7.5 第一课时 三角形内角和定理——课件——2023—2024学年北师大版数学八年级上册

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北师版八年级上册 第七章目录CONTENTS1、课程导入2、课程讲授3、习题解析4、课堂总结7.5 三角形内角和定理第一课时 三角形内角和定理前 言学习目标及重难点1.证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的问题；（重点）2.经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力；（难点）3.在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力.课程导入三角形家族的问题不对！是我们钝角三角形的内角和最大！我们锐角三角形的内角和度数最大！你们别吵了！还是我们直角三角形的内角和最大！课程讲授探索1：三角形的内角和定理的证明问题1：你觉得他们谁说的对？问题2：你还记得吗？小学我们是怎样探索三角形内角和的？你能给大家说说或者展示一下吗？课程讲授一、测量法48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°课程讲授思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠探究一：折叠的方法，和你们的操作一样吗？二、折叠法课程讲授三、剪拼法（撕拼法）课程讲授问题1：如图，当∠A移到∠1的位置时，残边CD和边AB有何位置关系？为什么？问题2：在剪拼法中，通过移动角拼成了一个平角；如果不实际移动角,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?课程讲授你还有什么方法可以达到同样的效果？ 可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.课程讲授ED辅助线辅助线通常画虚线辅助线课程讲授归纳总结课程讲授在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线知识要点想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？课程讲授已知：如图，在△ABC中．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：(如图①)过点A作PQ∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．课程讲授已知：如图，在△ABC中．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：(如图②)过点C作CE∥AB，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B＋∠BCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代换)，∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．课程讲授已知：如图，在△ABC中．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．课程讲授 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.探索2：三角形的内角和定理的运用课程讲授例1 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.课程讲授 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.课程讲授例2 基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.归纳总结课程讲授在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.例3 课程讲授【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.课程讲授解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝ ×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.课程讲授习题1 习题解析1. 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°D2.三角形的内角和等于（　　）A．90° B．180° C．270° D．360°B习题2 习题解析1．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则下列对△ABC形状的判断正确的是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形2．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则较大锐角的度数是________．55°B习题3 习题解析已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点G.求证：EG⊥FG.