考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共13页。试卷主要包含了利用同角三角函数的基本关系求值，利用同角三角函数的基本关系化简，正余弦齐次式的计算，给角求值问题，利用诱导公式化简与求值，同角关系与诱导公式的综合应用，利用互余互补关系求值，利用诱导公式和平方关系求解等内容，欢迎下载使用。
考点20 同角三角函数的基本关系及诱导公式12种常见考法归类
考点一 利用同角三角函数的基本关系求值（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值（二）利用平方关系求参数（三）由条件等式求值考点二 利用同角三角函数的基本关系化简考点三 正余弦齐次式的计算考点四 之间的关系考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式考点六 给角求值问题考点七 利用诱导公式化简与求值考点八 同角关系与诱导公式的综合应用考点九 利用互余互补关系求值考点十 利用诱导公式和平方关系求解考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式考点十二 新定义题
1. 同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1. ＝tan α. 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 2. 同角关系的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα). (2)sinα＝tanαcosα. (3)sin2α＝＝. (4)cos2α＝＝.  3. sinα，cosα，tanα三者知一求二问题 这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高解题速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…4. 同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 5. 正余弦齐次式处理技巧（1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解. 如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α. （2）已知①分式齐1次式 =    ②分式齐2次式③齐2次整式6. 与和有关的公式：对于已知sinα±cosα的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有：(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α注：利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化． 7. 同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．8. 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．9. 诱导公式 公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α与α终边关系相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y＝x对称 正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα  记忆规律函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限 10. 诱导公式的记忆方法①口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”精析：（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导公式）（2）奇？偶？（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）奇：指k是奇数（也即的系数是奇数）如 变：指的是函数名发生改变，偶：指k是偶数（也即的系数是偶数）如，不变：函数名不发生变化（3）三角函数在各个象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角）                          例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名（6）实例：诱导公式1-6（7）补充：，，，，（8）特殊：   11. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”——用公式一或三来转化；（2）“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；（3）“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；（4）“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.12. 应用诱导公式要注意：①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；②在运用公式时正确判断符号至关重要；③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率. 13. 三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.提醒：注意分类讨论思想的应用.14. 解决条件求值问题的两技巧（1）寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.（3）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（4）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（5）等可利用诱导公式把的三角函数化  考点一 利用同角三角函数的基本关系求值（一）已知一个三角函数值求其他三角函数值1．（2023春·北京石景山·高三首师大附属苹果园中学校考阶段练习）已知，，则_____.2．（2023春·四川甘孜·高三校考阶段练习）已知，且是第二象限的角，则______．3．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知为第三象限角，，则___________．4．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ）A． B．C． D．（二）利用平方关系求参数5．（2023·高三课时练习）已知是第四象限角，则________．6．（2023秋·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知、是关于的方程的两个根.(1)求实数的值，(2)求的值.7．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为______．（三）由条件等式求值8．（2023·高三课时练习）若，且 ，则_____.9．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知，，则___________10．（2023·全国·高三专题练习）已知是第三象限角，，则________．11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（    ）A． B． C． D．考点二 利用同角三角函数的基本关系化简12．（2023·全国·高三专题练习）__________.13．（2023·全国·高三专题练习）化简得（    ）A． B．C． D．14．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）A．5 B． C．2 D．4考点三 正余弦齐次式的计算15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________16．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）A．2 B． C．1 D．17．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值是_____________．18．（2023·全国·高三专题练习）若，则（      ）A．1 B．2 C．3 D．419．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知，则的值是__________．20．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）A． B．C． D．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．22．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则____________.23．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程，则（    ）A． B． C． D．24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）已知向量，，若，则的值为______.考点四 之间的关系25．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）A． B． C． D．26．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（    ）A． B． C． D．27．（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.28．【多选】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）已知，，则（    ）A． B． C． D．29．【多选】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知，，则（     ）A． B．C． D．考点五 利用同角三角函数的基本关系证明恒等式30．（2023·高三课时练习）求证：＝.31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．(1)证明：；(2)求的最大值．32．（2023春·安徽六安·高三校考阶段练习）求证：= ．33．（2023·全国·高三专题练习）求证：（1）；（2）；（3）；（4）.考点六 给角求值问题34．（2023·北京海淀·校考模拟预测）__________．35．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）（    ）A．1 B． C． D．36．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为______.考点七 利用诱导公式化简与求值37．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）已知，则的化简结果是（    ）A． B． C． D．38．（2023·高三课时练习）化简的结果为______.39．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．40．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考期末）已知.(1)化简；(2)若，，求的值.41．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的值．考点八 同角关系与诱导公式的综合应用42．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则_________．43．（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______.44．（2023春·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，则____________.45．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，则（    ）A． B． C． D．46．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）若，，则（    ）A． B． C． D．47．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.48．（2023·广东·高三专题练习）若，则（    ）A． B． C． D．考点九 利用互余互补关系求值49．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（    ）A． B． C． D．50．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知，则的值等于（    ）A． B． C． D．51．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知是第二象限，且，则（    ）A． B． C． D．52．（2023春·河南信阳·高三河南省信阳市第二高级中学校考期中）已知，则的值是__________．考点十 利用诱导公式和平方关系求解53．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则_______．54．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知，且，则（   ）A． B． C． D．55．（2023春·广西钦州·高三校考阶段练习）若是第四象限角，且,__________．56．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．考点十一 利用诱导公式证明三角恒等式57．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（    ）A． B．C． D．58．（2023·高三课时练习）求证：．59．（2023·高三课时练习）求证：=.考点十二 新定义题60．【多选】（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ）A． B． C． D．61．【多选】（2023秋·江苏·高三南京师大附中校联考期末）在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数：称为角的正矢，记作；称为角的余矢，记作.则（    ）A．B．函数的最大值为C．存在一个，使得函数的值为D．将函数的图像向左平移个单位后，可得到函数的图像