2023年高考数学考前20天终极冲刺之集合、常用逻辑用语

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之集合、常用逻辑用语，共35页。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之集合、常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∪N＝（　　）
A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|﹣2≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＜2}
2．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知A＝{（x，y）|xy＝12}，B＝{（x，y）|x，y∈N，y≤x}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023•香坊区校级一模）已知集合A＝{x|x2+x≤2}，B＝{1，a}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
4．（2022秋•宜丰县校级期末）命题“∀x∈R，mx2﹣2mx+1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　）
A．0≤m＜1 B．m＜0或m≥1 C．m≤0或m≥1 D．0＜m＜1
5．（2022秋•遂宁期末）“函数f（x）＝x2﹣3mx+18在区间（0，3）上不单调”是“0＜m＜2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023•大通县二模）使“a＜b”成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．∀x∈（0，1]，a≤b+x B．∀x∈（0，1]，a+x＜b
C．∃x∈[0，1]，a＜b+x D．∃x∈[0，1]，a+x≤b
7．（2022秋•庆阳期末）下列式子中，可以是函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数的充分必要条件为（　　）
A．φ＝π B．
C．，k∈Z D．，k∈Z
8．（2022秋•南平期末）“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•遂宁期末）下列命题中正确的有（　　）
A．集合{a，b}的真子集是{a}，{b}
B．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形}
C．设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，若A＝B，则a﹣b＝﹣2
D．∅∈{x|x2+1＝0，x∈R}
（多选）10．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（　　）
A．﹣1∉A B．
C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x﹣y∈A
（多选）11．（2022秋•承德期末）下列判断正确的是（　　）
A．∃x∈R，ex＜ex+1
B．∀x∈R，lnx＜x﹣1
C．“正方形是菱形”是全称量词命题
D．“∃x∈R，cosx＞1”是存在量词命题
（多选）12．（2022秋•杭州期末）以下说法正确的有（　　）
A．“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充要条件
B．若，则a＞b
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”
D．当时，的最小值为
三．填空题（共5小题）
13．（2023春•金东区校级月考）设集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2．则A的子集中有 　 　个“翔集合”．
14．（2023春•杨浦区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x||x﹣3|＜2，x∈Z}，则A∩B＝　 　．
15．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　 　．
16．（2022秋•徐汇区期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1+x＞2x+4}，则＝　 　．
17．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•武陵区校级期末）设a∈R，集合，
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若3∈A∩（∁RB），求a的取值范围．
19．（2022秋•济宁期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若2∈B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
20．（2022秋•零陵区校级期末）集合A＝．
（1）求A∩B；
（2）在①B∩C＝C，②B∩C＝∅，③条件p：x∈C，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，这三个条件中任选一个填到横线上，并解答．
已知_____，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分．
21．（2023•酉阳县校级模拟）命题p：任意x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+1＜0成立．
（1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
22．（2023春•呼和浩特月考）已知命题p：x2﹣7x+10＜0，命题q：x2﹣3mx+2m2＜0，其中m＞0．
（Ⅰ）若m＝3，且p、q同时为真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之集合、常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∪N＝（　　）
A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|﹣2≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＜2}
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】由一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性解不等式，再求并集．
【解答】解：因为M＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，N＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，
所以M∪N＝{x|﹣2≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知A＝{（x，y）|xy＝12}，B＝{（x，y）|x，y∈N，y≤x}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】利用交集定义、列举法能求出结果．
【解答】解：A＝{（x，y）|xy＝12}，B＝{（x，y）|x，y∈N，y≤x}，
∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（12，1），（6，2），（4，3）}．
则A∩B的元素个数为3．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2023•香坊区校级一模）已知集合A＝{x|x2+x≤2}，B＝{1，a}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】解一元二次不等式化简集合A，由B⊆A，以及集合B中元素的互异性，得出实数a的取值集合．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x≤2}＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{1，a}，
若B⊆A，则实数a的取值集合为{x|﹣2≤x≤1}，
又集合元素具有互异性，∴a的取值集合为{x|﹣2≤x＜1}．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
4．（2022秋•宜丰县校级期末）命题“∀x∈R，mx2﹣2mx+1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　）
A．0≤m＜1 B．m＜0或m≥1 C．m≤0或m≥1 D．0＜m＜1
【考点】全称量词和全称命题；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对m分类讨论来求得m的取值范围．
【解答】解：命题“∀x∈R，mx2﹣2mx+1＞0”是假命题，
所以“∃x∈R，mx2﹣2mx+1≤0”是真命题，
当m＝0时，1≤0不成立，不符合题意，
所以m≠0，
所以m＜0或，
所以m＜0或m≥1．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
5．（2022秋•遂宁期末）“函数f（x）＝x2﹣3mx+18在区间（0，3）上不单调”是“0＜m＜2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案．
【解答】解：由函数f（x）＝x2﹣3mx+18在区间（0，3）上不单调，可得，即0＜m＜2；
由0＜m＜2，得，得函数f（x）＝x2﹣3mx+18在区间（0，3）上不单调，
所以“函数f（x）＝x2﹣3mx+18在区间（0，3）上不单调”是“0＜m＜2”的充分且必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
6．（2023•大通县二模）使“a＜b”成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．∀x∈（0，1]，a≤b+x B．∀x∈（0，1]，a+x＜b
C．∃x∈[0，1]，a＜b+x D．∃x∈[0，1]，a+x≤b
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
【解答】解：对于A，若∀x∈（0，1]，a≤b+x，当a＝b时，a＝b＜b+x成立，
所以“∀x∈（0，1]，a≤b+x”不能推出“a＜b”，A不满足条件；
对于B，∀x∈（0，1]，a+x＜b，则a＜a+x＜b，即a＜b，充分性成立，
所以“∀x∈（0，1]，a+x＜b”⇒“a＜b”，
若a＜b，则∀x∈（0，1]，不妨取a＝1，b＝1.2，x＝0.5，则a+x＞b，必要性不成立，
所以“∀x∈（0，1]，a＜b+x”是“a＜b”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若a＜b，则∃x∈[0，1]，使得a＜b≤b+x，即a＜b+x，
即“a＜b”⇒“∃x∈[0，1]，a＜b+x”，
所以“∃x∈[0，1]，a＜b+x”是“a＜b”的充分条件，C不满足条件；
对于D，若∃x∈[0，1]，a+x≤b，则a≤a+x≤b，即a≤b，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以“∃x∈[0，1]，a+x≤b”不能推出“a＜b”，D不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
7．（2022秋•庆阳期末）下列式子中，可以是函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数的充分必要条件为（　　）
A．φ＝π B．
C．，k∈Z D．，k∈Z
【考点】充分条件与必要条件；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可．
【解答】解：若f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数，则f（0）＝cosφ＝0，解得，
当时，有f（x）＝cos（2x+φ）＝±sin2x，则函数f（x）为奇函数，
所以函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数的充分必要条件为．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，余弦函数的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8．（2022秋•南平期末）“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件；三角函数线．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【分析】由0＜x＜1，得0＜sinx＜1；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断．
【解答】解：由0＜x＜1，得，
反之，由0＜sinx＜1，得2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z，
∴“0＜x＜1”是“0＜sinx＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•遂宁期末）下列命题中正确的有（　　）
A．集合{a，b}的真子集是{a}，{b}
B．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形}
C．设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，若A＝B，则a﹣b＝﹣2
D．∅∈{x|x2+1＝0，x∈R}
【考点】子集与真子集；命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断；集合的相等；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出a，b，可知C正确；根据{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅可知D不正确．
【解答】解：对于A，集合{a，b}的真子集是{a}，{b}，∅，故A不正确；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形}，故B正确；
对于C，因为A＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，A＝B，所以a＝﹣1，b＝1，a﹣b＝﹣2，故C正确；
对于D，因为x是实数，所以x2+1＝0无解，所以{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅，故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了集合相等的定义，属于基础题．
（多选）10．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（　　）
A．﹣1∉A B．
C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x﹣y∈A
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】探究型；集合思想；综合法；反证法；集合；逻辑推理．
【分析】用反证法，证明矛盾即可判断A；由1开始类推，能得到所有自然数均属于集合A，由题知两者相除也属于集合A，即可判断B；由集合A的性质可得x•y∈A，x﹣y∈A，即可判断选项C和D．
【解答】解：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，
令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴﹣1∉A，故A对；
对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，
若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）11．（2022秋•承德期末）下列判断正确的是（　　）
A．∃x∈R，ex＜ex+1
B．∀x∈R，lnx＜x﹣1
C．“正方形是菱形”是全称量词命题
D．“∃x∈R，cosx＞1”是存在量词命题
【考点】全称量词和全称命题；存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义和真假的判断依据即可求解．
【解答】解：对于A，当x＝1时，e＜e+1成立，故A正确；
对于B，当x＝1时，0＜0不成立，故B错误；
对于C，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故C正确；
对于D，“∃x∈R，cosx＞1”是存在量词命题，故D正确．
故答案为：ACD．
【点评】本题主要考查全称量词命题和存在量词命题的定义，属于基础题．
（多选）12．（2022秋•杭州期末）以下说法正确的有（　　）
A．“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充要条件
B．若，则a＞b
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”
D．当时，的最小值为
【考点】充分条件与必要条件；特称命题的否定；命题的真假判断与应用；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，即可判断A项；根据不等式的性质，即可判断B项；写出存在量词命题的否定，即可判断C项；换元t＝sinx∈（0，1），根据对勾函数的单调性，即可求出，即可判断D项．
【解答】解：对于A，当x＝0且y＝0时，有xy＝0；当xy＝0时，x＝0或y＝0，得不出x＝0且y＝0．所以，“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，由可知ab＞0，由不等式的性质，可得a＞b成立，故B正确；
对于C，由存在量词命题的否定可知命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1＜0”，故C正确；
对于D，令t＝sinx∈（0，1），因为在（0，1）上单调递减，所以，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了命题的否定，以及基本不等式的应用，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023春•金东区校级月考）设集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2．则A的子集中有 　49　个“翔集合”．
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；集合；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】设满足题意性质的子集个数为an，则有a2＝a3＝0，a4＝1，当n＞4时，分为有n的子集和不含有n的子集，分别求解，即可得答案．
【解答】解：设集合{1，2，3，…，n}中满足题设性质的子集个数为an，则a2＝a3＝0，a4＝1，
当n＞4时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：
一类是含有n的子集，去掉n后剩下小于n﹣2单元子集或者是{1，2，3，…，n﹣3}满足题设性质的子集，
前者有n﹣3个，后者有an﹣3个；
另一类是不含有n的子集，此时恰好是{1，2，3，…，n﹣1}满足题设性质的子集，有an﹣1个，
于是an＝（n﹣3）+an﹣3+an﹣1，
又a2＝a3＝0，a4＝1，
所以a5＝3，a6＝6，a7＝11，a8＝19，a9＝31，a10＝49．
故答案为：49．
【点评】本题属于新概念题，考查了求子集的个数，关键点在于理解“翔集合”的概念，属于中档题．
14．（2023春•杨浦区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x||x﹣3|＜2，x∈Z}，则A∩B＝　{2，3，4}　．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0}＝{2≤x≤4}，
B＝{x||x﹣3|＜2，x∈Z}＝{x|﹣2＜x﹣3＜2，x∈Z}＝{x|1＜x＜5，x∈Z}＝{2，3，4}，
则A∩B＝{2，3，4}．
故答案为：{2，3，4}．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　1或　．
【考点】子集与真子集．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】结合已知条件，求出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可．
【解答】解：若A恰有两个子集，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当a＝1时，，满足题意；
②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以，
综上所述，a＝1或．
故答案为：1或．
【点评】本题主要考查集合子集的应用，属于基础题．
16．（2022秋•徐汇区期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1+x＞2x+4}，则＝　{x|x≥﹣3}　．
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣3}，U＝R，
∴．
故答案为：{x|x≥﹣3}．
【点评】本题考查了全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
17．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 　3　．
【考点】元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】集合思想；综合法；集合；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】根据新定义逐一判断即可求解．
【解答】解：（1）当a＝b时，a﹣b＝0属于数域，故（1）正确；
（2）若数域F有非零元素，则，
从而1+1＝2∈F，2+1∈F，⋯，2020+1＝2021∈F，故（2）正确；
（3）由集合P，可知x是3的倍数，当a＝6，b＝3时，，故（3）错误；
（4）若F是有理数集，则当a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，集合中的新定义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•武陵区校级期末）设a∈R，集合，
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若3∈A∩（∁RB），求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】（1）先根据a＝2，化简两个集合，再求两个集合的并集；
（2）由3在集合A中，不在集合B中，可求取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，，
所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}＝{x|﹣2＜x＜5}；
（2）集合B＝{x|x2﹣（a+3）x＜0}，
所以∁UB＝{x|x2﹣（a+3）x≥0}，
因为3∈A∩（∁RB），
所以3∈A且3∈∁RB，
则，解得﹣3＜a≤0，
故a的取值范围为（﹣3，0]．
【点评】本题主要考查交集、并集、补集的运算，属于基础题．
19．（2022秋•济宁期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若2∈B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）由2∈B，代入可求实数a的取值范围；
（2）由A∩B＝B可知B⊆A，讨论集合B是否为空集，可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为2∈B，所以a≤2≤3﹣2a，
解得，所以实数a的取值范围是；
（2）由条件可知A＝{x|0≤x≤2}，
因为A∩B＝B，所以B⊆A，
当3﹣2a＜a即a＞1时，B＝∅，符合B⊆A，
当3﹣2a≥a即a≤1时，B≠∅，
则有，解得．
综上可知，
即实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合间的基本关系，属于基础题．
20．（2022秋•零陵区校级期末）集合A＝．
（1）求A∩B；
（2）在①B∩C＝C，②B∩C＝∅，③条件p：x∈C，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，这三个条件中任选一个填到横线上，并解答．
已知_____，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分．
【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】（1）解不等式求得A，B，由此求得A∩B；
（2）根据所选条件，对m分类讨论，列不等式来求得m的取值范围．
【解答】解：（1），解得﹣3＜x＜1，所以A＝{x|﹣3＜x＜1}，
x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜5，所以B＝{x|﹣1＜x＜5}，
所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．
（2）由（1）得B＝{x|﹣1＜x＜5}．
若选①B∩C＝C，
则m≥2﹣m或，
解得m≥1或﹣1≤m＜1，
所以m的取值范围是[﹣1，+∞）．
若选B∩C＝∅，
则m≥2﹣m或或，
解得m≥1，
所以m的取值范围是[1，+∞）．
若选③条件p：x∈C，q：x∈B，p是q的充分不必要条件，
则C⇐BZ，
则m≥2﹣m或，且等号不同时成立，
解得m≥1或﹣1≤m＜1，
所以m的取值范围是[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了集合间的基本关系和运算，充要条件的应用，分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（2023•酉阳县校级模拟）命题p：任意x∈R，x2﹣2mx﹣3m＞0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+1＜0成立．
（1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（1）由q真，由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得．
【解答】解：（1）由q真：Δ＝16m2﹣4＞0，得或，
所以q假：；
即实数m的取值范围为：{m|﹣m}；
（2）p真：Δ＝4m2+12m＜0推出﹣3＜m＜0，
由p和q有且只有一个为真命题，
∴p真q假，或p假q真，
即或，
∴或m≤﹣3或．
即实数m的取值范围为：{m|或m≤﹣3或}．
【点评】本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立问题，不等式的求解，关键是由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，属于中档题．
22．（2023春•呼和浩特月考）已知命题p：x2﹣7x+10＜0，命题q：x2﹣3mx+2m2＜0，其中m＞0．
（Ⅰ）若m＝3，且p、q同时为真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【考点】充分条件与必要条件；复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
（Ⅱ）根据充分不必要条件与不等式解集关系，建立不等式条件进行求解即可．
【解答】解：p：由x2﹣7x+10＜0，得2＜x＜5，
q：由x2﹣3mx+2m2＜0，得m＜x＜2m，（m＞0），
（Ⅰ）若m＝3，此时q：3＜x＜6，
若p∧q真命题，则，∴3＜x＜5，
∴x的取值范围是（3，5）；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则（2，5）⫋（m，2m），
则，∴m∈∅，
即实数m的取值范围是∅．
【点评】本题主要考查复合命题关系的应用，结合不等式和充分条件和必要条件的关系进行转化是解决本题的关键，属于中档题．

考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．

【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．

【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
3．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
4．子集与真子集
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．

2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
5．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
6．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
7．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．

【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
8．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
9．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
10．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．

命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
11．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．


【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．

常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
12．特称命题的否定
特称命题的否定
13．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
14．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
15．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
16．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
17．三角函数线
【知识点的认识】
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．


【命题方向】
若，则（　　）
A．sinα＞cosα＞tanαB．cosα＞tanα＞sinαC．sinα＞tanα＞cosαD．tanα＞sinα＞cosα
【分析】根据题意在坐标系画出单位圆，并且作出角α得正弦线、余弦线和正切线，再由α的范围比较出三角函数线的大小．
解：由三角函数线的定义作出下图：OP是角α的终边，圆O是单位圆，
则AT＝tanα＞1，OM＝cosα，MP＝sinα，
∵，
∴OM＜MP＜1，即tanα＞sinα＞cosα，
故选D．
【点评】本题考查了利用角的三角函数线比较三角函数值大小，关键是正确作图，利用角的范围比较出三角函数线的大小．