重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

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重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）【目录】5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题二、一元二次型不等式能成立问题三、基本不等式中“1”的妙用四、利用基本不等式求参数范围五、作差法比较大小5种数学思想一、函数与方程思想二、数形结合思想三、分类与整合思想四、转化与划归思想五、特殊与一般思想考题考点考向2022新高考2，第12题基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11题不等式的概念和性质比较大小 本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．二、多选题2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ）A．“”是的充分不必要条件 B．“”是的必要不充分条件C．“”是的充分不必要条件 D．“”是的必要不充分条件三、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为________.4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.四、双空题6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则___；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为___．五、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．    二、一元二次型不等式能成立问题一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、双空题5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．三、填空题6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是__________．7．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．   四、解答题8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.     三、基本不等式中“1”的妙用一、单选题1．已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．2．已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．9 D．123．已知正实数，，满足，则的最小值为（    ）A．5 B． C． D．4．已知，，，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．12二、多选题5．已知，直线与曲线相切，则（    ）A．ab的最大值为 B．的最小值为25C．的最小值为 D．的最大值为2 6．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（    ）A．为常数 B．的值可以为：C．的最小值为3 D．的最小值为三、填空题7．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________．8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为________．9．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．四、解答题10．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设的最小值为m，若正数a，b满足，求的最小值.             四、利用基本不等式求参数范围一、单选题1．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．三、填空题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．4．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______四、双空题6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在中，，若空间点满足，则的最小值为___________；直线与平面所成角的正切的最大值是___________.五、解答题7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求外接圆的周长；(2)若，，求面积的最大值.    五、作差法比较大小一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）A． B．C． D．2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．3．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·广东惠州·统考一模）若，则（    ）A． B．C． D．5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，且，则下列不等式成立的有（    ）A． B． C． D．      三、解答题7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数在区间上是增函数．(1)求实数的取值范围；(2)设，试比较与的大小．   8．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式有三个正根，且求证：   5种数学思想一、函数与方程思想一、解答题1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.（利润＝收入－成本）(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．   2．（2022秋·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设（常数），且已知是方程的根.(1)求的值；(2)设常数，解关于的不等式：.     3．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知.(1)若x､，求的最大值；(2)若x､，求的取值范围.   4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.(1)求y关于x的函数解析式；(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？     二、数形结合思想一、单选题1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知集合，则满足的非空集合B的个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．82．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（    ）A．   B． C． D．二、填空题3．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为______.三、解答题6．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：(1)；                   (2)    三、分类与整合思想一、单选题1．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）A． B．或C． D．{或}二、解答题2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．    3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式   4．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合，函数．(1)求关于的不等式的解集；(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．       四、转化与划归思想一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（  ）A． B．C． D．2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（    ）A．12 B． C． D．83．（2023·全国·高三专题练习）设，，则“或”是“”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题4．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________.5．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______．三、解答题6．（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．        7．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式，并计算      8．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．       五、特殊与一般思想一、单选题1．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（    ）A．256 B．255 C．127 D．1262．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）观察下列等式，，，，，根据上述规律，（    ）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，，猜想第n（n∈N+）个等式应为（    ）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n－1）+n=10n－9C．9n+（n－1）=10n－9 D．9（n－1）+（n－1）=10n－10二、填空题4．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，猜想对x取一般值时的取值范围是____________．5．（2022·全国·高三专题练习）观察等式：；；；；…由以上几个等式的规律可猜想___________.三、解答题6．（2022·全国·高三专题练习）已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.（1）写出这个数列的前5项；（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.