素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

这是一份素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版，共28页。试卷主要包含了知识点梳理，题型精讲精练，填空题等内容，欢迎下载使用。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展02 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）
一、知识点梳理



1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若 有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2.分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
3.其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
4.其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5.其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．
思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】

二、题型精讲精练




1.基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.
【详解】恒成立，即
，
又，
上述两个不等式中，等号均在时取到，
，
，解得且，又，
实数的取值范围是.
故选：B.
6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】依题意，，
因为正数满足，
所以

，
当且仅当，即时两个等号同时成立，
所以的取值范围为.
故选：B
7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.
【详解】因为，所以，
所以由可得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
故选：B．
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．
又，
而

，
当且仅当，即，时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的值可以为（   ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】将题目转化为恒成立问题，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，进而可得实数的取值范围，则答案可求．
【详解】解：， 即恒成立，
，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
．
故选：ABC．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．
12．（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.
【详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习），，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可



，，故，因此
故答案为：4．
14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式等价为a恒成立，
设m，则m＞0，
平方得m2＝（）2111+1＝2，
当且仅当x＝y时取等号，
∴m2≤2，则0−3，
所以.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（    ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，，
由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，
即，根据题意整理得有解，
所以，
解得，
故选：C
5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
10．（2023·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
【答案】．
【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.
【详解】因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
显然成立，所以；
因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，

当时，由于对称轴，所以必存在正整数，使得
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需

综上所述，故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
12．（2023·全国·高三专题练习）若，使成立，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由可得，，
因为，所以，根据题意，即可，
设，易知在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
故答案为：