重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（原卷版）

重难点突破01 奔驰定理与四心问题

目录

技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故．

技巧三．三角形四心与推论：

（1）是的重心：．

（2）是的内心：．

（3）是的外心：

．

（4）是的垂心：

．

技巧四．常见结论

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．

为的内心．

（2）外心：为的外心．

（3）垂心：为的垂心．

（4）重心：为的重心．

题型一：奔驰定理

例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（    ）

A． B． C． D．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）

A．若，则O为△ABC的重心

B．若，则

C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则

D．若，，，则

变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，且，则

C．若，则为的垂心

D．若为的内心，且，则

变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则

B．，，，则

C．若为的内心，，则

D．若为的重心，则

题型二：重心定理

例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．

①   ②

③     ④

例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．

①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；

③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；

⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．

例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．

变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．

（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．

（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．

变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，，，，若是的重心，则______.

变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．

变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.

变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．

题型三：内心定理

例7．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.

例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设为的内心，，，，则为________．

变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点是的内心，若，则______.

变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.

变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ）

A． B． C．2 D．

变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ）

A． B．

C． D．

变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ）

A． B． C． D．

变式16．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内，给出下列关系式：

（1）；      

（2）；

（3）；

（4）．

则点依次为的（     ）

A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；

C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心

变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：

①；

②；

③；

④；

则点分别为的（   ）

A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心

C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心

题型四：外心定理

例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．

①；②；③．

例11．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．

例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知是的外心，若，且，则实数的最大值为______．

变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为的外心，若，，则___________.

变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．

变式20．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．

变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.

变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

题型五：垂心定理

例13．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则是的（    ）

A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）

C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）

例14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.

例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．

变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则_____．

变式24．（2023·全国·高三专题练习）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.

变式25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.