2021-2022学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷一、单选题（本题共9小题，共45分）1.  若全集，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  命题“”的否定是(    )A.  B.
C.  D. 3.  在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数A.  B.  C.  D. 4.  函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 5.  设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件6.  已知、、，若，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已，，，则的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 8.  下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  设函数若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本题共6小题，共30分）10.  设为虚数单位，，则实数          ．11.  计算：          ．12.  已知体积为的圆柱底面是外接球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是__________．13.  曲线在处的切线方程为          ；若该切线也是曲线的切线，则          ．14.  已知正实数，满足，则的最小值为          ．15.  边长为的菱形满足，则          ；一直线与菱形的两边，分别交于点，，且交其对角线于点，若，，，则          ．三、解答题（本题共5小题，共75分）16.  在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
Ⅰ求；
Ⅱ求；
Ⅲ求的值．17.  设二次函数满足条件：当时，的最大值为，且成立；二次函数的图象与直线交于两点，且求的解析式；求的解集；求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立． 18.  如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，证明：平面；求平面与平面所成角的正弦值；线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由． 19.  已知函数的导数为，函数．
Ⅰ求；
Ⅱ求最小正周期及单调递减区间；
Ⅲ若，不是单调函数，求实数的取值范围．20.  已知函数，当时，求的极大值；求的单调区间；当时，设函数，若实数满足：且，，求证：
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查集合的补集运算，属于基础题．
解不等式求出集合 ，再进行补集运算即可求解．【解答】解：因为  ，  ，所以  ．故答案为：．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查含有量词命题的否定，属于基础题．
根据全称命题的否定形式，直接求解．【解答】解：全称命题“  ”的否定形式需要改量词，以及结论否定，即否定是  ．故选：  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的几何意义和共轭复数，属于基础题．
根据题意求出，再根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：由复数  在复平面内的坐标有  ，所以共轭复数 ．
故选：  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查根据函数图象的性质判断函数图象，属于中档题．
根据奇偶性和  的符号，使用排除法可得．【解答】解： 的定义域为，因为  ，所以  为偶函数，故错误；又因为  ，  ，所以  ，故错误．故选：．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件的判定，属于基础题．
求解两个不等式，利用集合间的关系进行判断．【解答】解：由可得或，记或，
由得或，记或，
则是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件；
故本题选B．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量平行的坐标表示，考查运算求解能力，是基础题．
先求出，，再由，能求出的值．【解答】解：、、，
，，
，
，解得．
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较函数值大小，属于中档题．
利用指数函数、对数函数单调性并借助“媒介”数比较大小即可．【解答】解：函数  在上单调递减，而  ，则  ，即  ，函数  在  上单调递减，  ，则  ，函数  在  上单调递增，  ，则  ，于是得  ，  ，  ，即  ，所以  ．故选：．  8.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，属于中档题．
根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，结合排除法即可求解．【解答】解：不是周期函数，可排除选项；
的周期为，可排除选项；
在处取得最大值，不可能在区间上单调递增，可排除．
故选A．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，考查已知切线斜率、倾斜角求参数，属于中档题．
构造函数，则问题转化为在区间上有且仅有一个根，进一步转化为函数的图象与直线的图象在区间上只有一个交点，利用导数研究曲线的切线问题，确定边界状态的的值，结合图象求解即可得到答案．【解答】解：令
则
令，即，
故，所以，
作出函数的图象如图所示，

函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，
直线过定点，
当直线过点时，；
当直线与曲线相切时，
设切点坐标为，
由，故切线的斜率为，
所以，解得，
则，解得，
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，
即函数在区间上有且仅有一个零点，
所以实数的取值范围是．
故选C．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的运算法则，两个复数相等的条件，属于基础题．
由题意利用两个复数代数形式的运算法则，两个复数相等的条件，求得的值．【解答】解：为虚数单位，，
，且，实数，
故答案为：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查有理数指数幂的计算，涉及指数、对数的计算，属于基础题．
根据题意，由指数幂、对数的运算性质，直接计算可得答案．【解答】解：根据题意，原式

；
故答案为：．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查圆柱的体积，球的表面积，属于中档题．
根据圆柱的体积、底面积，结合体积、底面积公式求圆柱的高和底面半径，由外接球半径与圆柱的高、底面半径的关系求，进而求球的表面积．【解答】解：由题设，若圆柱的高为，底面半径为，则  ，即  ，设外接球半径为，则  ，该球的表面积是  ．故答案为： ．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于综合题．
求出函数  在  处的导数，再用导数的几何意义即可求解；设该切线与曲线  相切的切点坐标，求导即可计算作答．【解答】解：由  求导得：  ，则曲线  在  处的切线斜率为  ，而切点为  ，所以所求切线方程为  ；设直线  与曲线  相切的切点为  ，由  求导得：  ，于是得  ，  ，显然有  ，即  ，  ，解得   ．故答案为：  ；．  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于中档题．
先得到，再利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，
，
，
，

，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．  15.【答案】  【解析】【分析】本题考查向量运算的平行四边形法则及向量的数量积运算，考查共线向量基本定理的应用，是中档题．
由菱形满足，得，可得菱形为正方形，则可求；再由已知把用表示，利用、、三点共线，得，从而求得的值．【解答】解：菱形满足，，
可知菱形为正方形，则，；
由，，
得
，
、、三点共线，，
即，则．
故答案为：；．  16.【答案】解：Ⅰ因为，所以，
由余弦定理可得，，，
即，解得，
所以的值为；
Ⅱ由Ⅰ可得，，
由余弦定理可得：，
所以在中，；
Ⅲ由题意可得，
由Ⅱ可得，
，
所以，
所以的值为． 【解析】本题考查三角形的正余弦定理的应用以及两角差的余弦公式的应用，属于一般题．
Ⅰ由余弦定理可得的值；
Ⅱ由Ⅰ可得的余弦值，再由同角的正余弦的平方和为，及三角形中正弦的范围求出的正弦值；
Ⅲ由Ⅱ可得的正余弦值，的正余弦值，再由两角差的余弦公式展开求出的余弦值．
 17.【答案】解：由  知函数  的对称轴为  ，由  的最大值为，可设  ．令  ，得  ，由  得  ，解得  ．所以  ；由知  ，即  ，解得  或  ，所以  的解集为  或 ；由  可得，  ，即  ，若不等有解，可得，解得  ，又  在  时恒成立，可得  ，由  得  ．令  ，易知  单调递减，所以  ，由于只需存在实数，故  ，则能取到的最小实数为此时，存在实数  ，只要当  时，就有  成立． 【解析】本题考查二次函数的解析式与性质，解一元二次不等式，及不等式恒成立问题，属于中档题．
求出对称轴，设二次函数为顶点式，求出与  的两交点，进而利用  得出的值，得到  的解析式；解一元二次不等式即可；存在性问题与恒成立问题结合，需要由  得出的范围，然后和  比较，求出最值．
 18.【答案】解：如图，以的中点为原点，分别以射线 ， 为 ，轴的正半轴，建立空间直角坐标系  ．
在中，由余弦定理得．由题意知各点坐标如下：  ，  ，  ，  ，  ，  ，因此  ，  ，  ，由  得  ，由  得  ．即，，又因为  ，所以  平面  ．因为 平面 ，所以  ，  ，所以  即为平面  与平面  所成角的平面角．因为  ，所以  ．设点坐标为  ，则  ，依题意有  ，解得  或  ．所以 的长为  或  ． 【解析】本题考查利用向量法证明线面垂直，求线面角，二面角的定义，属于综合题．
以的中点为原点，分别以射线 ， 为 ，轴的正半轴，建立空间直角坐标系  ，根据  ，  ，得到  ，  ，再利用线面垂直的判定即可证明  平面  ．根据题意得到  ，  ，从而得到  即为平面  与平面  所成角的平面角，再求其正弦值即可．首先设点 坐标为  ，根据题意得到  ，再解方程即可．
 19.【答案】解：由函数，得；

，
所以最小正周期为；
由，得，，
所以单调递减区间为，；
由，得，
当时，对恒成立时函数单调递增，
当时，对恒成立时函数单调递减，
又当时，，
所以或时，函数在上为单调函数，
所以，不是单调函数时实数的取值范围． 【解析】本题考查三角恒等变换，以及导数的应用，属中档题．
直接求导可得；
化简，可求最小正周期和单调减区间；
由，得，先求单增和单减时的的范围，再求得不单调时的范围．
 20.【答案】解：函数  的定义域为  ．当  时，  ，  ，令  得  ．列表：极大值所以  的极大值为  ． ．令  得  ，记  ．当  时，  ，所以  在区间  单调递减；当  时，由  得  ，  ，若  ，则  ，由  ，得  ，  ；由  ，得  ．所以，  的单调递减区间为  ，  ，单调递增区间为  ；若  ，由知  单调递增区间为  ，单调递减区间为  ；若  ，则  ，由  ，得  ；由  ，得  ．所以，  的单调递减区间为  ，单调递增区间为  ．
综上：当  时， 在区间  单调递减；
当 时， 的单调递减区间为  ，  ，单调递增区间为  ；
当  时， 单调递增区间为  ，单调递减区间为  ；
 当时， 的单调递减区间为  ，单调递增区间为  ． ，由  ，得  ，即 因为  ，所以  舍，或  ．所以  ．由  得  因为  ，所以式可化为  ，即  ．令  ，整理，得  ．记  ，  ，令  得  舍，   ．列表：
 
 所以，  在  单调递减，在  单调递增，又因为  ，  ，所以  ，从而  ． 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式，属于综合题．
求导，确定函数单调性，进而可得极大值；求导，令导函数为，得到一个二次方程，通过讨论判别式，以及根与原函数定义域的位置关系来确定函数单调区间；通过条件可得  ，  ，消去 可得  ，令  ，得到关于  的方程，求导，利用零点存在性定理确定方程根的位置即可．