考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共23页。试卷主要包含了三角函数的定义域，三角函数的值域(最值），三角函数的图象，三角函数的周期性，三角函数的单调性，三角函数的奇偶性，三角函数的对称性，三角函数的零点等内容，欢迎下载使用。
考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类


考点一 三角函数的定义域
考点二 三角函数的值域(最值）
（一）y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域
（二）二次函数模型
（三）分式型
（四）根据三角函数的值域（最值）求参数
考点三 三角函数的图象
考点四 三角函数的周期性
考点五 三角函数的单调性
（一）求三角函数的单调区间
（二）比较三角函数值的大小
（三）根据三角函数的单调性求参数
考点六 三角函数的奇偶性
（一） 判断三角函数的奇偶性
（二）根据奇偶性判断三角函数图象
（三）根据奇偶性求函数值
（四）根据奇偶性求参数
考点七 三角函数的对称性
考点八 三角函数的零点
考点九 三角函数性质的综合应用


1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
（3）零次幂：中底数；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则

2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。


=


(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；

3. “五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)在确定余弦函数y＝cosx在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，，(0，1)，，(π，－1).
4. 周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
5. 三角函数的图象和性质
函数性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象(一
个周期)



值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最值
(k∈Z)
当x＝＋2kπ时，ymax＝1；　
当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1　
当x＝2kπ时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
无
函数性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
对称性
(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ＋；
对称中心：
(kπ，0)
对称轴：
x＝kπ；
对称中心：

无对称轴；
对称中心：

最小正
周期
2π
2π
π
单调性
(k∈Z)
单调递增区间
[2kπ－，2kπ＋]；
单调递减区间
[2kπ＋，2kπ＋]
单调递增区间
[2kπ－π，2kπ]；
单调递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
单调递增区间
(kπ－，kπ＋)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
6. 关于周期性的常用结论
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一. 例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期. 同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(3)周期函数的定义域是无限集.
(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.
(5)最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．
7. 求三角函数的周期，一般有三种方法
（1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；
（3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.
8. 与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．
（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．
9. 与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．
（2）当ω0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．
13.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－，)，(，π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－，)∪(，)∪…上是增函数．
14. 三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.　
15.三角函数性质的综合
探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．对于y＝asin x＋bcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．　


考点一 三角函数的定义域
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为________________．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是______.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是____________．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是________.
考点二 三角函数的值域(最值）
（一）y＝Asin（ωx＋φ）型函数值域
7．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为______．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.
9．（2023·甘肃酒泉·统考三模）若函数的最小值为，则__________．
10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西·校联考模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．
12．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．

13．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ）
A． B． C． D．
（二）二次函数模型
14．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
15．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
16．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数的值域是___________.
17．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为__________．
18．（2023·全国·高三专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是______．
19．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）
A． B．3
C． D．4
20．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____________．
（三）分式型
21．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最大值及最小值．
22．（2023·四川达州·统考二模）若，，则实数m的取值范围是______.
（四）根据三角函数的值域（最值）求参数
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
24．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.
25．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（    ）
A．0 B． C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值是，则（    ）
A．2 B．1 C．0 D．
27．（2023·上海·高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.
28．（2023·上海·高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________．
29．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ）
A． B．
C． D．
考点三 三角函数的图象
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；



















(2)解不等式.

31．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知函数，．

(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；
(2)若在上单调递减，求．
32．（2023·全国·学军中学校联考二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.

(1)求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
(2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.
33．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）如图所示，函数（且）的图像是（   ）．
A． B．
C． D．
34．（2023·广东·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B． C．D．
考点四 三角函数的周期性
35．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，周期为π的是（    ）
A． B．
C． D．
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．不能确定
37．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值和最小正周期分别是（    ）
A．， B．， C．， D．，
38．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知函数，则“”是“的最小正周期为2”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
39．（2023·北京东城·统考二模）函数在一个周期内的部分取值如下表：












则的最小正周期为_______； _______．
40．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数的最小正周期为，若，且，则（   ）
A． B． C． D．
41．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（    ）
A． B． C． D．
42．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（    ）
A． B． C． D．
43．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，则在上的值域为（    ）
A． B． C． D．
44．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为________．
45．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为_______.（用弧度制表示）
考点五 三角函数的单调性
（一）求三角函数的单调区间
46．【多选】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
47．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
48．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）函数在上的单调递增区间为______.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（    ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调增区间；
(3)函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围；
51．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
（二）比较三角函数值的大小
52．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知，，，则（    ）
A．a