考点28 数列的概念与性质7种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

考点28 数列的概念与性质7种常见考法归类

考点一 根据规律填写数列中的某项

考点二 由前n项归纳数列的通项公式

考点三 判断数列的增减性

考点四 确定数列的最大（小）项

考点五 根据数列的单调性求参数

考点六 数列周期性的应用

考点七 数列的新定义问题

1. 数列的概念

2. 数列的分类

3. 数列与函数的关系：

从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　

4. 数列的表示法

5. an与Sn的关系

数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为

an＝

注意：根据求时，不要忽视对的验证．

6. 常见数列的通项

(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.

(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.

(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.

(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.

(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.

(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝.

(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝.

(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.

7. 给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：

①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等.

8. 对于数列的通项公式要掌握：

①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

9. 利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

10. 判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

11. 解决数列单调性问题的三种方法

数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.

(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．

(2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；

①当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

②当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

(3)      函数法：结合相应的函数图象直观判断．　

12. 数列周期性问题

解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.

13. 求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；

(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项；

(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　

考点一 根据规律填写数列中的某项

1．（2023·全国·高三专题练习）如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于___________.

2．（2023·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

3．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为_________．

4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（    ）

A．28 B．36 C．45 D．55

5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）将正整数排成下表：

则在表中数字2021出现在（    ）

A．第44行第77列 B．第45行第82列

C．第45行第85列 D．第45行第88列

考点二 由前n项归纳数列的通项公式

6．（2023·全国·高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（  ）

A． B． C． D．

7．（2023·全国·高三专题练习）数列的一个通项公式是（　　）

A． B．

C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：

(1)3，5，9，17，33，…；

(2)，，，，…；

(3)5，55，555，5555，…；

(4)，－1，，，，…；

(5)0，，，，…．

考点三 判断数列的增减性

10．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足,,则（    ）

A． B．

C．数列为递增数列 D．数列为递减数列

11．【多选】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知在数列中，，，下列说法正确的是（    ）

A．存在实数，使数列单调递增

B．若存在正整数n，使，则

C．当时，对任意正整数n，都有

D．若对任意正整数n，都有，则

12．（2023春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

考点四 确定数列的最大（小）项

15．（2023·四川·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项的积为，若，则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

17．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

18．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（    ）

A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

19．（2023·全国·高三专题练习）有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．

考点五 根据数列的单调性求参数

20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为______．

22．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．

23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（    ）

A． B． C．0 D．1

24．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，数列满足，设，且对任意且，有，则实数p的取值范围为____.

考点六 数列周期性的应用

25．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则______．

26．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，判断数列的周期性．

27．（2023·青海海东·统考模拟预测）若数列满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

28．（2023·河北·统考模拟预测）若数列满足，，则________.

29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，是的前n项的和，则等于（    ）

A．2b B．2a C． D．

30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（    ）

A． B．2 C．1011 D．2022

考点七 数列的新定义问题

31．（2023春·贵州·高三校联考期中）设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则的最小值是______

32．（2023·全国·高三专题练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为________．

33．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，，，，，，，，…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

34．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7