专题训练 轴对称30道压轴题训练-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）

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专题训练 轴对称30道压轴题训练
【题型归纳】
轴对称30道压轴题训练

【重难点训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】
∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，
∵，
∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，
△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，
∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，
∴②③正确，①④不正确，
∵∠A＝80°，
∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
2．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（     ）

A．30° B．42° C．45° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出AB＝AC．利用等腰三角形的性质得出AP⊥BC．∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果．
【详解】
解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∴AB＝AD．
同理：AC＝AD．
∴AB＝AC．
∵AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AP⊥AD．
∴∠PAD＝90°．
设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，
∴∠ABC＝2x．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2x．
∴∠PAC＝90°﹣2x．
∵DP平分∠BDC，
∴设∠BDP＝∠CDP＝y，
∴∠BDC＝2y．
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．
∵AC＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．
∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．
∵∠PAD＝90°，
∴∠PAC+∠DAC＝90°．
∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．
整理得：x+y＝45°，
∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，
∴∠ADP＝45°．
∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
3．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】
∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．


∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
【点睛】
本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．
4．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长．
【详解】
解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示：

由对称性可知，，，
的周长，
，，
，
，
，
，
当时，最短，此时的周长最小，
，的面积9，
，
的周长最小值为6，
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键．
5．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（   ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
【答案】C
【解析】
【分析】
解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．
【详解】

①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得：，此时腰为，底为，
但+<4，不符合构成三角形的条件，
故不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
6．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（       ）

A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】
解：过点作于，如图，

是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
7．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；
【详解】
解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°，
第二次翻折后3a+∠BDC=180°，
第三次翻折后4a+∠BDE=180°，
第四次翻折后5a+∠BDC=180°，
若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°，
若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°，
当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上，
∴30°＜a＜36°，
故选：D；
【点睛】
本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．
8．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　）

A．190° B．195° C．200° D．210°
【答案】D
【解析】
【分析】
作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．由题意可求出．由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出．由图易求出，由三角形外角性质可求出，即．再根据，即得出，从而可证明，即得出AC=AO．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可．
【详解】
如图，作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．

由题意可求出，
∵，
∴．
∵，
∴CD为AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴AC=AO．
∵，
∴．
∵，
∴
故选D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．
9．如图，在中，，过点作于点，点是上一点，将沿着翻折得到，连接，若，，三点恰好在同一条直线上，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余角和等腰三角形的性质得=48°、，根据等要三角形的性质，得=48°；根据全等三角形的性质，通过证明，得；根据轴对称的性质，得，，；设，根据三角形外角的性质，通过列一元一次方程并求解，得的值，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∵
∴,
∵
∴
在和中

∴
∴
∵将沿着翻折得到，
∴，，
∴
设
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形、余角、三角形内角和、三角形外角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
10．如图，在中，，以AC为底边向外作等腰，，在CD上截取，连接BE．若，则的度数为（       ）


A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，证明可得是等边三角形，进而证明，可得，设，则，根据三角形的内角和以及外角的性质可得，，建立方程求解即可．
【详解】
如图，延长，交于点，在上截取，以为边作等边三角形，连接到，


，，
，
，
，
，
，
Rt△BFE中，∠BEF=30°，则FE=2BF
∴HE=HF

，
即，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，

，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
在与中

，
，
即，
，
即．
故选：C．
【点睛】
本题主要考了全等三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，证明是等边三角形解答本题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，，连接，则________．

【答案】90°##90度
【解析】
【分析】
设BD、EF交于点G，先证明BD⊥EF，则有∠AFE=90°+∠ABC，再证明2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，即可求解．
【详解】
设BD、EF交于点G，如图，


∵BF=BE，
∴△BEF是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，BD⊥EF，
∴∠BGE=∠BGF=90°，
∵∠AFE=∠BGF+∠ABG，
∴∠AFE=90°+∠ABC，
∵DE平分∠BDC，
∴2∠BDE=∠BDC，
∵∠C=90°，
∴∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDC+∠ABC=90°，
∴2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，
∵，
∴，
∴，
故答案为：90°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质等知识，证明BD⊥EF，是解答本题的关键．
12．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ___．（填序号）①平分；②；③；④．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】
过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】
①过点作于，

∵平分，平分，，，，
，，
，
点在的角平分线上，故①正确；
②∵，，
，
．
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③∵平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，
，，
，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定，掌握定理是解题的关键．
13．如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则______．

【答案】6
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出即可得到；在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，从而得到，据此求解即可．
【详解】
解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，   
∴，即，
∴在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在等边三角形中，，
∴；
在上截取，使，连接，
∵，，


∴是等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，   
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，且BD=AB，连接AD、DC．则∠BDC的度数为__________°．

【答案】130
【解析】
【分析】
延长AD到点E，使得AE=BC，证得DBC≌△CAE，设∠CDE=∠CED=α，表示出∠BDC=∠ACE=100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=20°，
∵BD=AB，
∴∠ADB=∠DAB=80°，
∴∠CAD=20°，
∴∠CAD=∠DBC，
延长AD到点E，使得AE=BC，

∵BD=AB=AC，∠CAD=∠DBC=20°，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD=CE，∠BDC=∠ACE，
∴∠CDE=∠CED=α，
∵∠ADB=80°，
∴∠BDE=100°，
∴∠BDC=∠ACE=100°+α，
∴20°+100°+α+α=180°，
∴α=30°，
∴∠BDC=130°．
故答案为：130．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是根据题意结合等腰三角形的性质得到各个角之间的关系．
15．如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．

【答案】3
【解析】
【分析】
取BC的中点G，连接MG，从而得出BG=CG=6，根据旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°，然后根据等边三角形的性质可得AB=BC，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=30°，然后利用SAS证出△NBH≌△MBG，从而得出HN=GM，故HN的最小值即为GM的最小值，根据垂线段最短，即可当GM⊥CH时，GM最小，求出此时的GM即可．
【详解】
解:如图，取BC的中点G，连接MG

∴BG=CG==6
由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°
∵等边中，CH为AB边上的高
∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=
∴BH=BG，∠MBN=∠ABC
∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA
∴∠NBH=∠MBG
在△NBH和△MBG中

∴△NBH≌△MBG(SAS)
∴HN=GM
∴长度的最小值即为GM长度的最小值
根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小
此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°
∴GM=
即长度的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
16．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________．

【答案】a＞8或a=4
【解析】
【分析】
如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个．
【详解】
如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，

过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，
当MH=4时，
∵∠AOB=30°，
∴OM=2MH=8，
∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，
另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，
此时a=4，
故答案为：a＞8或a=4
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题．
17．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据△A1B1A2为等边三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，根据∠MON=30°，进而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1为等腰三角形，同理可证△OA2B2为等腰三角形，OA2 =A2B2= A2A3=2，依次类推可知△OA3B3为等腰三角形，则OA3 =A3B3= A3A4=，同理可知△OA4B4为等腰三角形，则OA4 =A4B4= A4A5=，由此可找到边长的变化规律推导出边长即可．
【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=,
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律并应用规律是解决本题的关键．
18．如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 _____（填序号）．

【答案】①②④
【解析】
【分析】
由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE=DC，∠ADC=∠ABE，求出∠BOD=60°，①正确；②正确；∠ADB=∠AEC=60°，但不能推出∠ADC=∠AEB，则∠BDO=∠CEO错误，即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB=∠ABC=60°，推出∠ACB=30°，则BC⊥CE，④正确．
【详解】
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵∠ACE=60°，
∴∠ECB=90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
取AB中点E，连接EC，ED，CP，先证明△AEC是等边三角形，得到AE＝AC，再证明△ADE≌△APC（SAS）得到DE＝CP，然后利用垂线段最短求出CP的最小值为，
【详解】
解：如图，取AB中点E，连接EC，ED，CP，

∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，点E是AB中点，
∴，AE＝BE＝CE＝1，∠BAC＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE＝AC，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°＝∠EAC，
∴∠EAD+∠DAC=∠DAC+∠CAP，
∴∠EAD＝∠CAP，
∴△ADE≌△APC（SAS），
∴DE＝CP，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，即CP有最小值，
∵∠B＝30°，DE⊥BC，
∴，
∴CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF．C′F交AD于点G，若是等腰三角形，则______．

【答案】40°或50°
【解析】
【分析】
如图：利用翻折前后的角相等得到∠1+∠GFC=∠1+2∠3=150°,再根据三角形的内角和定理得到∠3=∠2-30°,最后分情况讨论即可解答．
【详解】
解：由翻折可知,∠3=∠EFC,
∵∠C＋∠D＝210°,
∴∠1+∠GFC=∠1+2∠3=360°-（∠C＋∠D）=150°,
∵∠1=180°-∠2-∠3,代入式得∠3=∠2-30°,
把代入得∠1+2∠2=210°,
若∠1=∠2,由式可得,∠1=∠2=70°,∠3=40°,
若∠1=∠3,由式可得,∠1=∠3=50°,∠2=80°,
若∠2=∠3,则不成立,说明此种情况不存在,
综上∠EFG=40°或50°．
故答案是40°或50°．

【点睛】
本题考查了图形的翻折，三角形的内角和，难度较大,熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键．
三、解答题
21．如图，在Rt△ABC中，，，F为直线AB上一点，连接FC．作于点D，连接AD，过点A作交BD于点E．

(1)如图1，求证：AD=AE
(2)如图2，若点H是BD中点，连接AH、CE，求证：
(3)如图3，当点F运动到线段AB上且不与A、B重合时，连接CE，过点A作交BD于点H，猜想CE与AH之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)CE=2AH
【解析】
【分析】
（1）证明△ABE≌△ACD，即可求证；
（2）延长AH至点N使HN=AH，连接BN，可证得△ADH≌△NBH，从而得到BN=AD=AE，∠N=∠DAH，进而得到BN∥AD，再证明△ABN≌△CAE，即可求证；
（3）在CE上截取PE=AH，连接AP，先证明△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，AE=AD，从而证得△AEP≌△DAH，可得到∠APE=∠AHD，进而得到∠APE=∠AHD，继而得到AP∥CD，可得到∠CAP=∠ABE，从而证得△ABH≌△CAP，即可求解．
(1)
证明：∵，，
∴∠DAE=∠BAC=∠CAF=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵，即∠BDF=∠BDC=90°，
∴∠F+∠ABE=∠F+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵，
∴△ABE≌△ACD，
∴AD=AE；
(2)
证明：如图，延长AH至点N使HN=AH，连接BN，

∵点H是BD的中点，
∴BH=DD，
∵∠AHD=∠BHN，
∴△ADH≌△NBH，
∴BN=AD=AE，∠N=∠DAH，
∴BN∥AD，
∴∠ABN=∠DAF，
由（1）得：∠BAE=∠CAD，
∵∠DAF+∠CAD=∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠CAE，
∴∠ABN =∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABN≌△CAE，
∴CE=AN=NH+AH=2AH；
(3)
解：CE=2AN，理由如下：
在CE上截取PE=AH，连接AP，

∵BD⊥CF，
∴∠ADE+∠ADC=90°，
∵AD⊥AE，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠DAE=90°
∴∠ADC=∠AED，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠CAD=∠BAE，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，AE=AD，
∵，，
∴∠CED+∠DCE=90°，∠CED+EHA=90°，
∴∠DCE=∠EHA，
∵，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠AEC+∠DCE=45°，∠DAH+∠AHD=∠ADE=45°，
∴∠AEC=∠DAH，
∴△AEP≌△DAH，
∴∠APE=∠AHD，
∴∠APC=∠AHB，∠APE=∠DCE，
∴AP∥CD，
∴∠CAP=∠ACD，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠CAP=∠ABE，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△CAP，
∴AH=PC，
∴CE=PE+PC=2AH．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，并作适当的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
22．知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．


(1)如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF_________DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
(2)如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①= ，②见解析
(2)成立，见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABF≌△CAH，△ADF≌△EAH，推理即可得证．
（2）过点B作BG⊥FH，垂足为G，过点D作DM⊥FH，交HF的延长线于点M，证明△ABG≌△CAH，△ADM≌△EAH，得到BG=AH=DM，证明△DMF≌△BGF，推理即可．
(1)
①如图，


∵AB=AC=AD=AE，∠CAB=∠CHA=90°，
∴∠CAH=∠EAH，
∴90°-∠CAH=90°-∠EAH，
∴∠BAF=∠DAF，
∴AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，∠BAF+∠CAH=90°，
∴∠ACH=∠BAF，
∴△ABF≌△CAH，
∴AF=CH，BF=AH．
同理可证，△ADF≌△EAH，
∴AF=EH，DF=AH．
∴BF=DF，
故答案为：=；
②由①知，AF=CH=EH，
故CE=CH+EH=AF+AF=2AF．
(2)
成立．理由如下：
过点B作BG⊥FH，垂足为G，过点D作DM⊥FH，交HF的延长线于点M，


∵AB=AC，∠CAB=∠BGA=∠CHA=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，∠BAG+∠CAH=90°，
∴∠ACH=∠BAG，
∴△ABG≌△CAH，
∴AG=CH，BG=AH．
同理可证，△ADM≌△EAH，
∴AM=EH，DM=AH．
∴BG=AH=DM，
∵∠BGF=∠DMF=90°，∠BFG=∠DFM，
∴△DMF≌△BGF，
∴MF=GF，BF=DF，
∴CE=CH+EH=AG+AM=AF-FG+AF+FM=2AF．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
23．探究与应用
(1)【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果：

①的度数为___________；
②与之间的数量关系为______________；
(2)【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、．
则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________．
【答案】(1)①120°； ②DE＝EF
(2)AE2+DB2＝DE2；理由见解析
(3)S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得．
（2）根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得AE2+DB2＝DE2．
（3）将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，由全等三角形的性质推导出，，则，即得S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2．
(1)
解：①的度数为120°，理由如下：
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，即．
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
②DE＝EF，理由如下：
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴．
(2)
解：AE2+DB2＝DE2 ，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°，
由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵，
∴，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
∵，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°；
∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
∵，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
又∵AF＝DB，
∴AE2+DB2＝DE2．
(3)
解：如图，将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°，
由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°，
∵，
∴，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
∵，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°；
∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°，
∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCE＝∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
∵，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF．
∵△DCE≌△FCE，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵△ACF≌△BCD，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，
．
∵△DCE≌△FCE，△ACF≌△BCD，
∴EF=ED，AF=BD，
∴，
∵S△BCD：S△CDE：S△ACE＝，
∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2．
【点睛】
本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
24．等边ΔABC的边BC上有一点E，点D在直线AB上，以DE为边作等边ΔDEF；

(1)如图①当D与A重合时，在DE的左侧作等边ΔDEF，连接BF，求证：BF∥AC；
(2)如图②当D在射线BA上时，在DE的左侧作等边ΔDEF，请直接写出：DA、BF、EC这三条线段之间的数量关系；
(3)如图③当D是AB中点时，在DE的右侧作等边ΔDEF，连接CD，请直接写出点E在线段BC上运动时，∠CFD与∠CDE之间的关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)DA+EC=BF；
(3)∠CFD+2∠CDE=300°
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）过点D作DG∥AC交BC延长线于点G，推出△DBG是等边三角形，然后再证明出△BDF≌△GDE（SAS），据此即可求解；
（3）过点D作DTAC交BC于点T，连接FT，先证明△BDT是等边三角形，然后再证明△DBE≌△DTF（SAS）,△BDE≌△TCF（SAS），得到FCE＝∠FEC，设∠FEC＝∠FCE＝x，得
依次得到∠FCD＝30°－x,∠BDE＝∠FEC＝x，∠CDE＝90°－x，∠CDF＝90°－60°－x＝30°－x，∠CFD＝180°－∠CDF－∠FCD＝120°＋2x，进一步得到结论即可．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，AB=AC，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAF+∠EAB=∠CAE+∠EAB=60°，
∴∠BAF=∠CAE，
在△BAF和△CAE中，
，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴∠ABF=∠C=60°，
∴∠FBC=∠ABF +∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴BF∥AC；
(2)
解：DA+EC=BF，
证明：过点D作DG∥AC交BC延长线于点G，如图④，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠BDG=60°，∠ACB=∠G=60°，
∴△DBG是等边三角形，
∴AD=BD-AB=BG-BC=CG，
同理△BDF≌△GDE（SAS），
∴BF=EG=EC+CG=EC+DA，
∴DA+EC=BF；
(3)
解：过点D作DTAC交BC于点T，连接FT，如图5，

∴∠BDT＝∠A＝60°，∠BTD＝∠BCA＝60°，
∴∠BDT＝∠BTD＝∠A＝60°，
∴△BDT是等边三角形，
∴DB＝DT,
∵∠BDE＋∠EDT＝∠FDT＋∠EDT＝60°，
∴∠BDE＝∠FDT，
∵DE＝DF，
∴△DBE≌△DTF（SAS）,
∴∠DTF＝∠B＝60°，BE＝TF，
∴∠FTC＝180°－∠BTD－∠DTF＝60°，
∴∠FTC＝∠B,
∵CT＝BT＝BD，
∴△BDE≌△TCF（SAS），
∴DE＝CF,
∵EF＝DE，
∴EF＝CF,
∴∠FCE＝∠FEC，
设∠FEC＝∠FCE＝x，
∵AD＝BD，△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，∠BCD＝30°，
∴∠FCD＝30°－x,
∵∠BDE＋∠B＝∠DEF＋∠FEC，
∴∠BDE＝∠FEC＝x，
∵∠BDC＝90°，
∴∠CDE＝90°－x，∠CDF＝90°－60°－x＝30°－x，
∴∠CFD＝180°－∠CDF－∠FCD＝180°－（30°－x）－（30°－x）＝120°＋2x，
∴∠CFD＋2∠CDE＝120°＋2x＋2（90°－x）＝300°
即∠CFD＋2∠CDE＝300°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．
25．已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．

(1)如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；
(2)当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质得到AD=AE，∠DAC=∠EAC，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°．求得．根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）延长CF到点G，使GF=CF，连接BG．根据线段中点的定义得到BF=EF．根据全等三角形的性质得到GB=CE，∠G=∠FCE．由对称的性质得到CD=CE，∠ACD=∠ACE=120°．根据全等三角形的性质即可得到结论．
(1)
∵点D，E关于直线AC对称，
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC．
∵ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵点D为线段BC的中点，
∴．
∴∠DAC＝∠EAC＝30°．
∴∠DAE＝60°．
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
(2)
补全图形．如图所示，
线段AD与CF的数量关系：AD＝2CF．
证明：延长CF到点G，使GF＝CF，连接BG．
∵F为线段BE的中点，
∴BF＝EF
在△BFG和△EFC中，
，
∴△BFG≌△EFC（SAS）．
∴GB＝CE，∠G＝∠FCE．
∴BG∥CE
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°． ∴∠ACD＝120°．
∵点D，E关于直线AC对称，
∴CD＝CE，∠ACD＝∠ACE＝120°．
∴CD＝BG，∠BCE＝60°．
∵BG∥CE．
∴∠BCE+∠CBG＝180°
∴∠CBG＝120°．
∴∠ACD＝∠CBG．
在△ACD和△CBG中，

∴△ACD≌△CBG（SAS）．
∴AD＝CG．
∴AD＝2CF．

【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
26．（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；


（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合），直接写出线段 CF、CE、 BC 之间的数量关系为______；


（3）【拓展延伸】如图③，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点 A 作 AE⊥AC， 交 CB 的延长线于点 E，若 CB=6，DC=2，则 BE 的长为 ．



【答案】（1）CF+CE=BC；证明见解析；（2）CF+CE=BC；（3）10
【解析】
【分析】
（1）利用ASA证明，推出，则；
（2）取BC中点G，连接DG，利用已知条件和直角三角形斜边中线的性质先证是等边三角形，再证，推出，进而得到；
（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，同（2）证明，得出，进而求出，再证，即可得出．
【详解】
解：（1）CF+CE=BC．
证明如下：
∵等腰△ACB中∠ACB =90°，D为AB的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
又∵∠MDN=90°，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）CF+CE=BC．
证明如下：
取BC中点G，连接DG，
∵等腰△ACB中∠ACB=120°，D为AB 的中点，
∴，即，
，
∵在中，点G是BC中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；


（3）延长EA，CD交于点F，取G为CF的中点，
∵AE⊥AC，
∴，
在中，点G是CF中点，
∴，
∵AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，


又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．


【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，第三问有一定难度，能够运用前两问的解题思路，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______；
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）；（2）见详解（3），证明见详解
【解析】
【分析】
（1）证明，推导，在中利用三角形三边关系确定的取值范围；
（2）延长ED到H，使得，连接DH、FH，证明，推导，再借助垂直平分线的性质证明，在中利用三角形三边关系确定求证；
（3）结论：．延长BC至H，使得，连接DH，依次证明和，推导，由即可证明结论．
【详解】
解：（1）如图1，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：；
（2）如图4，延长ED到H，使得，连接DH、FH，

∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴；
（3）结论：．
证明：如图5，延长BC至H，使得，连接DH，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是作出辅助线构造全等三角形解决问题．
28．如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M．

(1)求证：ABQ≌CAP；
(2)在整个运动过种中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？
(4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)不变，∠CMQ =60°
(3)第秒或第秒
(4)120°
【解析】
【分析】
（1）利用SAS可直接证明；
（2）由ABQ≌CAP得∠BAQ=∠ACP，利用外角的性质并进行等量代换可得∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）分∠PQB=90°，∠BPQ=90°两种情况，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半列式求解；
（4）先利用SAS证明△PBC≌△QCA，得出∠BPC=∠MQC，再利用三角形内角和定理得出∠CMQ=∠PBC=120°．
(1)
解：在等边△ABC中，
∵AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
(2)
解：不变，∠CMQ =60°．理由如下：
由（1）得△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
(3)
解：设运动时间为t秒，则AP=BQ=t，PB=4﹣t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°．
∴BQ=PB，即，
解得；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°．
∴PB=BQ，即，
解得；
∴当点 P、Q 运动到第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
(4)
解：∵在等边三角形中，AB=AC，∠ABQ=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴，
∴BP=CQ，
在△PBC和△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS）．
∴∠BPC=∠MQC，
∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°．


【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质等知识点，第3问需要分类讨论，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
29．【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．

【理解】
（1）如图1，，AC平分，求证：．
【拓展】
（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，CD交MA的延长线于点D，CB交射线AN于点B，写出线段AD，AB，AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
【应用】
（3）如图3，为等边三角形，，P为BC边的中点，，将绕点P转动使射线PM交直线AC于点M，射线PN交直线AB于点N，当时，请直接写出AN的长．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，即可得证；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据三角形的外角以及对顶角的性质，证明，然后证明，由，可得，即可得证；
（3）分在的上方和下方两种情形讨论，①过点分别作的垂线，根据（2）的结论可得，根据含30度角的直角三角形的性质，求得的长，进而可得的长，根据即可求解，②同①方法求解，根据即可求解．
【详解】
（1） AC平分，，
，，，
，
；
（2），理由如下，
如图，过点分别作的垂线，垂足分别为E、F，

由（1）可得，，
绕点C逆时针旋转，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
又，
；
（3）①如图，当在下方时，过点分别作的垂线，垂足分别为E、F，

是的中点，是等边三角形，
平分，∠B=∠C=60°，
，
由（2）可得，
，
，
，
∴∠EPC=∠FPB=90°-60°=30°，
，
，
，
，
②如图，当在上方时，过点分别作的垂线，垂足分别为E、F，


同理可得
．
综上所述，的长为14或2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，作两垂线证明三角形全等是解题的关键．
30．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．

(1)小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，连接AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由；
(2)如小明研究结果可以总结为：
　 　，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）
(3)如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为　 　度．（直接写出结果即可）
【答案】(1)见解析
(2)若三角形的一个内角是另一个内角的3倍；当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”（答案不唯一）
(3)36或90或108或
【解析】
【分析】
（1）利用角的和差计算、三角形外角的性质证明∠BAD＝∠ADB＝2∠C，推出△ADB，△ADC是等腰三角形，根据“活三角形”的定义判断即可．
（2）当一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”；利用三角形外角的性质可以证明：当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”．
（3）分类讨论，根据“活三角形”的定义，画出大致图形，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理逐个求解即可．
(1)
证明：∵∠DAC＝∠C，∠BAC＝3∠C，
∴∠BAD＝2∠C，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形，
∴△ABC是“活三角形”，直线AD称为该“活三角形”的“生命线”．
(2)
解：如小明研究结果可以总结为：当一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．
其它特征：当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”．
比如：∠B＝2∠C时，
在BC上取一上D，连接AD，令∠DAC＝∠C，
∴DA＝DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠ADC＝∠DAC+∠C ＝2∠C，
∴∠B＝∠ADC，
∴AB＝AD，
∴△ADB是等腰三角形，
∴△ABC是“活三角形”．
(3)
解：如图1，

当过顶角∠C的顶点的直线CD把等腰△ABC分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD，
设∠A＝x°，
则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°，
∴∠BCD＝∠B＝x°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°
∴x+x+x+x＝180，
解得x＝45，
则顶角∠ACB＝90°．
（2）如图2，

当AC＝CD＝AB，BD＝AD时，
设∠B＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝x°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，
∵AC＝DC，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，
∴∠BAC＝3x°，
∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴x+x+3x＝180，
解得x＝36°，
则顶角∠BAC＝108°．
（3）如图3，

当过底角∠CAB的角平分线AD把△ABC分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD，
设∠C＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝2x°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得x＝36，
则顶角∠C＝36°．
（4）如图4，


当∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠CAD时，则有AC＝BC，AB＝DB＝CD，
设∠C＝x°，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，
∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠CAD＝3x°，
∴∠B＝∠BAC＝3x°，
∵∠BAC +∠B+∠C＝180°，
∴3x+3x+x＝180，
解得x＝，
则顶角∠C＝．
综上所述，满足条件的顶角的度数为90°，108°，36°，．
故答案为36或90或108或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．