备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点23 函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用8种常见考法归类（含答案）

这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点23 函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用8种常见考法归类（含答案），共71页。试卷主要包含了“五点法”作函数的图象，函数中各量的物理意义，三角函数的图象变换，三角函数图象变换的综合应用，根据函数图象确定函数解析式，根据函数性质确定函数解析式，函数的图象和性质综合应用，三角函数模型等内容，欢迎下载使用。
考点23 函数及三角函数的应用8种常见考法归类


考点一 “五点法”作函数的图象
考点二 函数中各量的物理意义
考点三 三角函数的图象变换
（一）已知初始函数与变换过程，求目标函数
（二）已知变换过程和目标函数，求初始函数
（三）已知初始函数与目标函数，求变换过程
（四）平移前后两个函数的名称不一致
（五）与辅助角公式的结合
考点四 三角函数图象变换的综合应用
（一）与周期性的综合
（二）与对称性的综合
（三）与奇偶性的综合
（四）与单调性的综合
（五）与零点的综合
（六）综合应用
考点五 根据函数图象确定函数解析式
考点六 根据函数性质确定函数解析式
考点七 函数的图象和性质综合应用
考点八 三角函数模型

1. 函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h.

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表. 先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
ωx＋φ
0

π

2π
x





y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
描点. 在同一平面直角坐标系中描出各点.
连线. 用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象.
成图. 利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图.
②对函数的图象的影响
对函数的图象的影响
函数中对图象的影响
（其中φ≠0）的图象，可以看作是把图象上所有的点向右（当φ0时）平行移动个单位长度而得到的.

函数中对图象的影响

函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当00）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当00）的性质
函数（A>0,ω>0）的性质
奇偶性：
时，函数为奇函数；
时，函数为偶函数．
周期性：
存在周期性，其最小正周期为T=
单调性：
根据y=sint和t=的单调性来研究
由得单调增区间；
由得单调减区间
对称性：
对称轴
对称中心
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
拓展：函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．

3.三角函数对称性与其他性质的转化
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
4. 函数图象变换解题策略
三角函数图象的平移变换要注意平移方向与的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系,纵坐标的变化与A的关系：
（1）对函数，或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
（3）确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值. 由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
（4）要注意是将f(x)的图象进行平移得到的图像,还是将的图象进行平移得到f(x)的图像,认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种它们所移动的长度单位是不一样的．解答此类题目时应注意将自变量x的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键——函数图象的左右平移是指自变量x的改变程度，另外应记清：左“＋”右“－”，上“＋”下“－”的规律.


5. 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：
已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为.
（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ．（由ω＝，即可求出ω. 求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ）
（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
（3）代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.
（4）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
6. 三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
(3)三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象，匀速圆周运动是比较典型的一个. 解决这类问题时，首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题.


考点一 “五点法”作函数的图象
1．（2023·全国·高三专题练习）(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:  






x





y





作图:

(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) .
【分析】(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)依据的图象上所有的点向左平移个单位长度，的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到的图象；
(3)令，求出即可.
【详解】解:（1）先列表,后描点并画图

0




x





y
0
1
0
-1
0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
【点睛】本题考查五点法作函数的图象，函数的图象变换，考查计算能力，是基础题.
2．（2023春·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0




x






0
2


0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式．
(2)将的图象向左平行移动个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值．
【答案】(1)填表见详解；
(2)
【分析】（1）根据表中已知数据先得出的值，根据周期即可得到的值，从而得到的值，进而函数的解析式可得到，表中数据可补充完整；
（2）先根据平移变换求得的解析式，再根据正弦的对称性质即可求解．
【详解】（1）根据表中已知数据，得，
，可得，
当时，，解得，
所以．
数据补全如下表：

0




x






0
2
0

0
（2）由（1）知，得．
令，解得，．
由于函数的图象关于直线对称，
令，解得，．
由可知，当时，取得最小值．
3．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
x






0





0
1
0
－1
0

0

0

0
(1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；
(2)若，求函数的单调增区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；
（2）先求得，再令求解即可；
（3）先根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式，再将问题转化为，然后求出函数在上的最值即可.
【详解】（1）由表格根据五点作图的规律，
可得，，，，
得，，
，得，
综上：，，；
（2）由（1）可知，，
令，解得，
所以函数的单调增区间为.
（3）将函数的图象向右平移个单位得，
再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得.
由得，
若在上恒成立，
则，
又当时，，
，得.
所以实数m的取值范围为
4．（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图像．
(1)列出下表，根据表中信息．
ωx＋φ
0

π
a
2π
x
1
3
b
7
9
f（x）
0
2
0
c
0
①请求出A，ω，φ的值；
②请写出表格中a，b，c对应的值；
③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像；
(2)当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．
【答案】(1)①2，，；②，5，；③图象见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据表格代入，利用待定系数法求解即可；
（2）根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可.
【详解】（1）①由表格可知，，
由，解得，，
②，，
当时，，，
③作出一个周期的图象，如图，

（2），，则，
当△BCE为直角三角形时，，解得.
，解得，
，
综上，或.
5．（2023春·江西·高三校联考期中）已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.

(1)求的解析式，并用五点法画出函数在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求函数的单调递减区间，并求的最大值以及对应的取值集合.
【答案】(1)，图象见解析
(2)，；最大值为，
【分析】（1）根据平移变换可得，进而结合五点法画出图象即可；
（2）根据正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1）选择，两种变换均得，
列表如下：
























图象如图所示：

（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
当，，
即，时，取得最大值，
此时对应的的取值集合为.
考点二 函数中各量的物理意义
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的振幅、频率和初相分别为（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据函数解析式直接判断选项.
【详解】函数的振幅是，周期，频率，初相是，
故选：．
7．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为________.
【答案】
【分析】根据的物理意义求解．
【详解】由题意，，，，
所以解析式为．
故答案为：．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知电流随时间t变化的关系式是.
(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;
(2)分别求时的电流.
【答案】(1) ,,,.(2) ;5;0;-5;0
【解析】（1）由三角函数的，和的意义进行求解即可．
（2）代入函数解析式求值即可.
【详解】解：（1）
，，
所以函数的周期，频率，振幅，初期.
（2）当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的意义，属于基础题．
考点三 三角函数的图象变换
（一）已知初始函数与变换过程，求目标函数
9．（2023·河北·高三学业考试）为了得到函数，的图象，只需将函数，的图象上所有的点（    ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.
【详解】由题意可知为了得到函数，的图象，
只需将函数，的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
故选：A
10．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】B
【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.
【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.
故选：B
11．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中）先将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），所得函数的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图象的伸缩变换即可求解.
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变,得到，
再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变得到，
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.
【详解】将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将图象向左平移，得到的图象，
故选：A.
13．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移规则，依次先左右平移再上下平移后化简解析式即可.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，
可得，
再向上平移4个单位长度，可得.
故选:A.
（二）已知变换过程和目标函数，求初始函数
14．（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍得到的解析式.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍，可得到函数的图象，因为，所以．
故选：C．
15．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.
【详解】由题意可设，则函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得，再向右平移个单位长度，得到函数

则， 所以，
故，
根据选项可知时，，故C正确；
故选：C
16．（2023·陕西汉中·统考模拟预测）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，可采用逆向思维，将函数的图像作逆向变换，即可得到函数的解析式，然后计算可得的值.
【详解】对函数的图像作逆向变换，
即首先将曲线向左平移个单位长度，得到
然后再将所有点的横坐标伸长到原来的倍，即得到；
所以，.
故选：C.
（三）已知初始函数与目标函数，求变换过程
17．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C.
18．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（    ）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】根据函数图象平移的性质即可求解.
【详解】为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
故选：A
19．【多选】（2023春·广东·高三校联考阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到，
再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确.
故选：AC
20．【多选】（2023·河北唐山·统考三模）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ）
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
【答案】BC
【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.
【详解】函数的图象向右平移个长度单位，得，
再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，
再向右平移个长度单位，得，即.
故选：BC
（四）平移前后两个函数的名称不一致
21．（2023·陕西汉中·统考一模）为得到函数的图象，只需将的图象（    ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
故可由的图象向左平移个单位长度得到.
故选：A.
22．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（　　）
A．向右平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位
【答案】A
【分析】由三角函数的图象变换求解
【详解】，要得到的图象，
需要向右平移个单位．
故选：A
23．（2023·高三课时练习）要得到函数的图象，只需的图象
A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
【答案】D
【分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.
【详解】，
因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：
（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.
（五）与辅助角公式的结合
24．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】A
【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论．
【详解】，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
故选：.
25．（2023·河南·统考模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】首先将函数利用辅助角公式化成一个三角函数，再根据平移规则求出结果.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
26．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）要得到函数图象，只需把函数的图象（    ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位，
故选：A.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的导函数的图象，则（    ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，结合三角函数图像的平移变换可得的表达式，则可得，求得，即可求得.
【详解】因为，所以，
而
，
由题意得，所以 ,解得 ，
所以，
故选：B.
另解：因为，所以，
由题意知对一切实数恒成立，所以令，
得，
故选：B.
考点四 三角函数图象变换的综合应用
（一）与周期性的综合
28．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象经过原点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，，进而可得，然后解三角方程即得.
【详解】∵函数的最小正周期为，∴，
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，
因为其图象经过原点，所以，所以，，解得，.
又，所以的最小值为.
故选：C
29．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由题有，据此可得答案.
【详解】由题有，
则，得，结合，得.
故选：B
30．（2023·全国·高三专题练习）设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为__.
【答案】3
【分析】根据图象平移写出平移后的函数解析式，由图象重合有，即可求最小值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
由于所得函数的图象与原图象重合，故，所以，
当时，的最小值为3.
故答案为：3.
（二）与对称性的综合
31．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是.
令，则，当时，.
故选：C
32．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________.
【答案】3
【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解．
【详解】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，
得到，
，
因为两个函数图象的对称轴重合，
所以，Z，
所以，Z，
因为，所以当时，取得最小值为3．
故答案为：3．
33．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值.
【详解】解法一：
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．故选:A．
解法二
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称．
因为，所以，
即，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．
故选：A．
34．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据函数图象平移结论求得，再根据的图象关于关于点对称，列方程即可求解.
【详解】由题可得，
的图象关于点对称，
所以，解得，
，故的最小值为.
故答案为：.
35．（2023·四川南充·统考三模）已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（    ）
A．向右平移个单位，再向上移动1个单位
B．向左平移个单位，再向上移动1个单位
C．向右平移个单位，再向下移动1个单位
D．向右平移个单位，再向下移动1个单位
【答案】A
【分析】利用点是函数的一个对称中心，求出，在分析图像平移即可.
【详解】因为点是函数的一个对称中心，
所以，
所以，
又，所以，
所以
所以要得到函数的图像则只需将图像：
向右平移个单位，再向上移动1个单位，
故选：A.
（三）与奇偶性的综合
36．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得.
【详解】函数的图像向左平移个单位，得的图像，
又函数是偶函数，则有，，解得，；
所以.
故选：C．
37．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.
【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，
此时图像关于轴对称，所以当时，，，
则.
又，则的最小值是.
故选：D.
38．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】由题意可得，函数f(x)=，设平移量为，得到函数，又g(x)为奇函数，所以即，所以选C
【点睛】三角函数图像变形：
路径①：先向左(φ>0)或向右(φ0)或向右(φ