2023年高考数学考前20天终极冲刺之三角函数

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之三角函数，共37页。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2023•柳州三模）已知，且，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2023•西宁二模）已知函数的部分图象如图所示，则f（x）图象的一个对称中心是（　　）

A． B． C． D．
4．（2023•陕西模拟）函数在[0，1]上有唯一的极大值，则ω∈（　　）
A． B． C． D．
5．（2023•乐山模拟）已知函数．给出下列结论：①是f（x）的最小值；②函数f（x）在上单调递增；③将函数y＝2sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2023•香坊区校级一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为π，函数f（x）图象关于点对称，且满足函数f（x）在区间上单调递增，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2023•岳阳模拟）已知函数的最小正周期，将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　）
A．函数f（x）的图像关于直线对称
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）在上有两个极值点
D．方程f（x）＝1在[0，π]上有3个解
8．（2023•道里区校级二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器．所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化．垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为α，β，如图2，若影长之差CD＝a尺，则表高AB为（　　）尺．

A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•滨州期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列关于函数g（x）＝f（2x）的结论中，正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的单调递增区间为
C．当时，g（x）的最大值为1
D．g（x）在区间[0，2π]上有且仅有7个零点
（多选）10．（2023春•历下区校级月考）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则该函数的解析式可以为（　　）

A． B．
C． D．
（多选）11．（2023春•东港区校级月考）已知函数相邻两个最高点之间的距离为π，则以下正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．是奇函数
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
（多选）12．（2023春•武威月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．f（x）在区间上是增函数
B．点是f（x）图象的一个对称中心
C．若，则f（x）的值域为
D．f（x）的图象可以由y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到
三．填空题（共5小题）
13．（2023•河南模拟）单位圆O与x轴正半轴交于点M，A，B为单位圆上两点，|AB|＝1，∠MOB＝α，A（，），B位于第二象限，则+sincos﹣cos2＝　 　．
14．（2022秋•烟台期末）若函数f（x）＝sinωx在区间上单调递增，则实数ω的取值范围为 　 　．
15．（2023•福建模拟）已知x∈（0，），若不等式sin2x﹣tsin2x≤t恒成立，则实数t的最小值为 　 　．
16．（2022秋•十堰期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来．轻袖佛华妆，窈窕登高台．诗里的叠扇，就是折扇．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝10，则此时的扇形面积为 　 　．

17．（2022秋•德州期末）如图，直角△POB中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．其中△POB的面积与扇形OAB的面积之比为3：2，记∠AOB＝α，则＝　 　．

四．解答题（共5小题）
18．（2023春•东湖区校级月考）已知函数f（x）＝2sin2x+asinx﹣1，且．
（1）求a值；
（2）求函数不等式f（x）≤0的解集．
19．（2023•芦溪县校级一模）已知函数f（x）＝sin+cos+3，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时相应x的值．
20．（2022秋•德州期末）已知函数．
（1）化简f（α）；
（2）若锐角α满足，求的值；
（3）若，且，求的值．
21．（2022秋•南关区校级期末）已知函数，，且f（x）的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求f（x）的最小值以及相应x的值．
22．（2022秋•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，单位圆x2+y2＝1与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A、B，角α的始边为OA，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
（1）如图，若∠POB＝120°，求点P的坐标；
（2）若点P的横坐标为，求sin2∠APO+2sin∠APO•cos∠OAP的值．


2023年高考数学考前20天终极冲刺之三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角的余弦公式求解．
【解答】解：因为点A的横坐标为，
所以，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
2．（2023•柳州三模）已知，且，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】设，化简得到，sin2α＝1﹣2cos2β，代入计算得到答案．
【解答】解：设，，则，，
即，，sinβ≠0，
故，．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
3．（2023•西宁二模）已知函数的部分图象如图所示，则f（x）图象的一个对称中心是（　　）

A． B． C． D．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】先根据函数图象得到函数f（x）图象的一个对称中心与f（x）的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解．
【解答】解：由题图可知f（x）图象的一个对称中心是，
f（x）的最小正周期，
故f（x）图象的对称中心为，k∈Z，
结合选项可知，当k＝﹣2时，f（x）图象的一个对称中心是．
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2023•陕西模拟）函数在[0，1]上有唯一的极大值，则ω∈（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题知函数y＝sint在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案．
【解答】解：当x∈[0，1]时，，
因为数在[0，1]上有唯一的极大值，
所以函数y＝sint在上有唯一极大值，
所以，，解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
5．（2023•乐山模拟）已知函数．给出下列结论：①是f（x）的最小值；②函数f（x）在上单调递增；③将函数y＝2sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③．
【解答】解：，
对于①，，是f（x）的最小值，故①正确；
对于②，当时，，
所以函数在区间上不具有单调性，故②错误；
对于③，将函数y＝2sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得，故③正确，
所以正确的有①③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变形，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
6．（2023•香坊区校级一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为π，函数f（x）图象关于点对称，且满足函数f（x）在区间上单调递增，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据f（x）的最小正周期为π可求出ω＝2，从而得出f（x）＝2sin（2x+φ），而根据f（x）的图象关于对称可得出，然后根据|φ|＜π可得出或；而根据f（x）在区间上单调递增可得出，再根据﹣π＜φ＜π可得出，这样即可求出φ的值．
【解答】解：∵f（x）的最小正周期为π，ω＞0，
∴，ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
∵f（x）的图象关于点对称，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
又﹣π＜φ＜π，∴或，
解（k∈Z）得，，
∴f（x）的增区间为，k∈Z，
又f（x）在上单调递增，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
又﹣π＜φ＜π，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的周期计算公式，正弦函数的对称中心，正弦函数的增区间，考查了计算能力，属于中档题．
7．（2023•岳阳模拟）已知函数的最小正周期，将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　）
A．函数f（x）的图像关于直线对称
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）在上有两个极值点
D．方程f（x）＝1在[0，π]上有3个解
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】先求出解析式f（x）＝2sin（2x+），利用y＝sinx的性质对应判断即可．
【解答】解：因为f（x）＝2sin（2ωx+φ），，所以＜＜，解得＜ω＜，
又ω为正整数，所以ω＝1，所以f（x）＝2sin（2x+φ），
所以函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数g（x）＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x+φ﹣），
由于函数g（x）的图象关于原点对称，故φ﹣＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，
又|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+），
对于A，f（﹣）＝2sin（﹣+）＝﹣2，故A正确；
对于B，当x∈时，2x+∈（，）⊆（，），
因为y＝sinx在（，）上单调递减，所以函数f（x）在上单调递减，故B正确；
对于C，2x+＝kπ+，k∈Z，x＝kπ+，k∈Z，
令k＝0，x＝，k＝1，x＝，则f（x）在上有两个极值点，C正确；
对于D，令t＝2x+，因为x∈[0，π]，所以t∈[，]，
显然sint＝在[，]内只有，两个解，即方程f（x）＝1在[0，π]上只有两个解，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8．（2023•道里区校级二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器．所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化．垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为α，β，如图2，若影长之差CD＝a尺，则表高AB为（　　）尺．

A． B．
C． D．
【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由题意设AB＝x，在△ACD中，可求∠CAD＝α﹣β，由正弦定理可得AC＝，在直角三角形ABC中，，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：如图，CD＝a，设AB＝x，
在△ACD中，∠CAD＝α﹣β，则，
可得AC＝，
在直角三角形ABC中，，
所以x＝AC•sinα＝•sinα＝a•＝．
故选：C．

【点评】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•滨州期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列关于函数g（x）＝f（2x）的结论中，正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为2π
B．g（x）的单调递增区间为
C．当时，g（x）的最大值为1
D．g（x）在区间[0，2π]上有且仅有7个零点
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据图像求出函数f（x）的解析式，从而可得三角函数g（x）的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可．
【解答】解：由题可知A＝1，，
∴，
故f（x）＝sin（2x+φ），
f（x）图象过点（），
∴，即，
∵0＜φ＜π，
∴，
故，
∵g（x）＝f（2x），
∴，g（x）的最小正周期为，故A错误；，即（k1∈Z），故B正确；
，，
当时，g（x）max＝1，故C正确；
当时，
则，
当时，g（x）max＝1，故C正确；
令，
∵x∈[0，2π]，
∴零点可取值为当k＝1时，；
当k＝2时，；
当k＝3时，；
当k＝4时，；
当k＝5时，；
当k＝6时，；
当k＝7时，；
当k＝8时，，符合题意；
当k＝9时，，不符合题意；
故g（x）在区间[0，2π]上有且仅有8个零点，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．（2023春•历下区校级月考）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则该函数的解析式可以为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由已知可得y＝sin（2x+），再根据诱导公式分析其它选项即可．
【解答】解：由函数图象可知T＝2（﹣）＝π，A＝1，则ω＝2，
由图象可得（，0）对应五点作图法中的第三个点，
则有2×+φ＝π，∴φ＝，
则y＝sin（2x+），则A正确；
又y＝sin（2x+）＝sin[π﹣（2x+）]＝sin（﹣2x），B正确；
又y＝sin（2x+）＝sin（2x++）＝cos（2x+），C正确；
又y＝cos（2x+）＝﹣cos[π﹣（2x+）]＝﹣cos（﹣2x），D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查三角函数的图象，诱导公式，属于基础题．
（多选）11．（2023春•东港区校级月考）已知函数相邻两个最高点之间的距离为π，则以下正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．是奇函数
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上单调递增
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据题意求出函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：函数相邻两个最高点之间的距离为π，
∴函数f（x）的周期为T＝＝π，A错误；
∵ω＞0，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+），
∴f（x﹣）＝sin[2（x﹣）+]＝﹣sin2x是奇函数，B正确；
当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0＝0≠±，f（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，C错误；
∵x∈，2x+∈[﹣，]，
∴f（x）在上单调递增，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了求正弦型函数的解析式以及函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．
（多选）12．（2023春•武威月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．f（x）在区间上是增函数
B．点是f（x）图象的一个对称中心
C．若，则f（x）的值域为
D．f（x）的图象可以由y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由已知图象求出函数f（x）的解析式，根据正弦函数的性质，逐一判断选项的正误，得出答案．
【解答】解：由题意可得：A＝1，
＝﹣＝，解得T＝＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），
又2×+φ＝+2kπ，k∈Z，
解得φ＝+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+），
选项A，∵﹣≤x≤0，∴﹣≤2x+≤，
令t＝2x+∈[﹣，]，y＝sint在[﹣，]上不单调，A错误；
选项B，∵2×（﹣）+＝﹣，∴f（﹣）＝sin（﹣）≠0，B错误；
选项C，∵﹣≤x≤0，∴﹣≤2x+≤，
令t＝2x+∈[﹣，]，y＝sint∈[﹣，]，C正确；
选项D，y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）＝sin（2x+）≠f（x），D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的图象，考查正弦函数的性质，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•河南模拟）单位圆O与x轴正半轴交于点M，A，B为单位圆上两点，|AB|＝1，∠MOB＝α，A（，），B位于第二象限，则+sincos﹣cos2＝　　．
【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，推得sin∠AOM，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．
【解答】解：由题意可知，|AB|＝|OA|＝|OB|＝1，
则△AOB为等边三角形，
∠MOB＝α，
则，
∵A（，），
∴，
∴+sincos﹣cos2＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
14．（2022秋•烟台期末）若函数f（x）＝sinωx在区间上单调递增，则实数ω的取值范围为 　（0，2]　．
【考点】正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学抽象．
【分析】确定ω＞0，，根据单调性得到，解得答案．
【解答】解：当ω≤0时，f（x）＝sinωx在区间上不可能单调递增，排除，
当ω＞0时，，则，
则，解得ω≤2，
综上所述：ω∈（0，2]．
故答案为：（0，2]．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．
15．（2023•福建模拟）已知x∈（0，），若不等式sin2x﹣tsin2x≤t恒成立，则实数t的最小值为 　　．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】原不等式可转化为∀x∈（0，），t≥恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得答案．
【解答】解：∵x∈（0，），
∴sinx＞0，cosx＞0，
∴不等式sin2x﹣tsin2x≤t恒成立⇔t≥恒成立，
∵＝＝≤＝＝（当且仅当＝，即tanx＝时取等号），
∴t≥．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
16．（2022秋•十堰期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来．轻袖佛华妆，窈窕登高台．诗里的叠扇，就是折扇．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝10，则此时的扇形面积为 　　．

【考点】扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出θ，从而可求出S1．
【解答】解：因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π﹣θ，
所以，
由，得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
17．（2022秋•德州期末）如图，直角△POB中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．其中△POB的面积与扇形OAB的面积之比为3：2，记∠AOB＝α，则＝　1.5　．

【考点】扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】设出扇形的半径，分别计算扇形面积与三角形面积代入可得结果．
【解答】解：设扇形OAB的半径为r，则扇形OAB的面积为，
直角三角形POB中，PB＝rtanα，则△POB的面积为，
由题意知，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
18．（2023春•东湖区校级月考）已知函数f（x）＝2sin2x+asinx﹣1，且．
（1）求a值；
（2）求函数不等式f（x）≤0的解集．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）先解关于sinx的一元二次不等式，再根据正弦函数的单调性解不等式即可．
【解答】解：（1）由，
得，解得a＝﹣1；
（2）由（1）得f（x）＝2sin2x﹣sinx﹣1，
则f（x）≤0，即为2sin2x﹣sinx﹣1≤0，
解得，
所以，
所以不等式f（x）≤0的解集为．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
19．（2023•芦溪县校级一模）已知函数f（x）＝sin+cos+3，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时相应x的值．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（1）化简得f（x）＝3sin（+）+3，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[，]⇒+∈[，]，利用正弦函数的性质可求得f（x）的最大值和最小值及f（x）取得最值时相应x的值．
【解答】解：（1）f（x）＝sin+cos+3＝3（sin+cos+1）＝3sin（+）+3，
令2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z），
得4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），
故函数f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z）；
（2）若x∈[，]，则+∈[，]，
由正弦函数的性质可得，当+＝，即x＝时，f（x）取得最大值6；
当+＝，即x＝时，f（x）取得最小值．
【点评】本题考查三角恒等变换及其应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
20．（2022秋•德州期末）已知函数．
（1）化简f（α）；
（2）若锐角α满足，求的值；
（3）若，且，求的值．
【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学抽象．
【分析】（1）依据诱导公式化简即可；
（2）由第（1）问化简结果可知cosα的值，结合α为锐角，求出sinα的值代入所求即可求出结果；
（3）由条件可知，求（cosα﹣sinα）2的值再根据角的范围判断正负可得出结果．
【解答】（1）解：；
（2）因为，所以，且α为锐角，所以，
则
（3），即，，
因为，
所以cosα﹣sinα＜0，
则．
【点评】本题主要考查了诱导公式及同角平方关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
21．（2022秋•南关区校级期末）已知函数，，且f（x）的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求f（x）的最小值以及相应x的值．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到；根据，结合f（x）最大值可构造方程求得m的值；
（2）根据可知当时，f（x）取得最小值，由此可得最小值和对应的x的值．
【解答】解：（1）∵，
∴当时，，
∴，解得m＝3．
（2）由（1）知：，且当时，，
∴当，即当时，．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
22．（2022秋•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，单位圆x2+y2＝1与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A、B，角α的始边为OA，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
（1）如图，若∠POB＝120°，求点P的坐标；
（2）若点P的横坐标为，求sin2∠APO+2sin∠APO•cos∠OAP的值．

【考点】任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】（1）由条件可知OP的旋转角为180°+120°，利用三角函数定义求cos（180°+120°），sin（180°+120°）的值即可写出点P的坐标；
（2）由点P的横坐标为，可知∠POA＝120°，结合等腰三角形的性质可知∠PAO＝30°，∠APO＝30°，代入计算即可求出结果．
【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），且∠POB＝120°，
所以，，
所以P的坐标为．
（2）因为点P的横坐标为，所以∠POA＝120°，且OP＝OA，所以∠PAO＝30°，∠APO＝30°，
则．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．

【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则，解得α＝1或α＝4．
选C．
【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．

【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
3．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．

【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（　　）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．
∴cosα＝＝＝﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．

【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
4．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．

【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
5．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
6．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
8．余弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：

（k∈Z）；
递减区间：

（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
9．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的知识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
10．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
11．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
12．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
13．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是　π　．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
14．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
15．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．