，只需在（0，1）上恒成立，化简得a≥xcos（x﹣1）在（0，1）上恒成立．令H（x）＝xcos（x﹣1），H'（x）＝cos（x﹣1）﹣xsin（x﹣1），
当x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，sin（x﹣1）＜0，所以H（x）＞0，即H（x）在（0，1）上单调递增，所以当x∈（0，1）时，H（x）＜H（1）＝1，所以a≥1，即a的范围是[1，+∞）．（3）证明：由（2）知a＝1时，F（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞F（1）＝0，
所以sin（x﹣1）＞lnx，即，x∈（0，1），取得：sin（1﹣）＝sin＜ln，所以sin+sin+……+sin＜ln2++……+ln＝ln＝ln（n+1），即，n，k∈N*成立，故结论成立．
23．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）＝+2ax﹣2a＝（1﹣x）（﹣2a），
对a分类讨论：（i）当a≤0时，﹣2a＞0，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）上单增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减．
（ii）当a＞0时，f′（x）＝（1﹣2aex），令1﹣2aex＝0，解得，
①当，即，则f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增；
②当，即，令f'（x）＞0，则或x＞1，∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，令f'（x）＜0，则，∴f（x）在上单调递减；③当，即时，令f'（x）＞0，则x＜1或，
∴f（x）在（﹣∞，1）和上单调递增，令f'（x）＜0，则，∴f（x）在上单调递减．综上可得：（i）当a≤0时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（ii）当a＞0时，①当时，f（x）在R上单调递增；②当，f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；③当时，f（x）在（﹣∞，1）和上单调递增，在上单调递减．
（2）要证：g（x）＜4a+3．即证明：+2ax+＜4a+3，a∈R，其中x＞0，
需要证明：，亦需要证明，
由（1）知，当a∈[﹣1，0）时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极大值，即最大值为，又∵a∈[﹣1，0），∴﹣a∈（0，1]，∴，即，又设，，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）内单调递减，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）内单调递增，∴h（x）在（0，+∞）时，有唯一极小值，即最小值为，而，∴h（x）＞f（x），∴原结论成立．