2022-2023学年四川省达州市达川区石梯中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省达州市达川区石梯中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州市达川区石梯中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列分式中，属于最简分式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图案中，是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  多项式因式分解的结果为，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 4.  小颖同学准备用元买笔和笔记本，已知一支笔元，一本笔记本元，他买了本笔记本，最多还能买多少支笔？设他还能买支笔，则列出的不等式为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 6.  若实数、满足，，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，以的边、为边向外作等边与等边，连接交于点，下列结论：；平分；；其中正确的有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个9.  如图在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图，那么面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______．12.  若分式的值为，则的值为______．13.  如图，已知，，，，将沿方向平移个单位长度得到，则图中四边形的面积为______．
14.  有两个全等矩形纸条，长与宽分别为和，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为______ ．
 15.  已知，则的值是______ ．16.  如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
因式分解：
；
．18.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

 19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．20.  本小题分
已知：如图，，为▱对角线上的两点，且，连接，，求证：．
 
 
 21.  本小题分
已知关于的方程．
当取何值时，此方程的解为？
当取何值时，此方程会产生增根？22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
将平移得到，且的坐标是，画出；
将绕点逆时针旋转得到，画出；
小娟发现绕点旋转也可以得到，请直接写出点的坐标．
23.  本小题分
如图，已知，，垂直平分交于点，交于．
求的度数；
若，，求的周长．
24.  本小题分
某超市用元购进一批甲玩具，用元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多元．
求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具甲、乙玩具的进货单价不变，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的倍多件，求：该超市用不超过元最多可以采购甲玩具多少件？25.  本小题分
如图，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．
观察猜想：
图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连结，判断的形状，并说明理由；
拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

 26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中．直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
求证：≌；
如图，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及平移的距离；
若点在轴上，点在直线上．是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐；若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、原式，不是最简分式，不符合题意；
B、原式，不是最简分式，不符合题意；
C、原式，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意；
故选：．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
此题考查最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、是中心对称图形．故A选项正确；
B、不是中心对称图形．故B选项错误；
C、不是中心对称图形．故C选项错误；
D、不是中心对称图形．故D选项错误．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：多项式因式分解的结果为，
．
故选：．
直接利用十字相乘法得出与，的关系．
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：设还能买支笔，
由题意得：，
故选：．
由题意知，所花的总钱数买笔的钱买笔记本的钱，所花的钱应小于，由此可列出不等式求解即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据买笔的钱笔记本的钱元，列出不等式．
 5.【答案】 【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
先提取公因式，整理后再把的值代入计算即可．
【解答】
解：时，
原式，
解得：．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 8.【答案】 【解析】解：过点作于，于，过点作于，

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确
≌，
，
于，于，
平分，故正确，
，
，
，
，故正确，
，
，
，，
，
，，，，
，，
，故正确，
故选：．
由“”可证≌，由全等三角形的性质可推出正确，利用三角形的面积公式可判断正确．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：由题意得：，，，，，
，
的坐标为，
故选：．
根据旋转特点，找到坐标的变化规律，再求解．
本题考查了点的坐标，找到坐标的变化规律是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据图象可以得到当移动的距离是时，直线经过点，当移动距离是时，直线经过，在移动距离是时经过，
则，
当直线经过点，设交与，则，作于点．
与轴形成的角是，
又轴，
，
，
则平行四边形的面积是：．
故选：．
根据图象可以得到当移动的距离是时，直线经过点，当移动距离是时，直线经过，在移动距离是时经过，则，当直线经过点，设交与，则，作于点利用三角函数即可求得即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了函数的图象，根据图象理解的长度，正确求得平行四边形的高是关键．
 11.【答案】 【解析】解：方程，
解得：，
关于的方程的解是非负数，
，
解得：．
故答案为：．
首先要解这个关于的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于的不等式，最后求出的取值范围．
本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于的不等式是本题的一个难点．
 12.【答案】 【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
将沿方向平移个单位长度得到，
，，
，
图中四边形的面积，
故答案为：．
根据三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据平移的性质得到，，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示：
由题意得：矩形≌矩形，
，，，，，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形的面积；
故答案为：．
由题意得出，，，，，证四边形是菱形，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形为菱形是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
．





．
依据题意，由得，再代入进而可以得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并理解．
 16.【答案】 【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，，，

，
，
，
，
，
为等边三角形，
点为的中点，，
，


，
的最大值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，点关于的对称点，由，可推出为等边三角形，再根据三角形三边关系即可推出结论．
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线利用三角形的三边关系求解是解题的关键．
 17.【答案】解：

；



． 【解析】直接提取公因式，进而利用公式法分解因式得出答案；
直接结合单项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
． 【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分母因式分解，约分后得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
 20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
≌．
． 【解析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
证明≌，即可得出结论．
 21.【答案】解：将代入分式方程得：，解得；
去分母得：，
将代入整式方程得：，即．
当时，此方程会产生增根． 【解析】将代入分式方程计算即可；
将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出值即可．
本题考查了分式方程的增根问题，增根是整式方程的解，但不是分式方程的解．
 22.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
如图所示，点即为所求，点的坐标为． 【解析】根据的坐标是，即可画出；
根据绕点逆时针旋转得到，即可画出；
连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点即为所求，进而得出坐标．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
 23.【答案】解：，，


，
垂直平分
，
，
；
由知
的周长． 【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，计算即可；
根据，三角形的周长公式计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 24.【答案】解：设甲种玩具的进货单价为元，则乙种玩具的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种玩具的进货单价元，则乙种玩具的进价为元．
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，

答：该超市用不超过元最多可以采购甲玩具件． 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
设甲种玩具的进货单价为元，则乙种玩具的进价为元，根据数量总价单价结合“用元购进一批甲玩具，用元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据进货的总资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
 25.【答案】   【解析】解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

是等腰直角三角形．
理由：如图，连接，，
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；

若，，
在中，，，
，
同理：，
由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
当点在的延长线上，最大，即最大
，
，
．
利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论；
先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出最大时，的面积最大．
 26.【答案】证明：，
，，
，
，
≌．

≌，
，，
，
把代入得到，，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入得到，
直线的解析式为，
，
，
平移的距离是个单位．

解：如图中，作交轴于，作交于，则四边形是平行四边形，

易知直线的解析式为，
，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到，
，
当为对角线时，四边形是平行四边形，可得，
当四边形为平行四边形时，可得，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或 【解析】根据或即可证明；
首先求出点的坐标，再求出直线的解析式，求出点的坐标即可解决问题；
如图中，作交轴于，作交于，则四边形是平行四边形，求出直线的解析式，可得点坐标，点向左平移个单位，向上平移个单位得到，推出点向左平移个单位，向上平移个单位得到，再根据对称性可得、的坐标；
本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．