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考点31 数列通项的通项公式18种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）
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这是一份考点31 数列通项的通项公式18种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共22页。试卷主要包含了观察法，等差等比定义求通项，由an与Sn的关系求通项，因式分解，累加法求通项，累乘法求通项，构造法求通项，同除以指数等内容，欢迎下载使用。
考点31 数列的通项公式18种常见考法归类
考点一 观察法
考点二 等差等比定义求通项
考点三 由an与Sn的关系求通项
（一）消Sn
（二）消an
（三）内部消化
（四）隐藏的Sn
考点四 因式分解
考点五 累加法求通项
考点六 累乘法求通项
考点七 构造法求通项
（一）型
（二）型
（三）型
（四）型
（五）型
考点八 同除以指数
考点九 取倒数求通项
（一）形如型
（二）形如型
考点十 不动点法求通项
考点十一 对数变换法
考点十二 周期数列
考点十三 等和数列
考点十四 等积数列
考点十五 前n项积型
考点十六 正负相间讨论、奇偶讨论型
考点十七 结合实际背景求通项
考点十八 构造常数列解决递推数列通项公式
1.观察法：
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
2.等差等比定义求通项
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
3.利用与的关系
依据求出.
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
注：an与Sn关系的应用策略
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！
4.累加法与累乘法
（1）累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
注：累加法求通项公式的4步骤
（2） 累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
注：累乘法求通项公式的4步骤
5.构造法
(1)形如型的递推式：
f(n) 是一个常数
当 f(n)=0 时, an 是等比数列, 首项 a1=a, 公比为 p, 则 an=apn−1
当 f(n)=q(q≠0) 时, 由 an+1=pan+q, 设 an+1+ x=pan+x, 则 an+1=pan+(p−1)x, 所以 (p−1)x= q, 得 x=qp−1, 从而 an+1+qp−1=pan+qp−1, 当 a+qp−1≠0 时, 数列 an+qp−1 是等比数列, an= a+qp−1pn−1−qp−1
f(n) 是一次函数型
设 f(n)= An+B(A≠0),an+1=pan+An+B, 设 an+1+x(n+ 1) +y=pan+xn+y, 则 an+1=pan+(p−1)xn+(p−1)y−x,(p−1)x=A,(p−1)y−x=B, 得 x= Ap−1,y=(p−1)B+A(p−1)2 。当 a+x+y≠0 时, 数列 an+xn+y 是等比数列, 则 an=a+Ap−1+ (p−1)B+A(p−1)2pn−1−Ap−1n−(p−1)B+A(p−1)2
f(n) 是二次函数型
设 f(n)= An2+Bn+c(A≠0), 设 an+1+x(n+ 1)2+y(n+1)+z=pan+xn2+yn+z，与已知递推式比较，解出，z,从而转化为是公比为的等比数列.
f(n) 是指数函数型
设 f(n)=pn+1
因 an+1=pan+pn+1, 则 an+1pn+1= anpn+1, 所以 anpn 是等差数列, 解得 an=apn−1+(n−1)pn .
设 f(n)=qn+1(q≠p)
方法一：因 an+1=pan+qn+1, 则 an+1qn+1=pq⋅anqn+ 1 , 设 bn=anqn, 则 bn+1=pq⋅bn+1 , bn+1+qp−q=pq. bn+qp−q, 当 aq+qp−q≠0 时, 可得 bn=aq+ qp−qpqn−1−qp−q, 所以 an=a+q2p−qpn−1−qn+1p−q 。
方法二：因 an+1=pan+qn+1, 设 an+1+xqn+1=pan+ xqn, 则 an+1+xqn+1=pan+pxqn, 即 an+1=pan+ (p−q)xqn, 所以 x=qp−q, 当 a+xq≠0 时, an+ xqn 是等比数列, 则 an=a+q2p−qpn−1−qn+1p−q
(2)形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
6.同除法
对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝,则由原递推公式构造出了an＋1＋·qn+1＝p(an＋·qn )，而数列{an＋·qn}是以a1＋·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）
方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 ＝ ＋然后利用累加法求得。
方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。
7.分式型
取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
8.不动点法求通项
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）形如的递推关系式
①当时，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一个实根，可将视为一个整体，构造等差数列求解，即将递推关系式两边减去，然后用1除化简得，其中.
②如果特征方程有两个实根，可将可视为一个整体，构造等比数列求解。即递推关系式两边分别减去，再将两式相除得，其中，
∴.
③如果特征方程无实根，则是周期数列。
9.对数变换法
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
10.常见周期数列
数列
周期
6
2
3
2
3
2
11.形如型
（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
12.前n项积
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
13.关于正负相间型和奇偶分类型
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
考点一 观察法
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第项________．
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.
考点二 等差等比定义求通项
5．（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
7．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列中，，，，则______，______．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，．
(1)求证：数列是等差数列．
(2)设，求证：数列的前n项和．
考点三 由an与Sn的关系求通项
（一）消Sn
9．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设 求数列的前n项和.
10．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．
11．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）数列前项和，若，令，则前10项和________．
12．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
13．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
16．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
（二）消an
17．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．－5050
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，求
19．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
（三）内部消化
20．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）数列的前项的和为，已知，，当时，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和
21．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（ ）
A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项
22．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2n项和．.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（四）隐藏的Sn
24．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，求数列的通项公式.
25．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
26．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
考点四 因式分解
28．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
29．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
30．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.
31．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
33．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
考点五 累加法求通项
34．（2023·全国·高三对口高考）已知数列的前n项和为，数列满足，．则数列的通项公式________；数列的通项公式________．
35．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
36．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
37．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________.
39．（2023·北京大兴·校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2023·全国·高三对口高考）已知向量序列：满足如下条件：，且．若，则________；中第________项最小．
考点六 累乘法求通项
41．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
43．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
44．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
45．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的前18项和为（ ）
A． B． C． D．
考点七 构造法求通项
（一） 型
46．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列的通项公式为________．
47．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则__________．
48．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
（二） 型
49．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
50．（2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则______．
（三） 型
51．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式为___________.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
（四） 型
53．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求
54．（2023·江苏·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
55．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
（五） 型
56．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且，分别求和的通项公式．
57．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知数列满足，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)求使取得最小值时的值.
考点八 同除以指数
58．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
59．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
60．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
考点九 取倒数求通项
（一） 形如型
61．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；
62．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，若的前项和为，且，则__________
（二） 形如型
63．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．
64．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．
65．【多选】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
考点十 不动点法求通项
66．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
67．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．
68．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
69．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项．
70．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的通项公式为______．
考点十一 对数变换法
71．（2023·山东日照·三模）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
72．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．
73．（2023·全国·高三专题练习）已知为正项数列的前n项的乘积，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：．
74．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
75．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
考点十二 周期数列
76．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则______．
77．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______.
78．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）数列1，3，2，…中，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
79．（2023·河北邯郸·统考三模）已知数列满足：对任意，均有．若，则____．
80．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知数列满足且，为数列的前n项和，则=________．
81．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
考点十三 等和数列
82．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（ ）
A．50 B．51 C．52 D．53
83．（2023·山西太原·太原五中校考一模）数列满足，则___________.
84．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
考点十四 等积数列
85．（2023春·安徽·高三统考开学考试）已知数列满足，,则的前项积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
86．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
考点十五 前n项积型
87．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.
88．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
89．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
考点十六 正负相间讨论、奇偶讨论型
90．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知数列满足.
(1)若数列满足，求及的通顼公式；
(2)数列的前项和.
91．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
92．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
93．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
考点十七 结合实际背景求通项
94．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
95．（2023·全国·高三专题练习）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
96．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
97．（2023·海南海口·校考模拟预测）某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．
(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)求第次表演者是甲组的概率．
98．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）一只蚂蚁在四面体上从一个顶点等可能地爬向其余顶点，若其爬X次后的位置是出发点（可以继续爬），则当时，__________（用n表示）.
考点十八 构造常数列解决递推数列通项公式
99．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列 an 满足 an+1−an= lnn+1n, 且 a1=1 求数列 an 的通项公式.
100．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列an满足nan+1=(n+1)an,且a1=1求数列an的通项公式.
101．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列an满足an+1=2an+1,且a1=1求数列an的通项公式.
102．（2023·山西·校联考模拟预测）记为数列的前n项和，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
103．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
考点31 数列的通项公式18种常见考法归类
考点一 观察法
考点二 等差等比定义求通项
考点三 由an与Sn的关系求通项
（一）消Sn
（二）消an
（三）内部消化
（四）隐藏的Sn
考点四 因式分解
考点五 累加法求通项
考点六 累乘法求通项
考点七 构造法求通项
（一）型
（二）型
（三）型
（四）型
（五）型
考点八 同除以指数
考点九 取倒数求通项
（一）形如型
（二）形如型
考点十 不动点法求通项
考点十一 对数变换法
考点十二 周期数列
考点十三 等和数列
考点十四 等积数列
考点十五 前n项积型
考点十六 正负相间讨论、奇偶讨论型
考点十七 结合实际背景求通项
考点十八 构造常数列解决递推数列通项公式
1.观察法：
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
2.等差等比定义求通项
等差数列判定：
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
3.利用与的关系
依据求出.
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
注：an与Sn关系的应用策略
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！
4.累加法与累乘法
（1）累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
注：累加法求通项公式的4步骤
（2） 累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
注：累乘法求通项公式的4步骤
5.构造法
(1)形如型的递推式：
f(n) 是一个常数
当 f(n)=0 时, an 是等比数列, 首项 a1=a, 公比为 p, 则 an=apn−1
当 f(n)=q(q≠0) 时, 由 an+1=pan+q, 设 an+1+ x=pan+x, 则 an+1=pan+(p−1)x, 所以 (p−1)x= q, 得 x=qp−1, 从而 an+1+qp−1=pan+qp−1, 当 a+qp−1≠0 时, 数列 an+qp−1 是等比数列, an= a+qp−1pn−1−qp−1
f(n) 是一次函数型
设 f(n)= An+B(A≠0),an+1=pan+An+B, 设 an+1+x(n+ 1) +y=pan+xn+y, 则 an+1=pan+(p−1)xn+(p−1)y−x,(p−1)x=A,(p−1)y−x=B, 得 x= Ap−1,y=(p−1)B+A(p−1)2 。当 a+x+y≠0 时, 数列 an+xn+y 是等比数列, 则 an=a+Ap−1+ (p−1)B+A(p−1)2pn−1−Ap−1n−(p−1)B+A(p−1)2
f(n) 是二次函数型
设 f(n)= An2+Bn+c(A≠0), 设 an+1+x(n+ 1)2+y(n+1)+z=pan+xn2+yn+z，与已知递推式比较，解出，z,从而转化为是公比为的等比数列.
f(n) 是指数函数型
设 f(n)=pn+1
因 an+1=pan+pn+1, 则 an+1pn+1= anpn+1, 所以 anpn 是等差数列, 解得 an=apn−1+(n−1)pn .
设 f(n)=qn+1(q≠p)
方法一：因 an+1=pan+qn+1, 则 an+1qn+1=pq⋅anqn+ 1 , 设 bn=anqn, 则 bn+1=pq⋅bn+1 , bn+1+qp−q=pq. bn+qp−q, 当 aq+qp−q≠0 时, 可得 bn=aq+ qp−qpqn−1−qp−q, 所以 an=a+q2p−qpn−1−qn+1p−q 。
方法二：因 an+1=pan+qn+1, 设 an+1+xqn+1=pan+ xqn, 则 an+1+xqn+1=pan+pxqn, 即 an+1=pan+ (p−q)xqn, 所以 x=qp−q, 当 a+xq≠0 时, an+ xqn 是等比数列, 则 an=a+q2p−qpn−1−qn+1p−q
(2)形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
6.同除法
对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝,则由原递推公式构造出了an＋1＋·qn+1＝p(an＋·qn )，而数列{an＋·qn}是以a1＋·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）
方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 ＝ ＋然后利用累加法求得。
方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。
7.分式型
取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
8.不动点法求通项
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）形如的递推关系式
①当时，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一个实根，可将视为一个整体，构造等差数列求解，即将递推关系式两边减去，然后用1除化简得，其中.
②如果特征方程有两个实根，可将可视为一个整体，构造等比数列求解。即递推关系式两边分别减去，再将两式相除得，其中，
∴.
③如果特征方程无实根，则是周期数列。
9.对数变换法
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
10.常见周期数列
数列
周期
6
2
3
2
3
2
11.形如型
（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
12.前n项积
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
13.关于正负相间型和奇偶分类型
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
考点一 观察法
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第项________．
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.
考点二 等差等比定义求通项
5．（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
7．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列中，，，，则______，______．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，．
(1)求证：数列是等差数列．
(2)设，求证：数列的前n项和．
考点三 由an与Sn的关系求通项
（一）消Sn
9．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设 求数列的前n项和.
10．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．
11．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）数列前项和，若，令，则前10项和________．
12．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
13．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）记为数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
16．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知数列的各项均不为0，其前n项和满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
（二）消an
17．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．－5050
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，求
19．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
（三）内部消化
20．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）数列的前项的和为，已知，，当时，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和
21．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（ ）
A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项
22．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2n项和．.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（四）隐藏的Sn
24．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，求数列的通项公式.
25．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
26．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列满足，则数列的通项公式为________.
考点四 因式分解
28．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
29．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
30．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.
31．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
33．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
考点五 累加法求通项
34．（2023·全国·高三对口高考）已知数列的前n项和为，数列满足，．则数列的通项公式________；数列的通项公式________．
35．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
36．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设函数，且，求数列的前n项和．
37．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________.
39．（2023·北京大兴·校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2023·全国·高三对口高考）已知向量序列：满足如下条件：，且．若，则________；中第________项最小．
考点六 累乘法求通项
41．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
43．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
44．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（ ）
A．46 B．49 C．52 D．55
45．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的前18项和为（ ）
A． B． C． D．
考点七 构造法求通项
（一） 型
46．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列的通项公式为________．
47．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则__________．
48．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
（二） 型
49．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
50．（2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则______．
（三） 型
51．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式为___________.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
（四） 型
53．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求
54．（2023·江苏·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
55．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
（五） 型
56．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且，分别求和的通项公式．
57．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知数列满足，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)求使取得最小值时的值.
考点八 同除以指数
58．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
59．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
60．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
考点九 取倒数求通项
（一） 形如型
61．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；
62．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，若的前项和为，且，则__________
（二） 形如型
63．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．
64．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．
65．【多选】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
考点十 不动点法求通项
66．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
67．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．
68．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
69．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项．
70．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的通项公式为______．
考点十一 对数变换法
71．（2023·山东日照·三模）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
72．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．
73．（2023·全国·高三专题练习）已知为正项数列的前n项的乘积，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：．
74．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
75．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
考点十二 周期数列
76．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，且，则______．
77．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______.
78．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）数列1，3，2，…中，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
79．（2023·河北邯郸·统考三模）已知数列满足：对任意，均有．若，则____．
80．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知数列满足且，为数列的前n项和，则=________．
81．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，，满足，若A，B，C三点在同一直线上，则______
考点十三 等和数列
82．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（ ）
A．50 B．51 C．52 D．53
83．（2023·山西太原·太原五中校考一模）数列满足，则___________.
84．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
考点十四 等积数列
85．（2023春·安徽·高三统考开学考试）已知数列满足，,则的前项积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
86．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
考点十五 前n项积型
87．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.
88．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
89．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
考点十六 正负相间讨论、奇偶讨论型
90．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知数列满足.
(1)若数列满足，求及的通顼公式；
(2)数列的前项和.
91．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
92．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
93．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
考点十七 结合实际背景求通项
94．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
95．（2023·全国·高三专题练习）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
96．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
97．（2023·海南海口·校考模拟预测）某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．
(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)求第次表演者是甲组的概率．
98．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）一只蚂蚁在四面体上从一个顶点等可能地爬向其余顶点，若其爬X次后的位置是出发点（可以继续爬），则当时，__________（用n表示）.
考点十八 构造常数列解决递推数列通项公式
99．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列 an 满足 an+1−an= lnn+1n, 且 a1=1 求数列 an 的通项公式.
100．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列an满足nan+1=(n+1)an,且a1=1求数列an的通项公式.
101．（2023春·高三校联考阶段练习）已知数列an满足an+1=2an+1,且a1=1求数列an的通项公式.
102．（2023·山西·校联考模拟预测）记为数列的前n项和，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
103．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
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