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备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类（含答案）
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这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类（含答案），共51页。试卷主要包含了利用等比数列的定义求通项，等比数列中an与Sn的关系，等比数列基本量的运算，等比数列的证明，等比数列的性质及其应用，等比数列前n项和性质的应用，等比数列的单调性与最值问题，等比数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类
考点一 利用等比数列的定义求通项
考点二 等比数列中an与Sn的关系
考点三 等比数列基本量的运算
考点四 等比数列的证明
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
（二）利用等比数列的性质计算
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
（二）等比数列奇偶项和的性质
考点七 等比数列的单调性与最值问题
考点八 等比数列的实际应用
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
考点十 等比数列与其他知识的交汇
1. 等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
(2) 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方.
2. 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3. 等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.
(2) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
②任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0
当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点.
注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
(4)等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
（Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.且系数与常数互为相反数．）
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
4. 等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
(3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．
（5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
5. 由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
6.等比数列的证明方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
7. 等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝a.
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为.
注：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.
⑦公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
②{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
③若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
ⅰ在其前2n项中，＝q；
ⅱ在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
④在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
⑤在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)
8. 其他衍生等比数列
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
9. 等比数列项的性质应用
（1）等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
（2）应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．
（3）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
10. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
11. 处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法
等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
12. 判断等比数列的单调性的方法
(1)当a1>0，q>1或a1＜0，01时，等比数列{an}是递减数列；
(3)当q＝1时，它是一个常数列；
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
注：在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．
13.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
14.等比数列的实际应用
(1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
15.等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
16.等差数列和等比数列比较
等差数列
等比数列
定义
＝常数
＝常数
通项公式
判定方法
(1)定义法；
(2)中项公式法：⇔为等差数列；
(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；
(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；
(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列
(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列
(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
性质
(1)若，，，，且，则
(2)
(3) ，…仍成等差数列
(1)若，，，，且，则
(2)
(3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列
前n项和
时，；当时，或.
17.等差数列与等比数列的综合问题
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
考点一 利用等比数列的定义求通项
1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得到，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算.
【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，
故选：B.
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【答案】
【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值.
【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，
所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.
【详解】∵，等式两侧同除，可得，
令，则，
∴，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴，即.
故答案为：.
4．（2023·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前n项和，，.
(1)求；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意分析可得，结合等比数列分析运算即可；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法分析运算.
【详解】（1）∵，则，
且，即，可得，即，
∴数列是公比为5的等比数列，
又∵，解得，
故.
（2）由（1）可得：，
则，
∴
.
5．（2023·全国·高三对口高考）已知数列满足，且对任意的正整数，，都有，若数列的前n项和为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，令得出递推关系，判断出数列为等比数列，再根据等比数列前项和的公式，代入计算即可．
【详解】令，则，
所以数列是以公比，首项为的等比数列，
所以，
故选：C．
考点二 等比数列中an与Sn的关系
6．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解.
【详解】因为，则，整理得，
且，所以数列是以首项，公比的等比数列，
则，
所以.
故选：C.
7．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A．54 B．93 C．153 D．162
【答案】D
【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通项公式求.
【详解】当时，则.
当时，．
又因为是等比数列，所以，
所以，解得：，
所以，所以．
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，
所以，即，
所以当时，，
所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
故选：C
9．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知数列的前项和，记的前项和为，则数列中的最大项的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知数列为等比数列，公比为，首项为，进而得，再分为奇数与偶数讨论最值即可得答案.
【详解】解：因为数列的前项和
所以，当时，，解得，
当时，，即，
所以，数列为等比数列，公比为，首项为，
所以，，
所以，由等比数列性质，也为等比数列，公比为，首项为，
所以，的前项和，
所以，
当为奇数时，随着的增大而增大，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，
所以，
当为偶数时，随着的增大而增小，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，
所以，
综上，对于，，即数列中的最大项的值为.
故选：A
考点三 等比数列基本量的运算
10．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，
又由，所以，所以.
故选：B.
11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则（ ）
A．3 B． C． D．13
【答案】B
【分析】根据题意，由条件列出方程求得等比数列的公比，然后将化为，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，且数列的各项为正数，则，
因为，即，
所以，解得或（舍），
则.
故选：B
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，讨论不成立，时，由等比数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾；
所以，则，解得，
所以．
故选：A．
13．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．30 B． C．40 D．
【答案】C
【分析】利用条件，求出数列的第4项和第8项，进而可求出数列的公比，从而求出，再利用即可求出结果.
【详解】令，设数列的公比为，因为，，
所以，，又，所以，得到，
所以，所以.
故选：C.
14．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.
【详解】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值为9；
故选：C.
15．（2023·浙江·校联考二模）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解．
【详解】（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，
，而，
所以数列是等比数列，
．
16．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
17．【多选】（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由已知可得，逐个验证选项即可.
【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
18．（2023·全国·模拟预测）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前项和公式计算即可.
【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,
同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,
则由可得
所以总宽度为
故选:
考点四 等比数列的证明
19．【多选】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.
【答案】
【分析】由等比数列的定义可得出（为非零常数），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】解：若数列是等比数列，则（为非零常数），且，
即，对于任意恒成立，则，解得，
故当时，数列是等比数列.
21．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列定义证明即可；
（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则
①，
①得，
②，
①②得，
，
∴，
∴.
∴数列的前项和为.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由可得，即可证明结论.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
23．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可得，进而根据恒成立问题结合数列单调性分析运算.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，可得，
则，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得：，则，
可得，则，
两式相减得：，
所以，
因为，则，
原题意等价于关于的不等式恒成立，可得，
构建，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数的取值范围.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
25．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
26．（2023秋·广东·高三统考学业考试）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
【答案】
【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.
【详解】设与的等比中项为，
因为，所以，所以.
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案.
【详解】因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得，再利用余弦定理与完全平方公式求得，从而得解；
（2）结合题意，先化简所求得求公式q的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为a，b，c成等比数列，则，
又，，所以，
所以的面积为，故，则，
由余弦定理，
即，则，
所以，故的周长为.
（2）设a，b，c的公比为q，则，，
而，
因此，只需求的取值范围即可.
因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需且.
故有不等式组，即，解得，
从而，因此所求范围为.
（二）利用等比数列的性质计算
29．（2023·河北·统考模拟预测）若数列为等比数列，，，则______．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质,得，再通过分析可得.
【详解】解: 根据等比数列的性质得，，所以，
又，所以，所以
所以,
故答案为：.
30．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
31．（2023·山东聊城·统考三模）若为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由等比数列的性质，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为，是方程的两根，
所以，，所以，又因为，
则，又因为，所以，即充分性成立；
反之，当时，不成立，则，不是方程的两根，即必要性不成立；
所以“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件.
故选：A
32．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
【答案】5
【分析】利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可.
【详解】因为与是方程 的两个根，所以，
因为为正项等比数列，所以，
所以，
故答案为：5.
33．（2023·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
35．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则.
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
37．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A．16 B．18 C．21 D．27
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义及等比数列通项公式求出即可求解作答.
【详解】令等比数列的公比为，，
即有，解得，
所以.
故选：C
38．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【分析】根据等比数列性质，得到关于，，的新等比数列，求解出公比后，求出的值即可．
【详解】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：依然成等比数列，从而快速求解此题．本题也可以利用等比数列的基本项和来进行求解，但计算量较大．
39．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______.
【答案】510
【分析】利用等比数列的性质：，，，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，
，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，
所以.
故答案为：510.
40．（2023·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.
【答案】
【分析】根据等比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.
【详解】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.
41．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到，之间的关系，利用基本不等式求最小值.
【详解】设数列的公比为，
若，则由题意知，，成等比数列，
则，又，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
即，时等号成立，
则的最小值为.
当时，由，可得，
所以，
故的最小值为.
故选：B.
42．（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】当时，；当时，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.
【详解】解：设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，
因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
43．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.
【答案】/
【分析】利用变形求得，利用等比数列的性质可以得到，结合等比数列{an}为正项数列，进而求出公比。
【详解】由，得.
又正项等比数列的前项和为，故，
∴，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
（二）等比数列奇偶项和的性质
44．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
45．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
46．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
47．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
48．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
【答案】
【分析】利用以及已知条件可求得的值.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
【答案】2
【分析】设奇数项的和为,偶数项的和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
【点睛】本题主要考查等比数列的性质,利用前2n项的和中,偶数项的和除以奇数项的和等于公比进行计算即可.属于基础题型.
考点七 等比数列的单调性与最值问题
50．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【答案】D
【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：D.
51．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.
故选：B.
52．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.
【详解】由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
53．【多选】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；
若为①，则有 ，即；
若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；
，并且，，即是递减的正数列， A错误；
所以，B正确；
，即对任意的n都成立，C错误；
当时，，当时，，是的最大值，D正确；
故选：BD.
54．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
【答案】A
【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案.
【详解】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；
，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【分析】根据递推关系，多递推一项再相减，得，进而求出的通项公式，研究数列的单调性，得到前项和的最小值。
【详解】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．
故答案为：11
56．（2023·北京海淀·校考三模）已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列 B．是递增数列
C． D．一定存在，当时，
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，利用反例即可判断ABC,由反证法即可求解D.
【详解】对于A,若 符合，此时，故存在,对，，但此时是递增数列，故A错误，
对于B，若 ，符合，此时，故存在,对，，但此时是递减数列，，故BC错误，
对于D，存在，当时，，则 ,当时，，这与，使得，矛盾，故存在，当时，，故D正确，
故选：D
考点八 等比数列的实际应用
57．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.
【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，
，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
58．（2023·广东广州·统考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则__________（答案精确到1）.
【答案】9920
【分析】根据已知，建立与的关系式，通过比较系数，得到和的值，进而得到是等比数列，求得其前项的和，即可得出的结果.
【详解】由题知，，
，
，
，
，
由得，
则，解得，
所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，
因
，
所以.
故答案为：
59．（2023·陕西西安·统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.（参考数据：）
【答案】12
【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出，
从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.
【详解】设每次操作留下的长度为，
则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，
所以为等比数列，公比为，首项为，故，
所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，
故，即，
两边取对数得：，
因为，所以，则n的最小值为12.
故答案为：12
60．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量．
(1)求的表达式；
(2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，再利用构造法求通项即可；
（2）由题设可得，化为对数式，再利用换底公式结合题中数据即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）若，，
由题设可得，则，
所以，
所以大约经过多少年后，木材存储量能翻一番.
61．（2023·全国·高三专题练习）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
【答案】(1)，
(2)至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上
【分析】（1）根据题意经过次技术更新后，由已知条件推导数列的递推关系，通过整理得到，结合数列是等比数列，求的值；
（2）由（1）求出数列的通项公式，再解不等式，即可求出答案．
【详解】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为．
易知经过次技术更新后，
则，即，
由题意，可设，∴，
又，
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，又，则，
∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比．
由题意，令，得，
则，
故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
62．（2023·北京·人大附中校考三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.
【详解】在等比数列中，成等差数列，则，
即，而，整理得，因为，故解得
故答案为：1
63．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A．28 B．20 C．18 D．12
【答案】A
【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.
【详解】根据题意得，，解得或（舍），
则.
故选：A.
64．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差、等比中项的性质求得，，进而可得，，代入目标式求正切值即可.
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
65．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______.
【答案】1012
【分析】根据等差数列的通项与求和公式以及等比中项的性质，代入即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，因为，则，所以，
因为，，成等比数列，所以，即
解得或(不合题意，舍去)，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：1012
66．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出关于的等式，结合可求得的值，求出、，分析数列的单调性，即可求得的最小值.
【详解】由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，
，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.
故选：D.
67．（2023·河北·校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
，
所以.
68．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且，若，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.
【详解】由等差数列和等比数列的性质可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等号，
，即.
故选：B
考点十 等比数列与其他知识的交汇
69．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【答案】
【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
70．（2023·辽宁丹东·统考二模）等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________．
【答案】/0.5
【分析】分析得到若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．有种可能．若a3<0，共有种可能．再利用条件概率公式求解.
【详解】若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数．
因为{an}前6项中的两项分别为1，2，所以1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．
事件A∩B：若a3<0，则{an}的第1，3，5为负，第2，4，6项为正，共有种可能．
事件B：1，2是{an}第1，3，5项或第2，4，6项中的两项，有种可能．
所以．
故答案为：
71．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点．若是公比为2的等比数列，则__________．的离心率为__________．
【答案】 /；
【分析】第一空：先设出，通过双曲线的定义求得，结合勾股定理即可求得；第二空：先由求得，进而由双曲线定义求出，即可求得离心率.
【详解】
第一空：设，则，连接，由双曲线的定义得，
即，则，则，即；
第二空：由可得，即，解得，设双曲线实轴长为，焦距为，
则，则的离心率为.
故答案为：；.
72．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．
【答案】10
【分析】根据题意可证得是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】因为，所以，
则，又，，
所以是首项为，公比的等比数列，则，
令，则，
又因为在定义域内单调递增，且，
所以，所以最大正整数n的值为10.
故答案为：10.
【点睛】方法定睛：判断和证明数列是等差(比)数列的方法
（1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证a＋1－a（或）为与正整数n无关的一常数．
（2）构造法：通过对含有a，a－1的式子的整体变形，如取倒数，两边加减常数等方法，构造出要证数列的第n项与第n－1项的关系，从而证明等差(比)数列 .
（2）中项公式法：
①若2a＝a－1＋a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等差数列；
②若＝a－1·a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等比数列．
考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类
考点一 利用等比数列的定义求通项
考点二 等比数列中an与Sn的关系
考点三 等比数列基本量的运算
考点四 等比数列的证明
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
（二）利用等比数列的性质计算
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
（二）等比数列奇偶项和的性质
考点七 等比数列的单调性与最值问题
考点八 等比数列的实际应用
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
考点十 等比数列与其他知识的交汇
1. 等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
(2) 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方.
2. 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3. 等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.
(2) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
②任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0
当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点.
注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
(4)等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
（Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.且系数与常数互为相反数．）
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
4. 等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
(3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．
（5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
5. 由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
6.等比数列的证明方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
7. 等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝a.
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为.
注：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.
⑦公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
②{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
③若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
ⅰ在其前2n项中，＝q；
ⅱ在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
④在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
⑤在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)
8. 其他衍生等比数列
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
9. 等比数列项的性质应用
（1）等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
（2）应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．
（3）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
10. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
11. 处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法
等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
12. 判断等比数列的单调性的方法
(1)当a1>0，q>1或a1＜0，0
(3)当q＝1时，它是一个常数列；
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
注：在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．
13.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
14.等比数列的实际应用
(1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
15.等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
16.等差数列和等比数列比较
等差数列
等比数列
定义
＝常数
＝常数
通项公式
判定方法
(1)定义法；
(2)中项公式法：⇔为等差数列；
(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；
(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；
(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列
(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列
(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
性质
(1)若，，，，且，则
(2)
(3) ，…仍成等差数列
(1)若，，，，且，则
(2)
(3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列
前n项和
时，；当时，或.
17.等差数列与等比数列的综合问题
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
考点一 利用等比数列的定义求通项
1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得到，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算.
【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，
故选：B.
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【答案】
【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值.
【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，
所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等比数列的定义求解即可.
【详解】∵，等式两侧同除，可得，
令，则，
∴，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴，即.
故答案为：.
4．（2023·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前n项和，，.
(1)求；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意分析可得，结合等比数列分析运算即可；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法分析运算.
【详解】（1）∵，则，
且，即，可得，即，
∴数列是公比为5的等比数列，
又∵，解得，
故.
（2）由（1）可得：，
则，
∴
.
5．（2023·全国·高三对口高考）已知数列满足，且对任意的正整数，，都有，若数列的前n项和为，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，令得出递推关系，判断出数列为等比数列，再根据等比数列前项和的公式，代入计算即可．
【详解】令，则，
所以数列是以公比，首项为的等比数列，
所以，
故选：C．
考点二 等比数列中an与Sn的关系
6．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解.
【详解】因为，则，整理得，
且，所以数列是以首项，公比的等比数列，
则，
所以.
故选：C.
7．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A．54 B．93 C．153 D．162
【答案】D
【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通项公式求.
【详解】当时，则.
当时，．
又因为是等比数列，所以，
所以，解得：，
所以，所以．
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，
所以，即，
所以当时，，
所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
故选：C
9．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知数列的前项和，记的前项和为，则数列中的最大项的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知数列为等比数列，公比为，首项为，进而得，再分为奇数与偶数讨论最值即可得答案.
【详解】解：因为数列的前项和
所以，当时，，解得，
当时，，即，
所以，数列为等比数列，公比为，首项为，
所以，，
所以，由等比数列性质，也为等比数列，公比为，首项为，
所以，的前项和，
所以，
当为奇数时，随着的增大而增大，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，
所以，
当为偶数时，随着的增大而增小，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，
所以，
综上，对于，，即数列中的最大项的值为.
故选：A
考点三 等比数列基本量的运算
10．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，
又由，所以，所以.
故选：B.
11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则（ ）
A．3 B． C． D．13
【答案】B
【分析】根据题意，由条件列出方程求得等比数列的公比，然后将化为，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，且数列的各项为正数，则，
因为，即，
所以，解得或（舍），
则.
故选：B
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，讨论不成立，时，由等比数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾；
所以，则，解得，
所以．
故选：A．
13．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．30 B． C．40 D．
【答案】C
【分析】利用条件，求出数列的第4项和第8项，进而可求出数列的公比，从而求出，再利用即可求出结果.
【详解】令，设数列的公比为，因为，，
所以，，又，所以，得到，
所以，所以.
故选：C.
14．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.
【详解】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值为9；
故选：C.
15．（2023·浙江·校联考二模）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解．
【详解】（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，
，而，
所以数列是等比数列，
．
16．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
17．【多选】（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由已知可得，逐个验证选项即可.
【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
18．（2023·全国·模拟预测）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前项和公式计算即可.
【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,
同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,
则由可得
所以总宽度为
故选:
考点四 等比数列的证明
19．【多选】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.
【答案】
【分析】由等比数列的定义可得出（为非零常数），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】解：若数列是等比数列，则（为非零常数），且，
即，对于任意恒成立，则，解得，
故当时，数列是等比数列.
21．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列定义证明即可；
（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则
①，
①得，
②，
①②得，
，
∴，
∴.
∴数列的前项和为.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由可得，即可证明结论.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
23．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可得，进而根据恒成立问题结合数列单调性分析运算.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，可得，
则，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得：，则，
可得，则，
两式相减得：，
所以，
因为，则，
原题意等价于关于的不等式恒成立，可得，
构建，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数的取值范围.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
25．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
26．（2023秋·广东·高三统考学业考试）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
【答案】
【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.
【详解】设与的等比中项为，
因为，所以，所以.
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案.
【详解】因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得，再利用余弦定理与完全平方公式求得，从而得解；
（2）结合题意，先化简所求得求公式q的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为a，b，c成等比数列，则，
又，，所以，
所以的面积为，故，则，
由余弦定理，
即，则，
所以，故的周长为.
（2）设a，b，c的公比为q，则，，
而，
因此，只需求的取值范围即可.
因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需且.
故有不等式组，即，解得，
从而，因此所求范围为.
（二）利用等比数列的性质计算
29．（2023·河北·统考模拟预测）若数列为等比数列，，，则______．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质,得，再通过分析可得.
【详解】解: 根据等比数列的性质得，，所以，
又，所以，所以
所以,
故答案为：.
30．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
31．（2023·山东聊城·统考三模）若为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由等比数列的性质，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为，是方程的两根，
所以，，所以，又因为，
则，又因为，所以，即充分性成立；
反之，当时，不成立，则，不是方程的两根，即必要性不成立；
所以“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件.
故选：A
32．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
【答案】5
【分析】利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可.
【详解】因为与是方程 的两个根，所以，
因为为正项等比数列，所以，
所以，
故答案为：5.
33．（2023·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案.
【详解】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
35．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，.
故选:B.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则.
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
37．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A．16 B．18 C．21 D．27
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义及等比数列通项公式求出即可求解作答.
【详解】令等比数列的公比为，，
即有，解得，
所以.
故选：C
38．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【分析】根据等比数列性质，得到关于，，的新等比数列，求解出公比后，求出的值即可．
【详解】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：
本题正确选项：
【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：依然成等比数列，从而快速求解此题．本题也可以利用等比数列的基本项和来进行求解，但计算量较大．
39．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______.
【答案】510
【分析】利用等比数列的性质：，，，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，
，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，
所以.
故答案为：510.
40．（2023·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.
【答案】
【分析】根据等比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.
【详解】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.
41．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到，之间的关系，利用基本不等式求最小值.
【详解】设数列的公比为，
若，则由题意知，，成等比数列，
则，又，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
即，时等号成立，
则的最小值为.
当时，由，可得，
所以，
故的最小值为.
故选：B.
42．（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】当时，；当时，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.
【详解】解：设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，
因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
43．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.
【答案】/
【分析】利用变形求得，利用等比数列的性质可以得到，结合等比数列{an}为正项数列，进而求出公比。
【详解】由，得.
又正项等比数列的前项和为，故，
∴，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
（二）等比数列奇偶项和的性质
44．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
45．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
46．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
47．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
48．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
【答案】
【分析】利用以及已知条件可求得的值.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
【答案】2
【分析】设奇数项的和为,偶数项的和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
【点睛】本题主要考查等比数列的性质,利用前2n项的和中,偶数项的和除以奇数项的和等于公比进行计算即可.属于基础题型.
考点七 等比数列的单调性与最值问题
50．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【答案】D
【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：D.
51．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.
故选：B.
52．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为.
【详解】由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
53．【多选】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；
若为①，则有 ，即；
若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；
，并且，，即是递减的正数列， A错误；
所以，B正确；
，即对任意的n都成立，C错误；
当时，，当时，，是的最大值，D正确；
故选：BD.
54．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
【答案】A
【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案.
【详解】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；
，则B正确；
，则C正确；
因为，所以是数列中的最大项，则D正确.
故选：A.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【分析】根据递推关系，多递推一项再相减，得，进而求出的通项公式，研究数列的单调性，得到前项和的最小值。
【详解】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．
故答案为：11
56．（2023·北京海淀·校考三模）已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列 B．是递增数列
C． D．一定存在，当时，
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，利用反例即可判断ABC,由反证法即可求解D.
【详解】对于A,若 符合，此时，故存在,对，，但此时是递增数列，故A错误，
对于B，若 ，符合，此时，故存在,对，，但此时是递减数列，，故BC错误，
对于D，存在，当时，，则 ,当时，，这与，使得，矛盾，故存在，当时，，故D正确，
故选：D
考点八 等比数列的实际应用
57．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.
【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，
，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
58．（2023·广东广州·统考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则__________（答案精确到1）.
【答案】9920
【分析】根据已知，建立与的关系式，通过比较系数，得到和的值，进而得到是等比数列，求得其前项的和，即可得出的结果.
【详解】由题知，，
，
，
，
，
由得，
则，解得，
所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，
因
，
所以.
故答案为：
59．（2023·陕西西安·统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.（参考数据：）
【答案】12
【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出，
从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.
【详解】设每次操作留下的长度为，
则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，
所以为等比数列，公比为，首项为，故，
所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，
故，即，
两边取对数得：，
因为，所以，则n的最小值为12.
故答案为：12
60．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量．
(1)求的表达式；
(2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，再利用构造法求通项即可；
（2）由题设可得，化为对数式，再利用换底公式结合题中数据即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）若，，
由题设可得，则，
所以，
所以大约经过多少年后，木材存储量能翻一番.
61．（2023·全国·高三专题练习）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
【答案】(1)，
(2)至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上
【分析】（1）根据题意经过次技术更新后，由已知条件推导数列的递推关系，通过整理得到，结合数列是等比数列，求的值；
（2）由（1）求出数列的通项公式，再解不等式，即可求出答案．
【详解】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为．
易知经过次技术更新后，
则，即，
由题意，可设，∴，
又，
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，又，则，
∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比．
由题意，令，得，
则，
故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
62．（2023·北京·人大附中校考三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.
【详解】在等比数列中，成等差数列，则，
即，而，整理得，因为，故解得
故答案为：1
63．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A．28 B．20 C．18 D．12
【答案】A
【分析】由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.
【详解】根据题意得，，解得或（舍），
则.
故选：A.
64．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差、等比中项的性质求得，，进而可得，，代入目标式求正切值即可.
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
65．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______.
【答案】1012
【分析】根据等差数列的通项与求和公式以及等比中项的性质，代入即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，因为，则，所以，
因为，，成等比数列，所以，即
解得或(不合题意，舍去)，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：1012
66．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出关于的等式，结合可求得的值，求出、，分析数列的单调性，即可求得的最小值.
【详解】由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，
，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.
故选：D.
67．（2023·河北·校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
，
所以.
68．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且，若，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.
【详解】由等差数列和等比数列的性质可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等号，
，即.
故选：B
考点十 等比数列与其他知识的交汇
69．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【答案】
【分析】先求函数的导数，代入0，再利用等比数列的性质可求答案.
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
70．（2023·辽宁丹东·统考二模）等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________．
【答案】/0.5
【分析】分析得到若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．有种可能．若a3<0，共有种可能．再利用条件概率公式求解.
【详解】若等比数列{an}既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数．
因为{an}前6项中的两项分别为1，2，所以1，2只能是{an}的第1，3，5项或第2，4，6项中的两项．
事件A∩B：若a3<0，则{an}的第1，3，5为负，第2，4，6项为正，共有种可能．
事件B：1，2是{an}第1，3，5项或第2，4，6项中的两项，有种可能．
所以．
故答案为：
71．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点．若是公比为2的等比数列，则__________．的离心率为__________．
【答案】 /；
【分析】第一空：先设出，通过双曲线的定义求得，结合勾股定理即可求得；第二空：先由求得，进而由双曲线定义求出，即可求得离心率.
【详解】
第一空：设，则，连接，由双曲线的定义得，
即，则，则，即；
第二空：由可得，即，解得，设双曲线实轴长为，焦距为，
则，则的离心率为.
故答案为：；.
72．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．
【答案】10
【分析】根据题意可证得是等比数列，再结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】因为，所以，
则，又，，
所以是首项为，公比的等比数列，则，
令，则，
又因为在定义域内单调递增，且，
所以，所以最大正整数n的值为10.
故答案为：10.
【点睛】方法定睛：判断和证明数列是等差(比)数列的方法
（1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证a＋1－a（或）为与正整数n无关的一常数．
（2）构造法：通过对含有a，a－1的式子的整体变形，如取倒数，两边加减常数等方法，构造出要证数列的第n项与第n－1项的关系，从而证明等差(比)数列 .
（2）中项公式法：
①若2a＝a－1＋a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等差数列；
②若＝a－1·a＋1(n∈N*，n≥2)，则{a}为等比数列．
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