考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类

考点一 比较两个数(式)的大小

考点二 不等式的性质及应用

考点三 求代数式的取值范围

考点四 不等式的证明

考点五 不等式的实际应用

考点六 不等式的综合问题

1、比较两数(式)大小的方法

注：比较两式大小还可用函数的单调性法

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．

2、不等式的基本性质

3、分数性质

若a>b>0，m>0，则

(1)真分数性质：<；>(b－m>0).

(2)假分数性质：>；<(b－m>0).

其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”

4、利用不等式的性质判断正误的2种方法

利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

5、利用待定系数法求代数式的取值范围

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．

(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；

(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b).

考点一 比较两个数(式)的大小

1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（    ）

A． B．

C． D．与的大小无法判断

2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；

（2）设x，，比较与的大小.

5．【多选】（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则正数的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

考点二 不等式的性质及应用

10．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ）

A． B． C． D．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

13．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

14．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知实数，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

17．【多选】（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

18．【多选】（2023·福建·统考模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的最小值为6

考点三 求代数式的取值范围

19．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求

(1)

(2)

(3)的取值范围.

20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（    ）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________

22．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．

23．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

24．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

25．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．

26．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

考点四 不等式的证明

27．（2022·全国·高三专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；

（2）已知c>a>b>0，求证：

28．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）已知实数，，满足．

(1)若，求证：；

(2)若，，求的最小值．

29．（2022·全国·校联考模拟预测）设a，b，c都是正数，，且的最小值为1．

(1)求的值；

(2)证明：．

考点五 不等式的实际应用

30．（2023·北京·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（   ）

A．7 B．8 C．9 D．10

31．（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（    ）

A．方案一更经济 B．方案二更经济

C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定

32．（2023·全国·高三专题练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．

33．（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

考点六 不等式的综合问题

34．（2023·上海·高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．

35．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

36．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c满足，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，