素养拓展1 柯西不等式（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

这是一份素养拓展1 柯西不等式（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版，共11页。试卷主要包含了知识点梳理，题型精讲精练，填空题等内容，欢迎下载使用。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01 柯西不等式（精讲+精练）   1.二维形式的柯西不等式2.二维形式的柯西不等式的变式3.二维形式的柯西不等式的向量形式注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。4.扩展：，当且仅当时，等号成立.     【题型训练1-刷真题】一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.二、解答题2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.[方法二]：基本不等式由，，， ，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．【答案】【分析】利用柯西不等式进行解答即可.【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为．2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知，且满足，求的最小值．【答案】6【分析】利用柯西不等式求出最小值.【详解】由柯西不等式，得．得．所以．当且仅当，即时，上式等号成立．所以的最小值为6．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；（2）利用柯西不等式．【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即；（2）因为，当且仅当等号成立，所以，即．4．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；（2）构造基本不等式即可证明.【详解】（1）证明：由柯西不等式可得，当且仅当时取等号．即，则原式成立；（2）证明：．当且仅当时取等号.5．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正数，且满足.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，结合柯西不等式证明即可；（2）根据柯西不等式证明，再根据证明即可.（1）证明：由柯西不等式有：，当且仅当时取等号，可得；（2）证明：由柯西不等式有，当且仅当时取“号，可得，又由，可得，可得，故有，当且仅当时取“号.6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设为正数，且.(1)证明；(2)证明.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式可得，由此证明结论；（2）由重要不等式结合不等式性质可得，，结合不等式性质和柯西不等式证明结论.【详解】（1）因为为正数，，由柯西不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立；（2）由重要不等式得，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，同理可得，当且仅当时等号成立，两式相加得所以，当且仅当时等号成立；即，当且仅当时等号成立.7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：(1)；(2)若，则.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可证明.【详解】（1）由，得，由柯西不等式有，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立；（2）由可得，当且仅当时取等，由（1）可得，当且仅当时等号成立，从而，当且仅当时等号成立.二、单选题8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案．【详解】由柯西不等式可知：所以，当且仅当即x＝时取等号，故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，故选A．【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.【详解】由已知整理得，由柯西不等式得，当时取等号，所以，即，解得，所以的最小值为.故选：C．三、填空题10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________．【答案】【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，即，由柯西不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，即，解得：.故答案为：11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．【答案】【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为，所以，所以因为，所以，，当且仅当时取等，令，，，所以.则的范围是：.故答案为：12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，则，又，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：.