重难点06三角恒等变换（3种考向）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

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重难点06三角恒等变换（3种考向）【目录】考向1：给角求值问题考向2：给值求值问题考向3：给值求角问题本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。 1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．考向1：给角求值问题一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（    ）A． B． C． D．2．（2023·江苏南京·模拟预测）设，，，则（    ）A． B． C． D．3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）的值为（    ）A． B． C． D．二、解答题5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数.（Ӏ）求函数的单调递增区间；（ӀӀ）若，求的值.      6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．    考向2：给值求值问题一、单选题1．（2023·湖北·统考二模）已知，则（    ）A． B．－1 C． D．2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，则（    ）A． B． C． D．3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（    ）A． B．2 C． D．4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（    ）A． B．C． D．5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.下列说法正确的是（    ）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立6．（2023·天津和平·统考二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（    ）①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为；④曲线在处的切线斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、多选题7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．“，”的否定是“，”D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（    ）A．存在，，使B．在中，若，则是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要条件D．在中，若，则的值为或三、填空题9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．四、双空题10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．五、解答题11．（2023·天津·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.         12．（2023·云南丽江·统考一模）已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.   13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．(1)已知，求的值；(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．   14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若，，求的值．         15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．(1)求的解析式；(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．         考向3：给值求角问题一、单选题1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（    ）A． B．C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（    ）A． B． C． D．二、填空题3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.三、解答题5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，， ，求边长的值.     6．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求的取值范围．          7．（2023·天津·校联考一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)设，，求和的值．     8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．(1)若，求；(2)若，设，求．          9．（2023·广东茂名·统考二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.