2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）第三次推荐生数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南湖实验中学九年级（下）第三次推荐生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即亿千米“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  把不等式组的解集在数轴上表示，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形是平行四边形，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.  C. 平分 D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点在直线上运动以为顶点在第一象限内作矩形，使各边所在直线与坐标轴平行，且，若函数的图象同时经过矩形顶点、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：________．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围______，

11.  如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上，若，则等于______ 度

12.  如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______ 米参考数据：，，

13.  边长均为的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为______ ．

14.  已知二次函数当对应的函数值随的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点时，的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字，，，每张卡片除数字不同外其余均相同现随机从中摸出一张卡片，记录所摸取的卡片上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一张卡片，记录卡片上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率．

17.  本小题分
某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动装用元购进甲种运动装的数量与用元购进乙种运动装的数量相同若两种运动装各购进一套共需元，求每套甲、乙运动装的进价各为多少元．

18.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，、、均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图保留作图痕迹．
将绕着点顺时针旋转，在图中作出旋转后的对应线段．
在图中作线段，使点在边上，且．
在图中作的角平分线．

 

19.  本小题分
如图，在中，，为中点，，且．

求证：四边形是矩形；
连接交于点，若，，求的长．

20.  本小题分
某中学八、九两个年级各有学生人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：
收集数据
从八、九两个年级各随机抽取名学生，进行了体质健康测试，测试成绩百分制如下：

整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

说明：成绩分及以上为体质健康优秀，分为体质健康良好，分为体质健康合格，分以下为体质健康不合格
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整：

得出结论
估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为______ ．
可以推断出______ 每级学生的体质健康情况更好一些，理由为______ 至少从两个不同的角度说明推断的合理性

21.  本小题分
张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定加油前油箱中剩余油量升与汽车行驶时间时之间的函数图象如图所示，已知加油完毕油箱中剩余油量为升．
张师傅开车行驶______ 小时后开始加油，本次加油______ 升
求加油前与之间的函数关系式．
如果加油站距目的地千米，汽车行驶速度为千米时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．

22.  本小题分
在菱形中，是对角线上一点．
【感知】如图，过点作交于点，作交于点易证不需要证明
【应用】如图，，，的两边分别交边、于点、、不与菱形顶点重合，连结．
判断的形状，并说明理由．
若，则面积最小值时，与的面积之比为______ ．
【拓展】如图，，的两边分别交边、所在直线于点、，连结当，，且时，线段的长为______ ．

 

23.  本小题分
如图，中，，，，点在边上运动，连接点不与、重合时，过点作，交于点，交于点设的长为．
边的长为______ ．
当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
运动过程中，当点、的距离最小时，直接写出这个最小值及此时的面积．
运动过程中，当所在直线将的面积分为：两部分时，直接写出的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过、已知点，，，其中点在轴下方，当、不重合时，以、为边作矩形．
求抛物线的解析式；
点在抛物线上时，求点的坐标；
当矩形与抛物线在点、之间部分图象包括端点恰好有两个公共点时，直接写出的取值范围；
点为直线与抛物线对称轴的交点，设矩形关于点的对称图形为矩形，当两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点，且交点中最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左面看易得第一层有个正方形，第二层有个正方形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
在数轴上表示为：

故选：．
首先解出两个不等式的解集；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
先根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意得：．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先证明四边形是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：由尺规作图可知：，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
平分，，，故选项A、C正确，
，
，故选项B正确；
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意，设，再由，，可得，，
又、在反比例函数上，
．
．
故选：．
由题意，设，再由，，可得，，又、在反比例函数上，故可求出的值．
本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的特征的应用，需要熟练掌握并理解．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，整理即可．
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
；
故答案为：
根据根的判别式即可求出的范围；
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质得到，又，即可得到．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图在中，米，
米，
这名滑雪运动员的高度下降了米．
故答案为：．
如图在中，米，可知这名滑雪运动员的高度下降了米．
本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意，，
，
，
，
，
以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和扇形的面积．
故答案为：．
求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解．
本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由二次函数解析式可知：
函数开口向下，对称轴，
在时，随的增大而增大．
，即．
当时，
，
得或舍去，
当时，对应的图象与直线有公共点，
最小取到，最大取到．
．
故答案为：．
求出时对应的值，根据函数性质随的增大而增大图象只取对称轴左侧部分，利用推断的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，理解在函数图象中的几何意义：在轴上长为的线段在表示的点左右移动的范围是解本题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中两次记录数字之和是正数的有种结果，
所以两次记录数字之和是正数的概率为． 

【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设每套甲运动装的进价为元，则每套乙运动装的进价为元，依题意有：
，
解得，
经检验，是原方程的解，
则．
故每套甲运动装的进价为元，每套乙运动装的进价为元． 

【解析】可设每套甲运动装的进价为元，则每套乙运动装的进价为元，利用“用元购进甲种运动装的数量与用元购进乙种运动装的数量相同”得出等式求出答案．
本题考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系．
 

18.【答案】解：如图，
作法：取格点，连接，
线段就是所求的线段．
证明：取格点，格点，连接、，则，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
线段就是所求的线段．
如图，
作法：取格点、格点，连接交于点，
连接，
线段就是所求的线段．
证明：由作图可知，点在边上，
连接、，
，，
∽，
，
，
，
，
线段就是所求的线段．
如图，
作法：取格点，连接交于点，
线段就是所求的的角平分线．
证明：连接、、、，则，
由勾股定理得，，
，
点、点都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
平分，
平分，
线段就是所求的的角平分线． 

【解析】根据正方形网格的特点和线段绕着它的端点顺时针旋转的要求，构造“一线三直角”模型，得到和，即得到线段的另一个端点，作出线段即可；
由，可知，所以点将线段分成：两部分，想到构造“字模型”，即∽；
由勾股定理得，在的延长线上可以找到格点，使，则找到等腰三角形的顶角的平分线上的另一个点即可，这个点也在的垂直平分线上，观察图形可找到格点，满足．
此题重点考查旋转的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，此题综合性较强，难度较大．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
先由含角的直角三角形的性质求出，的长，进而得到的长，再由勾股定理求出的长，然后证明∽，推出，由此即可解决问题．
 

20.【答案】      九  两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些 

【解析】解：八年级体质健康测试成绩的众数为：，九年级体质健康测试成绩的中位数为；
故答案为：，；
估计九年级体质健康优秀的学生人数为人，
故答案为：；

可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．
故答案为：九；两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．
分析数据：根据众数和中位线的定义即可得；
总人数乘以样本中九年级体质优秀人数占九年级人数的比例即可得；
从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些．
本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

21.【答案】   

【解析】解：观察函数图象可知：张师傅开车行驶小时后开始加油，升．
故答案为：；．
设加油前与之间的函数关系式为，
将、代入，
得：，
解得：，
加油前与之间的函数关系式为．
油箱中的油够用．
该车每小时耗油量为：升，
到达目的地还需耗用升，
，
张师傅要想到达目的地，油箱中的油够用．
观察函数图象可知张师傅开车行驶小时后开始加油，由加油后的剩余油量加油前的剩余油量加油量，即可求出本次加油的升数；
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出加油前与之间的函数关系式；
先求出每小时的耗油量，再求出到达目的地还需耗油量，将其与油箱中剩余油量比较后即可得出结论
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：观察函数图象，找出结论；根据点的坐标，利用待定系数法求出加油前与之间的函数关系式；根据每小时耗油量固定，求出到达目的地还需耗油量．
 

22.【答案】   

【解析】解：【应用】
是等边三角形，理由如下：
四边形是菱形，
，
，
点、、、共圆，
，，
是等边三角形；
当时，的边长最小，面积最小，
此时，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
∽，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展】如图，

同理可得：是等腰三角形，
四边形是菱形，，
，是等腰三角形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
作于，作于，
可得，
可得，，
，
，
故答案为：．
【应用】可推出点、、、共圆，从而，，从而得出是等边三角形；
可证得∽，进一步得出结果；
【拓展】可推出∽，进而得出，解：作于，作于，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关接触知识．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：；
分两种情况：若，
；
若，则，
，，
，
，
，
或时，是以为腰的等腰三角形；
，
点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交圆于点，此时最小，

，，
，
的最小值为，
过点作于点，
，
∽，
，
，
，
；
分两种情况：若：：时，：：，过点作交于点，

，，
，，
，，
，
，
，
；
若：：时，：，过点作交于点，

同理可得，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
由勾股定理可得出答案；
分两种情况，由等腰三角形的性质可得出答案；
由题意知点在以为直径的圆上，取的中点，连接，交圆于点，此时最小，过点作于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案；
分两种情况，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

24.【答案】解：将、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
点在抛物线上，
，
解得或，
点坐标为或；
当点在抛物线上时，，
当点在抛物线上时，，
解得或舍，
当点在上时，，解得；
当点在上时，，
或时，矩形与抛物线在点、之间部分图象包括端点恰好有两个公共点；
，
抛物线的对称轴为直线，
，
四边形是矩形，
，
，，，，
当时，，
点在点上方，
如图，当时，矩形与抛物线有一个交点，此时矩形与抛物线没有交点，
当在抛物线上时，，
解得或舍，
当时，矩形与抛物线没有交点，此时矩形与抛物线有一个交点，
时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；
，
，
与的纵坐标之差为，
当时，，
若要交点中最高点与最低点的纵坐标之差为，最高点与最低点在同一个矩形的边上，
当最低点在上，最高点在上时，，
解得或舍；
当最低点在上，最高点在上时，，
解得或舍；
当时，如图，点在点下方，
当点在抛物线上时，，
解得舍或，
当时，矩形与抛物线有一个交点，此时矩形与抛物线没有交点，
当在抛物线上时，，
解得舍或，
当时，矩形与抛物线没有交点，此时矩形与抛物线有一个交点，
时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；
当最高点在上，最低点在上时，，
解得；
综上所述：的值为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
将点代入函数解析式求出的值，从而确定点坐标；
当点在抛物线上时，，当点在抛物线上时，，解得或舍，当点在上时，，解得；当点在上时，，结合题意可得或时满足题意；
结合图象，当时，先确定时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；当最低点在上，最高点在上时，解得或舍；当最低点在上，最高点在上时，或舍；当时，时，两个矩形的边与抛物线共有不少于两个交点；当最高点在上，最低点在上时，．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键．