2023年浙江省金华市金东区中考数学三模试卷（含解析）

2023年浙江省金华市金东区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形

3.  今年月日月日，金华轨道交通累计平安运输乘客人次，数据用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为迎接第届亚运会，某校将举办排球比赛，从全校学生中遵选出名同学进行相应的排球训练，该训练队成员的身高如下表：

则该校排球队名同学身高的众数和中位数单位：分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  在同一平面内，将一副三角尺厚度不计如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图是一个几体何的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元问这个物品的价格是多少元？(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  当 ______ 时，分式的值为零．

12.  因式分解：______．

13.  有个外形相同的蔬菜盲盒，其中盒装着西兰花，盒装着菠菜，盒装着豆角，盒装着土豆随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是______ ．

14.  如图，以正五边形的边为边作等边，使点在其内部，连结，则______

15.  王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图，图，图，

第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕：
第二步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上已知，，则的长是______ ．

16.  如图是某品牌电脑支架，整体支架由组支撑条和组活动条组成，支撑条，，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条，一端分别与支撑条，中点连接，并且可绕固定支点与支点转动，通过转动活动条，将末端点与点分别卡入支撑条及上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条．
将电脑支架调节到如图所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条，使得，调节活动条使得，此时活动条末端点到桌面的距离为______ ，如图某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即，将其放置到上述状态电脑支架上，使点与点重合，此时点恰好与点重合，开合电脑显示屏，点到桌面的最大高度是______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组．

19.  本小题分
如图，在中，的平分线交于点，为上一点，，连结．
求证：≌．
已知，周长为，求的周长．

20.  本小题分
月日，我区教体局发布了一份夏季安全指南，某校为了解全校学生对防溺水安全知识的熟悉情况，随机抽查了部分学生进行防溺水学习手册题问答测试，并把答对题数制成统计表和扇形统计图如图所示．

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
求被抽查的学生人数和的值．
求扇形统计图中答对“题”所对的圆心角度数．
若该校共有名学生，根据抽查结果，估计该校学生答对题的人数．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
求一次函数和反比例函数的解析式．
在第四象限的反比例图象上有一点，使得，请求出点的坐标．
对于反比例函数，当时，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
求证：是的切线．
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造▱，延长交抛物线于点．

若，如图．
求该抛物线的表达式．
求点的坐标．
如图，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

24.  本小题分
如图，在▱中，，，，点从点出发沿向终点运动，过点作边的垂线，交▱其他边于点，在的右上方作正方形．

如图，点为中点时，求正方形的面积．
如图，点从点运动到点的过程中，点为该正方形对角线的中点．
设，的面积为，求上述运动过程中关于的函数表达式．
当有一个内角为时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
根据有理数的大小比较法得出，即可得出答案．
有理数的大小比较法则是：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题主要考查科学记数法，掌握形式为，其中，为整数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不合题意；
B.，正确，故选项B符合题意；
C.，故选项C错误，不合题题；
D.，故选项D错误，不合题意；
故选：．
利用幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法以及合并同类项逐项计算判断即可．
本题考查了幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为出现的次数最多，所以众数是：；
因为第十和第十一个数都是，所以中位数是：．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
．
故选：．
由题意可得，，由平行线的性质可得，利用平角的定义即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：作交于点，
，
平分，点平分，
，
，
，
，
，
故选：．
先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为，底面圆的直径为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】
解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为，底面圆的直径为，
所以这个几何体的侧面积
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设共有人，这个物品的价格是元，
由题意得：，
解得：，
即这个物品的价格是元，
故选：．
设共有人，这个物品的价格是元，根据每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，直线与坐标轴交于，两点，
，，
，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小，
，，
，
．
．
即的最小值为：．
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
，
解得．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出的值是多少即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提公因式后，再利用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的综合运用，因式分解时，首先考虑能不能提公因式，再考虑能否利用公式法分解因式，本题比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：有个外形相同的蔬菜盲盒，其中盒装着西兰花，盒装着菠菜，盒装着豆角，盒装着土豆．
随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是，
故答案为：．
根据有个外形相同的蔬菜盲盒，其中盒装着西兰花，盒装着菠菜，盒装着豆角，盒装着土豆．可以求出随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为是等边三角形，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可．
此题考查了等边三角形和多边形的内角和，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是和多边形的内角和公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
图由折叠的性质得到：，，
，
，，
四边形是矩形，
图由折叠的性质得到：，，
，
四边形是正方形，
，
图由折叠的性质得到：，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由矩形的性质得到，，，图由折叠的性质得到：，，推出四边形是矩形，图由折叠的性质得到四边形是正方形，因此，图由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，因此，推出，于是得到．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质求出的长．
 

16.【答案】  

【解析】解：，，，
，
，
又，
活动条末端点到桌面的距离；
如图，当时，点到桌面的高度最大，
作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点，
在中，，，
，
，，，，
四边形为矩形，四边形为矩形，
，
，，，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
即点到桌面的最大高度是．
故答案为：；．
根据题上条件，依据勾股定理先求出长，再算出长，利用求出活动条末端点到桌面的距离即可；
如图，当时，点到桌面的高度最大，作于点，延长交于点，作于点，作于点，交于点，交于点，作于点，辅助线构造直角三角形，矩形．根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，根据矩形性质，求出，根据勾股定理求出，面积法求出，再用勾股定理求出、解直角三角形求出、，进而求出，，再根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求出，进而求出、，再根据三角形中位线定理，求出，即可求解的值，即点到桌面的最大高度．
本题主要考查了勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，矩形的性质等知识点，综合性较强，添辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：是的平分线，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
周长，
，
的周长． 

【解析】根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明即可；
根据全等三角形对应边相等可得，根据周长，进而可以得到的周长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

20.【答案】解：人，
，
即被抽查的学生有人，的值是；
扇形统计图中答对“题”所对的圆心角度数为：；
名，
答：估计该校学生答对题的人数大约为名． 

【解析】根据答对题的人数和所占的百分比，可以计算出被抽查的学生人数和的值；
用乘样本中“题”所占比例即可；
根据统计表中的数据，可以计算出该校学生答对题的人数．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：比例函数的图象过点，
，
，
在双曲线上．
，
，
，
一次函数的图象经过、两点，
，解得，
一次函数的解析式；
在中，当时，；当时，则，
，，
，
，
，
，即，
，
代入得，，解得，
的坐标为；
观察图象可知，对于反比例函数，当时，的取值范围是或． 

【解析】先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到，即，求得的纵坐标，进而求得横坐标；
通过图象观察就可以直接看出当时的取值范围．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：在中，，，
，
过点作于点，如图，
，，
∽，
，即，
解得，，
在中，，
，
，即，
解得． 

【解析】连接，如图，根据圆周角定理得到，而，则，再利用垂直的定义和三角形内角和定理得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
先利用勾股定理计算出，过点作于点，如图，再证明∽，利用相似比可计算出，，则利用勾股定理可计算出，然后根据平行线分线段成比例定理可求出的长．
本题考查了切线的判定与性质性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：当时，一次函数为，
令，则；令，则，
，，
设抛物线的表达式为：，
将代入可得，，
解得；
抛物线的解析式为：；
由抛物线的对称性可得，，
由平行四边形的性质可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得舍或，
；
是定值，理由如下：
对于，
令，则；令，则，
，，
设抛物线的表达式为：，，
将代入可得，，
解得；
抛物线的解析式为：；
由抛物线的对称性可得，，
由平行四边形的性质可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得舍或，
；
，
． 

【解析】将，的值代入一次函数解析式，可求出点，的坐标，利用待定系数法可得出结论；
由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；
根据待定系数法可求出，的坐标，进而可表达的根据对称性可得出点的坐标，根据菱形的性质可得出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立可求出点的坐标，进而求出的长度，求比值即可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识，表达出点的坐标是解题关键．
 

24.【答案】解：为中点，，
，
，，
，，
；
如图，

当点在、之间时，即时，
作于点，连接，
，，，
，，
四边形是正方形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
为的中线，
，
如图，

当时，、在直线上，、在直线边上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
；
如图，

当点在上，当时，
设交于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
如图，

当点在上，当，
作于，
，，
，
，
，
，
由得，
，
，
如图，

当点在上，当时，
作于，作于，
由知：，，
，
，
，
，
如图，

当点在上，当时，
作，交的延长线于，
，

由得，
，
，
综上所述：或或或． 

【解析】解直角三角形求得，进而求得结果；
当点在、之间时，即时，作于点，连接，表示出，，进而得出，解，求得，表示，先表示出，进一步得出结果；当时，作于，作于，得出，，从而，，进一步得出结果；
分为四种情形：当点在上，当时，设交于，可得出，，根据得出，从而得出结果；当点在上，当，作于，可表示出，，由得，进而得出结果；当点在上，当时，作于，作于，可得出，，从而，进而得出结果；当点在上，当时，作，交的延长线于，表示出，由，进而得出结果．
本题考查了平行四边形，正方形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论和计算能力．