重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版）

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重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）
【目录】
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
考法2：数形结合法判段函数零点个数
考法3：转化法判断函数零点个数
考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
考向二：利用零点求参数的值（范围）
考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数
二、命题规律与备考策略

一、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法
已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、题型方法
考向一：函数零点个数的判断
考法1：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的化简可得，令2x-=kπ求得x=+，k∈Z，列举k的值即可求解.
【详解】
，
当2x-=kπ，k∈Z时，x=+，k∈Z，
所以当k=0时，x=，当k=1时，x=，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.
故选：B.
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.

二、多选题
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（    ）
A．若与图象至多有2个公共点
B．若与图象至少有2个公共点
C．若与图象至多有2个公共点
D．若与图象至少有2个公共点
【答案】ACD
【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B, 假设，可以判断该选项错误；对于选项D，说明有两个解即可判断该选项真假.
【详解】对于选项A. ，所以与图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项B, 假设，则令，
所以或，所以.所以此时与图象只有1个公共点，所以该选项错误；
对于选项C，，令，所以，此时与图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项D, ,令，假设 或，所以和是的两个解，所以与图象至少有2个公共点，所以该选项正确.
故选：ACD

三、填空题
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．
①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件①②可令函数为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，再验证单调性作答.
【详解】因为是上偶函数，且在上恰有三个零点，于是的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0，
不妨令，显然是上偶函数，且有3个零点分别为，
求导得，当时，恒成立，因此函数在上单调递增，
所以函数符合题意.
故答案为：
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？
【答案】401
【分析】依题意可求得，再求得在区间上，方程至少两个根，结合周期函数性质求解即可．
【详解】由，则，
又，则，
所以，
则，
又，
所以在区间上，方程至少两个根，
又是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根，
所以方程在区间上至少有1+个根．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.
【分析】（1）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）由可得出，由结合判别式可判断出方程的根的个数，由此可证得结论成立.
（1）
解：函数的定义域为，.
当时，则，由可得，由可得，
此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由可得或.
①当时，，由可得或，由可得，
此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
②当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
（2）
解：由可得，因为，则，
即关于的方程有两个不等的实根，
所以，当时，在上有且仅有两个零点.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x






0





0
1
0
-1
0

0

0

0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像

(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．
(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)；
(3)，在共有个不同的零点
【分析】（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式和图象.
（2）由（1）可得函数的解析式，伸缩和平移变换求出的解析式.
（3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数.
【详解】（1）根据表中的数据可得 ，解得，
故，所以，
又，故.
所以完善表如下：




   


0

π

2π

0
1
0
-1
0

0
   
0
   
0
.
函数图像如图：
（2）由（1）知：，将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
故.
（3），的周期为，
当时，令，考虑方程的根情况，
因为，故在必有两个不同的实数根，
因为在有奇数个零点，故或.
若，则方程、在共有4个不同的实数根，
在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根，
故在有个根或，
与有奇数个零点矛盾，舍去.
同理也不成立，所以或，
若，则，此时的根为，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，
所以在有个根，
与有奇数个零点矛盾，舍去；
若，则，方程的根，
方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，
所以故在有个根，符合题意.
综上，，在共有个不同的零点.
考法2：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（    ）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2029
【答案】C
【分析】因为 ,得出,进而依此类推，可得，易知单调性，数形结合函数的图像与这一系列直线 确定交点个数即可.
【详解】因为 ,所以当时, ,
得或,
得或,
由得或，
由得，进而可得,
故由可得，或或.

依此类推，可得，其中 k =0,1.2....,2023.
易知,,可得在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递减，画出函数的图像，如图所示．

结合图像易知，函数的图像与这一系列直线 ,,共有2027个交点.
故选 :C
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）．
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)