2022-2023学年湘豫名校联考高二（下）段考数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湘豫名校联考高二（下）段考数学试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湘豫名校联考高二（下）段考数学试卷（6月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知复数满足，则的共轭复数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，，且，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知在平面直角坐标系中有，，三点，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.  某同学买了一打一次性锡纸烘焙模具，如图，模具为圆台状的托盘，高为，下底部直径为，上面开口圆的直径为，若该同学用此模具烘焙一个蛋糕，烘焙成型后，模具开口圆上方的蛋糕膨胀，膨胀部分视为半球形，半球底面大小与模具开口圆大小相同烘焙前后模具形状大小不发生变化，模具厚度不计，则烘焙成型后蛋糕的总体积约为分别是上、下底面半径，是高(    )A.  B.  C.  D. 5.  年月份开始，全国多地政府和车企推出各式优惠，花式补贴卖车，部分车型补贴高达万元降价潮开始从新能源汽车领域卷入燃油车领域，从线下延伸到直播间某汽车品牌的店在某平台进行直播卖车，每周开展，，，，共种车型的直播推销，每种车型安排天进行直播推销，连排天，则和两种车型直播推销时间不连排的概率为(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知函数的一个极大值点为，与该极大值点相邻的一个零点为，则在上的值域为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知椭圆：的左、右焦点分别为，，圆：，点和点分别为椭圆和圆上的动点，当取最小值时，的面积为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  如图，在正方体中，点为棱的中点，则下列说法正确的是(    )A.
B. 平面
C. 与所成角的正弦值为
D. 直线与平面所成角的正切值为
 10.  沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如表： 年份年份代码种植面积万亩附：样本相关系数；为经验回归方程，，，根据如表，下列结论正确的是(    )A. 该地区这年沃柑的种植面积的方差为
B. 种植面积与年份代码的样本相关系数约为精确到
C. 关于的经验回归方程为
D. 预测该地区沃柑种植面积最早在年能突破万亩11.  已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列条件能得到抛物线的方程为的是(    )A. 焦点为 B. 准线为
C. 与直线相交所得弦长为 D. 12.  已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是(    )A. 当时，
B.
C. 若方程有个不同的实根，则
D. 若不等式恒成立，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  的展开式中项的系数是______ ．14.  定义阶导数的导数叫做阶导数，即，分别记作，，，，，则函数的阶导数的图象在点处的切线在轴上的截距为______ ．
 15.  已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______ ．16.  已知当时，不等式有解，则实数的取值范围是______ ；根据前面不等式，当时，满足恒成立，则实数的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
求角；
若，的平分线交于点，且，求．18.  本小题分
茄子和黄瓜是日常可见的蔬菜，种植历史悠久某农户在自家小院前面开辟了块大小一致且土质相同的土地，块土地构成长方形网格状土地共行列，每块土地只种植茄子、黄瓜中的一种，块地全部种满若每块地种植茄子的概率为，茄子种子的出芽率为；每块地种植黄瓜的概率为，黄瓜种子的出芽率为，每块土地种植哪种蔬菜互不影响，茄子与黄瓜种子是否发芽也互不影响．
求恰有块地种植茄子的概率；
求每块地蔬菜种子的出芽率；
若记在每列都有种植茄子的条件下，种植黄瓜的行数该行只要有黄瓜种植即可为随机变量，求的分布列和数学期望．19.  本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，，，分别是，的中点．
证明：平面；
若三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值．
 
20.  本小题分
已知双曲线：的离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程；
过点作直线交双曲线于，不与点重合两点，且直线与关于直线对称，求点到直线的距离．21.  本小题分
已知数列是公差为的等差数列，，且，，成等比数列，又数列满足，．
求数列的通项公式；
设，当时，，求数列的前项的和．22.  本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若方程有两个不相等的实数根，，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以共轭复数．
故选：．
利用复数的四则运算与共轭复数的定义求解即可．
本题主要考查复数的四则运算与共轭复数的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为集合，，
所以，
所以解得．
故选：．
由已知可得，然后结合集合包含关系即可求解．
本题考查集合的运算和表示方法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
 3.【答案】 【解析】解：，，
若，则．
即，即，
所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由平面向量的坐标运算结合充分条件和必要条件的判断即可得出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直的定义求出的值是解决本题的关键，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：圆台状托盘的体积为：
，
模具开口圆上方半球部分的蛋糕体积为：
．
则烘焙成型后蛋糕的总体积约为
故选：．
由已知直接利用球和圆台的体积公式求解即可．
本题考查圆台与球体积的求法，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：种车型全排列有种排法，先将，，进行排列，共有种排法，
再从产生的个空位中选个安排和，共有种排法，
和两种车型直播推销时间不连排的概率为．
故选：．
种车型全排列有种排法，先将，，进行排列，共有种排法，再从产生的个空位中选个安排和，共有种排法，由此能求出和两种车型直播推销时间不连排的概率．
本题考查计数原理、古典概型的概率，考查逻辑推理的核心素养，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，得，所以．
又，所以，所以．
因为，所以，所以．
故选：．
根据条件求出的解析式，再求在上的值域．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由题意设，，
则，即在上单调递减．
，即，
当时，，即，
设，，则，
在上单调递增，即，
当时，，即，
故，
综上所述，．
故选：．
根据题意构造函数，，，，利用导数判断函数、的单调性，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题知，所以
所以，
因为，所以，
所以．
当，两点在的延长线上时，等号成立．
所以，所以，．
所以直线的方程为，即，与方程联立，
可得，解得负值已舍去，其中为点的纵坐标．
所以的面积为．
故选：．
根据和求出的最小值为，结合已知最小值解得，，由直线的方程与椭圆方程联立得点的纵坐标，再根据三角形面积公式可得结果．
本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的应用，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：如图，连接，由题易得，，又，所以平面又平面，所以，A正确；
若平面，因为平面平面，所以，与题意不符，不正确；
因为，所以为与所成的角或其补角，连接，
设正方体的棱长为，易得平面，
所以E.因为，，，
由余弦定理可得，所以C正确；
因为为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，
可得，所以D正确．
故选ACD．
由线面角的求法及线线角的求法，逐个分析，可得所给命题的真假．
本题考查线线、线面位置关系及空间角的计算，考查直观想象、数学运算的核心素养，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，故A错误；
，，．
，故B正确；
，．
关于的线性回归方程为，故C正确；
令，解得，最小的整数为，
可得该地区沃柑种植面积最早在年能突破万亩，故D错误．
故选：．
由方差定义求出方差判断；由相关系数公式求解相关系数判断；由最小二乘法求出线性回归方程判断；
令解得的范围判断．
本题考查方差、相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：易知抛物线为，
此时抛物线焦点应在轴上，故选项A错误；
若准线为，
此时，
解得，
所以抛物线的方程为，故选项B正确；
联立，解得，
所以直线与抛物线相交所得弦长为，
解得，
此时抛物线的方程为，故选项C正确；
不妨设，，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
则
，
解得，
则抛物线的方程为，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据抛物线的标准方程、焦点、准线、弦长、抛物线的定义、根与系数的关系等知识对选项进行判断，从而确定正确答案．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：选项A，当时，，
所以，
又，所以，故A正确；
选项B，函数的大致图象如右图所示，
当方程有四个不等实根，，，时，
，关于对称，，关于对称，
所以，B正确；
选项C，因为，所以或，
当时，对应的根有个，
所以需有个根．所以，C错误；
选项D，因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以不等式恒成立，
即恒成立，
因为，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，D正确．
故选：．
根据图象关于直线对称可判断；结合函数的大致图象，关于对称，可判断；求出，结合图象可判断；转化为恒成立，再利用基本不等式可判断．
本题考查函数的性质、图象、零点问题，考查直观想象、数学运算的核心素养，属难题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，
的通项为，
令，得，
令，得，
所以项的系数为．
故答案为：．
先利用的通项求出和，再得到项的系数．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以，

所以，
所以，又，
所以，所以切线方程为．
令，解得，
故切线在轴上的截距为．
故答案为：．
根据阶导数的定义，以及导数的几何意义即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：圆：的圆心坐标为，
因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，
两圆的方程相减可得相交弦方程为．
故答案为：．
求出，得到圆，两圆相减得到相交弦方程．
本题考查圆的位置关系的应用，相交弦方程的求法，是基础题．
 16.【答案】  【解析】解：因为当时，有解，
所以有解，
设，即证有解，
则，
因为，所以，
设，
当时，在上单调递增，
所以，所以．
所以在上单调递增，
所以，不满足条件，
当时，因为，在上先减后增，
所以，使得．
所以，在上先负后正，
即，使得．
所以当时，，单调递减．
所以当时，，满足题意．
综上所述，，
即实数的取值范围是；
当，时，，即，
令，则，
所以 ．
所以，故实数的最小值为．
故答案为：；．
由题意可得时，有解，构造函数，结合导数分析其单调性，进而求解；
当，结合题意可得 ，令，则，再结合裂项相消法求解即可．
本题主要考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意可得：，即，
所以，
在三角形中，所以，
即；
因为，
所以由正弦定理，得，
所以，
所以或不合题意，舍去，
故，
在中，，
由正弦定理，得，
所以，
故． 【解析】由辅助角公式及二倍角公式可得，再由三角形的角的范围，可得角的大小；
由正弦定理可得，再由正弦定理可得边的表达式，进而求出边的大小．
本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养，属于中档题．
 18.【答案】解：恰有块地种植茄子的概率为．
每块地蔬菜种子的出芽率为．
由已知可得，的取值可能为，，，记事件为“种植黄瓜的行数为”，
记事件为“每列都有种植茄子”，
则，
所以，
，
，
所以的分布列为： 所以． 【解析】由二项分布求解即可；由全概率公式求解；
先分析出的取值可能为，，，由条件概率求得每一部分的概率，由离散型随机变量的分布列及数学期望求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：如图取的中点，连接，

又，分别是，的中点，所以．
又平面，平面，
所以平面，因为为的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
又，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
如图，连接，，易得．
平面平面，平面平面，又，
平面，故平面，平面，故．
又，，，平面，故AB平面．
设三棱锥的外接球的球心为图中未画出，半径为，
则球心与、的中心以及点构成正方形，
设，则，，
所以，
所以．
因为三棱锥外接球的表面积为，所以，
以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建系如图，

则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，所以，取．
设平面的法向量为，
则，所以，取．
设平面与平面的夹角为，
则．
故平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】取的中点，连接，证明平面，平面得到平面平面，得到证明．
连接，，确定平面，根据外接球的表面积得到，再建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定平面法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案．
本题考查线面平行的证明，面面角的求解，化归转化思想，属中档题．
 20.【答案】解：由题意可得，，解得，得．
双曲线的标准方程为；
由题可得直线，的斜率存在且不为零．
设直线的方程为，直线的方程为，
，，
联立方程，得，
，则．
由根与系数的关系得，则．
同理可得．

，
故直线的方程为．
得点到直线的距离为． 【解析】由题意可得关于，，的方程组，求解与的值，可得双曲线的标准方程；
由题可得直线，的斜率存在且不为零，设直线的方程为，直线的方程为，通过联立直线方程与双曲线方程求解，的坐标，可得直线的方程，再由点到直线的距离公式求解．
本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系，考查数学运算的核心素养，是中档题．
 21.【答案】解：由题意，得，即，
化简得，解得或．
又，所以．
所以．
又因为当时，，即；
当时，，
所以，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
当时，，共项；
当时，，共项；
当时，，共项；

当时，，共项，
以上共有项．
所以数列的前项的和为．
记，
则．
上述两个等式作差可得，
所以．
因此，数列的前项的和为． 【解析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得，再由数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
分别讨论，，，，各有几项，共有几项，结合等比数列的求和公式与错位相减法求和，可得所求和．
本题考查等差数列、等比数列的有关计算，与的关系，错位相减法求和，考查数学运算、逻辑推理的核心素养，属于中档题．
 22.【答案】解：已知，函数定义域为，
若，
此时．
整理得，
即，
因为，
所以，
又，
不妨设，函数定义域为，
此时需满足，
可得，
当时，，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
即．
故不等式的解集为；
证明：若方程，
此时，
整理得，
不妨令，，
因为，
此时，
易知，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
若方程有两个不相等的实数根，，
即方程有两个不相等的实数根，，
所以关于的方程有两个不相等的实数根，，且，，
要证，
即证，
需证，
即证，
因为，
所以，
整理得，
不妨设，
此时需证，
即证，
不妨令，，
不妨设函数，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
故． 【解析】由题意，结合指数函数的运算性质得到，构造函数，满足，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
利用换元法，令，，得到，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的打电脑线，将方程有两个不相等的实数根，，转化成关于的方程有两个不相等的实数根，，且，，通过构造函数，利用换元法和导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．