备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点32 数列求和8种常见考法归类（含答案）

这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点32 数列求和8种常见考法归类（含答案），共96页。试卷主要包含了公式法求和，分组转化法求和，倒序相加法求和，错位相减法求和，裂项相消法求和，插入或构造新数列求和，利用周期求和，数列求和的实际应用等内容，欢迎下载使用。

考点32 数列求和8种常见考法归类


考点一 公式法求和
考点二 分组转化法求和
（一） 等差+等比型求和
（二） 等差（等比）+裂项
（三） 绝对值求和（分段求和）
（四） 奇偶型求和
（五） 正负相间求和(并项求和）
考点三 倒序相加法求和
考点四 错位相减法求和
（一）等差等比
（二）等差/等比
考点五 裂项相消法求和
（一）等差型
（二）无理型
（三）指数型
（四）对数型
（五）幂型
（六）三角函数型
（七）通项与前n项和、前n项积关系型
（八）正负相间型裂项
（九）先放缩后裂项求和
考点六 插入或构造新数列求和
考点七 利用周期求和
考点八 数列求和的实际应用
（一）分期付款
（二）产值增长
（三）其他模型

1.公式法
公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
③数列前项和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差数列中，；
（6）等比数列中，.

2.分组转化法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
(3)正负相间求和：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

3.倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
注：倒序求和，多是具有中心对称的
4.错位相减法
错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤

(3)四步法
用错位相减法求数列前n项和过程可概括为“一加、二乘、三减、四除”八字,以为例
第一步——“一加”.
“一加”,即将数列的各项展开相加,对于数列bn有Tn=13+232+⋯+n−13n−1+n3n
第二步——“乘”.
“二乘”,即对数列的每一项都乘上等比数列的公比,对于bn=n3n,包含的等差数列的通项为n,等比数列的通项为13n,公比为13,故有13Tn=132+232+⋯+n−13n+n3n+1
第三步—“减”.
“三减”,用“一加”所得等式减去“二乘”所得等式,相减过程注意错位,即Tn−13Tn=13+232+⋯+n−13n−1+n3n−132+233+⋯+n−13n+n3n+1=23Tn.
第四步——“四除”.
“四除”,将“三减”所得等式的两边同时除以相同系数,再整理结果,可得Tn=341−13n−n2⋅3n.
(4)注意事项：
①注意题目类型,特别是数列中等比数列公比为负数的情形;
②在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
③若等比数列的公比为参数,则需要讨论公比为1和不为1两种情形.
④作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
⑤运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．　
(5)通法探究即万能公式
从上述对错位相减法的构建过程的探究中可知,该过程较为固定,故可将其整理为适用的万能公式,后续直接代人即可求解.
即对于可分为等差数列和等比数列相乘形式的数列Cn(通项公式Cn=(a⋅n+b)qn−l,其前n项和Sn可表示为Sn=(A⋅n+B)qn+C,其中A=aq−1,B=b−Aq−1,C=−B.下面结合例题来直接验证该公式.
已知bn=n3n,变形可得bn=13n.13n−1,则a=13,b=0,q=13,可推知A=aq−1=−12,B=b−Aq−1=−34,C=−B=34,所以Sn=(A⋅n+B)qn+C=−n2−3413n+34,显然该式与Sn=341−13n−n2⋅3n等价.

5.裂项相消法
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型
（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;
（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。
（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。
(4)常见的裂项技巧
①等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意

（2）
拓展：

（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：

（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.


（7）
（8）

②无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
（1） =
特别注意
（2）
（3）
（4）
（5）
③指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，于是
（10）


④对数型
由对数的运算法则可知：若则


⑤幂型
（1）
（2）
（3）
⑥正负相间型裂项
（1）
形如型，可构造，化为，利用正负相间裂项相消求和

（2）
形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。注意构造过程中指数幂的运算。


⑦三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则

⑧通项与前n项和关系型
利用数列的前n项和与通项的关系裂项，如数列的通项可化为


⑨常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）

；
（9）
；
（10）．
（11）．



6.数列应用问题常见模型
(1)单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr).
(2)复利公式：利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x.
(3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝N(1＋p)x.
(4)递推型：有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类.
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数(含三角函数)、数列与解析几何等.


考点一 公式法求和
1．（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.
【答案】
【分析】根据等差数列的求和公式可得，解不等式即可.
【详解】由知：，且数列为等差数列，
所以，
由得：，即，解得，
所以的取值集合为.
2．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为．已知，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合条件得到，再利用等比数列的定义即可证明结果；
（2）根据（1）中结论求出，再用分组求和即可得到结果.
【详解】（1）已知，①
则当时，，②
由①②可得：，，
又，则，即，则，
即，，
则，又，则，所以为常数，
即是以5为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，
即，
则．
3．（2023·广西·统考模拟预测）已知数列为等比数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的正整数的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由，两式相除得到公比，再代入求得首项，然后利用通项公式求解；
（2）利用等比数列前n项和公式得到，再解不等式即可.
【详解】（1）解：由题意得：等比数列的公比，
又，所以，解得，
所以；
（2），
令，解得，
所以使得成立的正整数的最大值为3.
考点二 分组转化法求和
（一）等差+等比型求和
4．（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列是等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据等差数列公式计算得到答案.
（2）确定，再根据分组求和法结合等差数列等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1），故，故.
（2），

.
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知在公差为正数的等差数列中，，a1，a4，2a8构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若 ，求数列的前n项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得出，代入化简即可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案.
（2）选①，由（1）知，，由分组求和法求出；选②，由（1）知，，由裂项相消法求出；选③由，（1）知，，由错位相减法求出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由a1，a4，2a8构成等比数列得，
则，由，
所以，化简得：，
解得（舍去）或，
所以.
（2）若选①，，
所以；
若选②，，
所以
；
若选③，，
令，
则，
两式相减可得：
，
则，
则.
6．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算，确定，得到证明.
（2）计算，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.
【详解】（1），则，
，
故是以首项为3，公比为3的等比数列．
（2），故，

.
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，分别为等差数列，等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设的公差为d，的公比为q，由，，再写出通项公式即可；
（2）由（1）得到，再利用分组求和即可.
【详解】（1）解：设的公差为d，的公比为q，
则，.
所以，；
（2）由（1）知，
则，
，
.
四、（二）等差（等比） 裂项
8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，写出的通项公式，再利用，得到是公比为的等比数列，求出的通项公式；
（2）利用分组求和及裂项相消法，得到，从而证明出结论.
【详解】（1）设数列的公差为d，则．
因为，且，，成等比数列，
所以，
所以d＝3，
所以．
由，得，
所以是公比为的等比数列，
又，所以．
（2），
所以．
因为，所以．

9．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据的关系求通项公式；
（2）利用错位相减法和裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
所以当时，，故；
当时，，
作差，得，
即，此式对也成立，
故数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，，
不妨令，且数列的前n项和，
则，
，
作差，得，
即．
则
，
即数列的前n项和为.
（三）绝对值求和（分段求和）
10．（2023·湖南·校联考二模）记为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，
由题意可知，
化简得，解得，
所以．
（2）由（1）知：当时，；当时，，
所以


．
11．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出的公差即可求解；
（2）由等差数列的求和公式求出，讨论当时，，；当时，，，写成分段的形式即可.
【详解】（1）设的公差为，
则，解得，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，

，
综上所述：.
12．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根据的单调性可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，
所以，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.
（四）奇偶型求和
13．（2023·全国·高三对口高考）函数，且，则________．
【答案】1000
【分析】分别写出为奇数和为偶数的通项公式，发现为定值的规律，则分组求和进行求解．
【详解】函数，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
，
，
故答案为：1000．
14．（2023·浙江·校联考二模）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解．
【详解】（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，
，而，
所以数列是等比数列，


．
15．（2023·江苏·统考模拟预测）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前40项和.
【答案】(1)
(2)784
【分析】（1）将两边取倒数后，构造等差数列即可；
（2）将奇偶分开，分组求和即可.
【详解】（1）由题意易得，由可得，
所以数列是公差为2的等差数列.
故，即.
（2）由（1）知，.
所以的前40项和

.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)证明：是一个等差数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到，进而即可证明结论；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可．
【详解】（1）当时，可得，
当时，由，
则，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为，所以，
因为（常数），
所以是一个等差数列．
（2），
所以，

所以数列的前项和．
17．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；
（2）根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；
（3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明.
【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．
（2）设等差数列的公差为，
，得，
所以，，
，，

，得证．
（3）当n为奇数时，，

，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．
18．（2023·全国·高三专题练习）设是公差不为零的等差数列，已知，为，的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若求数列的前2n项和
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由等差数列定义以及等比中项的概念可解得公差，可求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可得；
（3）根据数列的通项公式可采用分组求和，再利用裂项和等比数列前n项和公式即可得出结果.
【详解】（1）设公差为且，
则，即，
解得或（舍去），
所以．
即数列的通项公式为.
（2），
所以，
即数列的前n项和
（3）由可得


．
所以，数列的前2n项和.
（五）正负相间求和（并项求和）
19．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由得，两式相减则可求等差数列的公差，时，可求首项，从而可求其通项公式；
（2）根据已知可求，再由并项求和法求和即可．
【详解】（1）由已知为等差数列，记其公差为d．
①当时，，两式相减可得，解得，
②当时，，所以，
所以．
（2）由（1）知，

．
20．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项；
（2）由（1）可得，在分为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以．
（2）由题意知，，
所以
．
当为偶数时，

，
当为奇数时，
．
综上．
21．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；
（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
；
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
22．（2023·重庆·校联考三模）已知数列满足：，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)；
(2)1024144.
【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论求出的通项公式.
（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）数列满足：，，，
当时，，数列是首项，公差为2的等差数列，
因此，即当为偶数时，，
当时，，即，由，得，
因此，即当为奇数时，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
.
23．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知数列的首项，其前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设，求数列的最大项．
【答案】(1)
(2)数列的第二项和第四项都为其最大项，且.
【分析】（1）结合与的关系，由条件可得，利用分组求和法结合等差数列求和公式可求.
（2）由条件求，结合，证明，再求出数列的前n项和，由此确定，讨论知最大项为偶数项，利用导数分析数列的单调性，由此确定其最大项.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，故，
所以，，，，，
所以；
（2）因为，
所以，又，所以，
由（1），
所以，，
所以，
所以，，
所以，
当时，，
所以，又，
所以，
又，所以，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以数列的最大项一定为偶数项，
当为偶数时，，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，且为偶数时，数列单调递增，
所以，且为偶数时，单调递减，
又，，
所以数列的第二项和第四项都为其最大项，且.
24．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）将代入递推公式即可求出答案；
（2）将通项公式代入，将展开并项求和即可得出答案.
【详解】（1）由可得，，
又因为为正项数列的前n项和，所以，
因为，所以，
所以，数列为等差数列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
25．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可求得；根据等比数列通项公式可求得；
（2）由（1）可得，进而得到；分别在为偶数和为奇数的情况下，采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1），数列是以为公差的等差数列，
，解得：，，
；
，，数列是以为首项，为公比的等比数列，.
（2）由（1）得：，即，
当为奇数时，；当为偶数时，；
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
考点三 倒序相加法求和
26．（2023·全国·高三专题练习）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.
【答案】
【分析】先求出，并判断，（且），再由函数得到，最后求的值即可.
【详解】解：因为等差数列的前项和为，且，
所以，解得：，
则，（且）
因为，则，
所以
设，
则，
由上述两式相加得：
，
则
故答案为：1009.
【点睛】本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前项和、倒序相加法，是中档题.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则______．
【答案】4043
【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得

，
所以.
故答案为：.
28．（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.
【答案】46
【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.
【详解】因为函数的定义域为，
设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，
相加得
所以，又，
所以对一切正整数，有；
故有.
故答案为：46.
29．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．求数列的通项公式．
【答案】
【分析】通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可.
【详解】；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
30．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为______.
【答案】
【分析】利用倒序相加法结合组合数的性质可求的前n项和.
【详解】设的前n项和为，则，
又，
故
，
故，
故答案为：.
考点四 错位相减法求和
（一）等差等比
31．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列定义证明即可；
（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则
①，
①得，
②，
①②得，
，
∴，
∴.
∴数列的前项和为.
32．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列的通项公式；
（2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和为.
【详解】（1）根据题意可得，    
则
；
又符合上式，所以；
（2）∵，                                
∴.
33．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选条件，等差数列通项公式，求和公式及等比中项的性质得到方程组，解得、，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）选条件①：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件②：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件③：因为是与的等比中项，所以，由，可得，
设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
（2）令，
则①，
②，
①②得，
所以.
34．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出通项公式；
（2）由错位相减法得到，进而得到不等式，即恒成立，分三种情况，得到实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，∴，
当时，由①，
得②，
①－②得，
，∴，
∴，
又，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得

，
所以，
由是恒成立，
即恒成立，
不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以．
35．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解.
【详解】（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴，即，
∴当时，
，
又不满足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
①−②得：，
整理得，
又因为对任意的正整数，恒成立，所以，
∵，
∴在上单调递增，，
由，可得，
所以实数的取值范围是.
36．（2023·重庆万州·统考模拟预测）在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知数列的前n项和为，且______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①或③，已知和的关系，求解即可；若选②设出公比求解即可；
（2）用错位相减法求数列的和即可.
【详解】（1）若选①：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，
即，所以，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列.
所以.
若选②：都是等比数列，设的公比为：，
因为是等比数列，，
即，解得（舍去）或，
因为，所以.
若选③：当时，，解得；
当时，，，
两式相减得：，所以
所以，当时，符合，
故.
（2）由（1）可知：，
所以，
所以数列的前n项和为：
，
，
两式相减得：，
所以，
所以，
所以.
37．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知数列和等差数列满足，且当时，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式以及对数函数的性质即可求解；（2）根据乘公比错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，
由得：
由得：
所以：，
所以：
所以：当时，，
又因为不满足，
所以：.
（2），
当时，；
当时，，①
，②
①②得：

，
所以：，
又也满足，
综上：.
（二）等差/等比
38．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系即可求出结果；
（2）利用错位相减法即可求出结果.
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
39．（2023·全国·高三对口高考）为各项非零的等差数列，其前项和为，若对任意正整数，均有，则数列的前项和________．
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质求出，得到，再利用错位相减法求解即可.
【详解】∵为等差数列且，
∴，
又，∴，∴，
①，∴②，
由①②，得，
，
．
故答案为：
40．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程求基本量，即可得通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】（1）设公差为，则，故，
所以，而，则，
所以，则，可得，故.
（2）由（1）知：，
所以，则，
所以，
故.
41．（2023·广东·统考模拟预测）记数列的前项和为，已知，.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系，可以推导出为等比数列，再求通项公式即可；
（2）使用错位相减法求解即可.
【详解】（1）∵，则，∴当时，，
以上两式相减，得，即（）.
又当时，，即，∴，∴，
∴（），∵，∴（），
∴数列是首项，公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
①，
①,得②，
①②，得
，
∴.
考点五 裂项相消法求和
（一）等差型
42．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，则________，______________．
【答案】
【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.
【详解】由和可得：
即；
由可得：，
累加得，
所以.
故答案为：，
43．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再根据，作差得到数列是以为首项，为等差的等差数列，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可求出的取值范围，从而得到，即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
化简得，
∴数列是以为首项，为等差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴数列的前项和.
∵，
∴单调递增，∴，
∵，
∴，
若使得对一切恒成立，则，解得，
∴实数的取值范围是.
44．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）对裂项，用累加法求数列的通项公式.
【详解】（1）设的公差为，首项为，因为
所以解得
所以.
（2）由题设，
所以当时，，
将上式累加可得：，
又，则.
又，也适合上式，故.
45．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，从而利用等差数列通项公式求出，再利用求出答案；
（2）裂项相消法求和，并证明.
【详解】（1）因为，则，
所以，可得，
当时，，
又因为适合上式，因此.
（2）由（1）可得：，
故.
46．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得.
【详解】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
47．（2023·全国·高三专题练习）记为正项数列的前n项和．已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，，，两式作差可证得是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可求得，由分组法求和和裂项相消求和求出数列的前n项和．
【详解】（1）由于当时，，
所以，，
两式作差得：，
，
由于，所以，
当时，，解得，
所以当时，，又，符合上式，
故是首项为，公差为的等差数列，
所以．
（2）由于，所以，
由（1）知，则，
则，
故
.
（二）无理型
48．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式列式，求出和，可得；
（2）分母有理化化简，利用裂项求和求出，作差比较可证不等式成立.
【详解】（1）设公差为，则，即，解得，
所以.
（2）
，
所以

，
所以，
所以，
当时，，
所以当时，.
49．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设__________，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；
（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设公差为，由可得，
所以，解得，所以的通项公式为，
则.
（2）若选①；
则
，
所以；
若选②；则，
则；
若选③，则，
所以.
50．（2023·山东·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）变形，是以为首项，1为公差的等差数列，即可求解；
（2）根据题意解得，，由此证明.
【详解】（1），又，
是以为首项，1为公差的等差数列，
.
（2）由（1），，
，

，
.
（三）指数型
51．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
52．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据递推公式和的值，即可求出，及的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，得出数列的前项和，由不等式的恒成立，还可求出的最小值.
【详解】（1）由题意，
在数列中，，，
当时，，
当时上式也符合，
∴，，.
∴当时，；当时，上式也符合.
∴的通项公式为.
（2）由题意及（1）得，,
在数列中，，
数列中，,
∴.
∵，
∴.
∵.
∴的最大值为，.
∴的最小值为.
53．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故

，
当时，，故.
54．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得.
（2）利用裂项相消求和法求得.
【详解】（1）是等差数列，，
即：，又，
，
.
又，
当时，，符合上式，
.
（2）由（1）可得：，
.
55．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以

（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
56．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）数列各项均为正数，数列的前n项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和Tn.
【答案】(1)
(2)Tn
【分析】（1）由，变形为，即，得到是常数列求解；
（2）由（1）得到，进而得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）.
，，是常数列，
，
，
时，，
时，也成立，；
（2），，
.
.
57．（2023·山东·校联考模拟预测）已知非零数列，点在函数的图像上，则数列的前2023项的和为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列的通项公式，再结合裂项相消法即可得到结果.
【详解】由已知条件知，则．
所以．（*）
因为点在函数的图像上，所以，将（*）代入得．
当时，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
因为，
所以．
故选：A．
（四）对数型
58．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列的首项为2，且满足（且），．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解；
（2）利用对数运算裂项可解.
【详解】（1）由得，
因为，所以，所以，即，
又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以．
（2）由得，


59．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为
由成等比数列可得，
所以，
所以，
因为，所以.①
又，
所以，②
所以，
联立①②得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以



.
（五）幂型
60．（2023·江西九江·统考三模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系证得是等差数列，求出，再求；
（2）使用裂项求和即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，，即，
，，，
是首项为2，公差为1的等差数列，
，，
，
综上，
（2），,（）,，
记数列的前n项和为，

.
61．（2023·全国·校联考二模）已知数列中，
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.
【详解】（1）两边同时除以，

数列是首项，公差为2的等差数列，
，
.
（2），可得，

，即，即恒成立.

.
（六）三角函数型
62．（2023·全国·校联考模拟预测）数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________．
【答案】
【分析】将化为，构造数列满足，结合两角差的正切公式，使用裂项相消法求，再由的取值范围求解即可.
【详解】由已知，，
令，，则，
∵，，∴，
∴的前n项和，
又∵，，∴，
∵，∴，
又∵，
∴的范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：合理构造数列，使用裂项相消法求和，是本题解题的关键所在.
63．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前n项和为，则________．
【答案】
【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.
【详解】因为，则，
由，，可得，，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
所以，
所以

．
故答案为:.
64．（2023·山东威海·统考二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，且，可得，
所以，可得，
则，
所以数列是以公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，
则，
整理得，
则


，
所以数列的前100项和.
（七）通项与前n项和、前n项积关系型
65．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列与的关系，转化为数列的递推公式，根据等差数列的定义，即可求解；
（2）首先数列，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，，即，
因为，所以，
两式相减得，
因为，所以，
所以是以1为首项，4为公差的等差数列，
是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以，，
故.
（2）因为，
所以，
因为，所以.
66．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
（2）求出，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）所以，则，
因为，
故．
67．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;
（2）由（1）知,利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
（2）,
设①,
则②,
①-②得,
∴.
68．（2023·福建南平·统考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
69．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项的积为，证明：．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把给定的递推公式变形整理，再利用等差数列的定义判断，并求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可作答.
【详解】（1）由，得，显然，，否则，矛盾，
，即，
因此数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，整理得，
所以数列是等差数列，数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
于是，
所以.
（八）正负相间型裂项
70．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.
【答案】1
【分析】利用，得出，即可判断数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，，，，根据，不等式恒成立，转化为，不等式且恒成立，即可得出结论.
【详解】由题意知，，且，
则当时，，
两式相减得，
所以，
而，即，
又，解得，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，
则，
，
，
数列是单调递增的，，
而数列是单调递减的，，
因为，不等式恒成立，
则，不等式且恒成立，
因此且，即有，
又，所以的最小值是1.
故答案为：1
71．（2023·河北唐山·统考三模）设为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系计算求通项；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）已知①，
当时，.
当时，②
①-②得：，
即.
又，所以，.
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以.
（2）设
.

.
72．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可;
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
所以，
即，
又因为，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，
所以.
73．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并换元，利用累加法求通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）由，得，
令，有，，
当时，，
又满足上式，于是，则，
当时，，
又满足上式，因此，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
74．（2023·天津·校联考模拟预测）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
(3)设，求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意得到方程组，求出、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；
（3）由（1）可得，即可得到，利用放缩法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）依题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
又，，所以，解得或（舍去），
所以，.
（2）由（1）可得，
设的前项和为，
所以

.
（3）因为，所以，
所以，
所以
.
（九）先放缩后裂项求和
75．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
76．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知数列满足，，.记数列的前项和为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消法求和即可确定前项和的范围．
【详解】因为，，所以，，所以，
，
，故，
由累加法可得当时，
，
又因为当 时， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得当时，，
所以，
所以．
故选：A．
77．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列满足，数列的前n项和为，数列满足，数列的前n项和为.
(1)求数列的前n项和；
(2)求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推公式，可得为等比数列，求出通项后得，利用分组求和求数列的前n项和；
（2）利用放缩得，裂项相消求和证得.
【详解】（1）由，得，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
，
所以数列的前项和为．
（2）证明：，
所以，
，，故．
78．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，（其中）．
(1)求证：；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见详解.
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据给定条件，判断的单调性及，先求的范围，然后取倒.
（2）等价变形所证不等式，结合已知利用取倒数及累加法推理作答.
【详解】（1）由，知，，有，即，数列递减，
于是，又，显然，即有与同号，而，因此，
从而成立，而，即，则，
所以.
（2）因为，则，
显然，
因为，两边取倒数可得，因此，
由（1）知，所以，即
从而，即，则，
所以，所以
所以成立.
考点六 插入或构造新数列求和
79．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意求得，由，求得，得到，即可等比数列的通项公式，即可求解；
（2）根据题意得到，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
因为，可得，
两式相减得到，即，所以，
又因为，当时，可得，
可得，适合上式，所以，
所以数列的通项公式.
（2）解：若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，整理得，
所以，
所以
因为，所以，所以.
80．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式；
（2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值.
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
81．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出，得到，的通项公式，进而判断出是数列{}的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，
所以
不是数列{}的项，是数列{}的第1项．
设，则

所以不是数列{}的项．
因为，
所以是数列{}的项．
所以
（2）由（1）可知，．

=
所以



所以．
82．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意分析出数列与数列的公共项，找出他们公共项的通向公式，再利用裂项相消法解决问题.
【详解】若数列与数列的公共项，
则设，即
，
因为为偶数，所以也为偶数，
所以令数列与数列的公共项为：
，
所以，
所以
，
故选：B.
83．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
【答案】(1)
(2)9089
【分析】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列是等差数列。从而得到其通项公式；
（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.
【详解】（1）依题意，当时，解得，
，当时，有，作差得：
，
，
，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，
.
（2）由（1）得，，又，同时，


.
所以的前100项和为9089.
84．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）设正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列.若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前项和；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能，，.
【分析】（1）对题干的递推关系先平方，然后多写一项作差，结合正项数列的性质，可证明其是等差数列；
（2）注意到的每一项是偶数，偶数数列是等比数列的很容易想到，然后证明其公比最小，最后在分组求和.
【详解】（1），
当时，，即，
得或（舍去）.
当时，由，……①
得，……②
得：，
化简得.
因为，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）存在.
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；
下面证明此时的公比最小：
，假若取，公比为，
则为奇数，不可能在数列中.
所以.
又，所以，即的通项公式为：，
故.
考点七 利用周期求和
85．（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（    ）
A．2698 B．2697 C．2696 D．2695
【答案】C
【分析】根据斐波那契数列的递推关系写出数列的项，从而可写出数列的项，找出周期变化规律，即可求解.
【详解】∵
∴数列为 ，
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列为：
是以 6 为周期的周期数列，
∴.
故选：C.
86．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举数列，得到数列的周期为6求解.
【详解】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以


，
故选：B
87．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知数列满足且，为数列的前n项和，则=________．
【答案】2026
【分析】根据递推公式推出数列是以3为周期的数列，求出和，则，代入相应值计算即可．
【详解】由得，则，
则，所以数列是以3为周期的数列，
在中，令，得，得，得，
在中，令，得，得，得，
所以+
.
故答案为：
88．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解.
【详解】因为，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，
，
所以数列的前项和为.
故选：A.
89．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；
（2）根据数列的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
考点八 数列求和的实际应用
（一）分期付款
90．（2023·四川达州·统考一模）某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值，）（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每月还款元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得．
【详解】设每月还款元，共还款11个月，
所以，
．
故选：A．
91．（2023·湖南郴州·统考三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
【答案】(1)购置设备的方案较好
(2)（万元）
【分析】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案.
（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，，由错位相减法即可求出.
【详解】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值
万元
若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为
（万元）.
因此，付全款较好.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为


（万元）
比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.
（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，

记，则


作差可得：

（万元）.
（二）产值增长
92．（2023·全国·高三专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（    ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）
A．83 B．60 C．50 D．44
【答案】B
【分析】由题可知5年后投入再生产的资金为：，即求.
【详解】设每年应扣除的消费资金为万元，则
1年后投入再生产的资金为：，
2年后投入再生产的资金为：
，

5年后投入再生产的资金为：

∴，
∴.
故选：B
93．（2023·全国·高三专题练习）某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;
(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
【答案】(1) ,(2) ,(3) 至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和
(2) 是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可
(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论
【详解】(1)由题意得 是等差数列，
所以
由题意得
所以
所以是首项为250，公比为的等比数列
所以
所以
(2) 是数列的前项和
所以
是数列的前项和减去600，所以


(3)

易得此函数当时单调递增
且时
时
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.
94．（2023·全国·高三专题练习）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2021年投入资金1000万元，以后每年投入比上年减少.预测显示，2021年当地旅游业收入为300万元，以后每年旅游业收入比上年增加20万元.根据预测，解答以下问题：
(1)从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？
(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？
【答案】(1)万元
(2)2039年
【分析】（1）利用等差数列求和公式即求；
（2）由题可表示出前年旅游业总收入及前年投入，然后作比较，再利用数列的增减性可求.
【详解】（1）以2021年为第1年，设第年旅游业收入万元，
则，，故．
，
因此从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计万元．
（2）以2021年为第1年，设第年投入资金万元，
则，，故，
设数列、的前项和分别为、，
则，，
题目即求最小的正整数，使得，
设，则，
令，
则关于递增，且，，
故，，

又，，，
因此该地在2039年的旅游业总收入将首次超过总投入．
（三）其他模型
95．（2023·高三课时练习）某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要______万元.
【答案】4709
【分析】根据题意借助于等比数列的通项公式以及求和公式分析运算.
【详解】设第个实验室的设备费为，装修费为，则，
由题意可得，则，解得或（舍去），
故，
∵对任意的均成立，
∴，即，
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用，
即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4709万元.
故答案为：4709.
96．（2023·全国·高三专题练习）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______．
【答案】 9 385
【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.
【详解】m=13，依题意， ，
共9共 步骤；
若， ，  或，
若，
若，
的集合为 ，其和为385；
故答案为：9,385.