考点27 复数9种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点27 复数9种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共16页。试卷主要包含了复数的有关概念，待定系数求复数，复数的模，复数的四则运算，复数的几何意义，复数的综合问题，复数的新定义问题，欧拉公式及其应用等内容，欢迎下载使用。

考点27 复数9种常见考法归类


考点一 复数的有关概念
（一）复数的实部与虚部
（二）共轭复数
（三）复数相等
（四）复数分类
考点二 待定系数求复数
考点三 复数的模
（一）求复数的模
（二）由复数模求参数
（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题
考点四 复数的四则运算
（一）复数的运算
（二）复数范围内方程根的问题
考点五 复数的几何意义
（一）与复数对应点(向量)有关的运算
（二）判断复数对应点所在的象限
（三）根据复数对应坐标的特点求参数
考点六 复数的综合问题
考点七 复数的新定义问题
考点八 欧拉公式及其应用
考点九 复数与其他知识的交汇


1. 复数的概念
概念
定义
复数
把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集
全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数
相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
复数
分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：
复数
共轭
复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数
的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离

2. 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.
②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.

3. 解决复数问题最基本的思想方法
复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.

4. 复数的几何意义

为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.

5. 对复数几何意义的再理解
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
6. 两个复数的差的模的几何意义
|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若，则为圆；
② 若，则为圆环，但不包括边界；
③ 若，则为垂直平分线；
④ 若常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；
⑤ 若常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB 时，为双曲线的一支.

7. 复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③＝＋i(z2≠0).
注：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助. ②除法的关键是“分母实数化”.
(2)复数加、减法的几何意义
加
法
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数

减
法
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数

(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(5)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
①；②；③；④；
⑤；⑥.
(6)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i；＝i，＝－i.
④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

8. 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
9. 复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ<0时，x＝.　　
注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现
10. 复数范围内解方程的一般思路是：
依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达定理）．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
注：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．



考点一 复数的有关概念
（一）复数的实部与虚部
1．（2023·广东·统考模拟预测）若，则复数z的虚部为（   ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
2．（2023·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南驻马店·统考二模）复数的实部与虚部之和为（    ）
A． B． C．1 D．4
（二）共轭复数
4．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）的共轭复数为（    ）．
A． B． C． D．
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是纯虚数，是实数，则（    ）
A．－ B． C．－2 D．2
（三）复数相等
7．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
8．（2023·上海·高三专题练习）已知，，且，是虚数单位，则____________．
9．（2023·全国·校联考三模）已知，则的值为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知，则________．
11．（2023·上海·高三专题练习）已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．
12．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知，复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ）
A．， B．， C．， D．，
（四）复数分类
14．（2023·山东潍坊·三模）已知为虚数单位，则“复数是纯虚数”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2023·四川成都·三模）已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为_______．
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2023·全国·高三专题练习）设复数为实数，则实数m的值是__________．
19．（2023春·全国·高三竞赛）复数，且，则实数_______.
20．【多选】（2023·吉林·统考三模）已知复数，，下列说法正确的是（    ）
A．若纯虚数，则
B．若为实数，则，
C．若，则或
D．若，则m的取值范围是
考点二 待定系数求复数
21．（2023·湖北·模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）
A．2 B． C．4 D．
22．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（    ）
A． B．
C． D．
23．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足，其中为虚数单位，则（    ）
A． B． C． D．
24．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）若复数满足，则其实部__________.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知复数为纯虚数，且 ，则z=（    ）
A． B．
C．或 D．或
考点三 复数的模
（一）求复数的模
26．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设为复数，则下列命题中一定成立的是（    ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
27．（2023·广东·高三专题练习）已知a，，，则（    ）
A．5 B． C．3 D．
28．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
30．（2023·山西·校联考模拟预测）已知复数z满足，则（    ）
A．1 B． C． D．2
31．（2023·江西九江·统考三模）已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
32．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足，则（    ）
A．1 B． C． D．1或
（二）由复数模求参数
33．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，为虚数单位，若复数，，则______．
34．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足（其中，i为虚数单位），若复数z的模为，则实数a=（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足，若，则复数z为（    ）．
A． B．
C．或 D．或
36．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）设复数，，且，则的最大值为（    ）
A．1 B．2 C． D．
（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题
37．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设，，为复数，且，下列命题中正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
38．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ）
A． B． C． D．
39．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
40．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
41．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．1
42．【多选】（2023·河北石家庄·统考三模）已知复数，复数满足，则（    ）
A．
B．
C．复数在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为，则
43．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
44．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）
A． B． C． D．
45．（2023·全国·高三专题练习）复平面内复数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
46．（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足，则的最小值为（    ）．
A．3 B． C．2 D．
考点四 复数的四则运算
（一）复数的运算
47．（2023·天津河北·统考二模）i是虚数单位，则复数______.
48．（2023·山东聊城·统考三模）（ ）
A． B． C． D．
49．（2023·浙江·校联考二模）已知复数满足（为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
50．（2023·重庆·统考模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
51．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(    ).
A． B． C．1011 D．2022
52．（2023·全国·高三专题练习）____________
53．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，若，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
54．【多选】（2023·河北邯郸·统考三模）已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则（    ）
A． B．
C． D．
（二）复数范围内方程根的问题
55．（2023·江苏盐城·统考三模）已知，，虚数是方程的根，则（    ）
A． B． C．2 D．
56．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ）
A．9 B．1 C． D．
57．（2023·全国·高三专题练习）若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ）
A．6 B．4 C．2 D．1
58．（2023·山东济南·统考三模）已知复数是关于的方程的两根，则的值为（    ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
59．（2023·全国·模拟预测）设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则________，________．
60．（2023·重庆·统考三模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（    ）
A． B． C． D．
考点五 复数的几何意义
（一）与复数对应点（向量）有关的运算
61．（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ）
A． B． C． D．
62．（2023·山东聊城·统考一模）复数在复平面内对应的点为，则（    ）
A． B． C． D．
63．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，记，，表示的复数分别为，记z为所表示的复数，则（    ）
A．25 B．8 C．5 D．
64．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ）
A． B．
C． D．
（二）判断复数对应点所在的象限
65．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
66．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
67．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
68．（2023·全国·高三专题练习）设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
（三）根据复数对应坐标的特点求参数
69．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
70．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ）
A． B． C． D．
71．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（    ）
A． B． C． D．
72．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则(   )
A． B． C．6 D．
考点六 复数的综合问题
73．（2023·全国·高三专题练习）若复数，则（    ）
A． B．复数在复平面上对应的点在第二象限
C．复数的实部与虚部之积为 D．
74．【多选】（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）若复数满足，则（    ）
A．的虚部为 B．
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
75．【多选】（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程的复数解为，，则（    ）
A．
B．与互为共轭复数
C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若，则的最小值是3
考点七 复数的新定义问题
76．（2023·河南·校联考模拟预测）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（    ）
A． B． C． D．
77．（2023·全国·高三专题练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ）
A． B． C．0 D．1
78．（2023·宁夏银川·校联考二模）规定运算，若复数满足，则的值为（    ）
A． B． C． D．
79．（2023·全国·高三专题练习）对于任意的两个数对､，定义运算，若，则复数___________.
考点八 欧拉公式及其应用
80．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（    ）
A．复数的虚部为 B．若，则复数对应点位于第二象限
C．复数的模长等于1 D．复数的共轭复数为
81．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）
A．为虚数 B．函数不是周期函数
C．若，则 D．的共轭复数是
82．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（    ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．的模长等于 D．的共轭复数为
考点九 复数与其他知识的交汇
83．（2023·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则是直线与直线平行的（    ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
84．（2023·全国·高三专题练习）定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（    ）
A．180 B．120 C．90 D．45