2023年高考数学试卷及答案（新高考2卷）

这是一份2023年高考数学试卷及答案（新高考2卷），共16页。
绝密★启用前 试卷类型：A
2023 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 在复平面内， (1 + 3i)(3 - i) 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合 A = {0, -a}， B = {1, a - 2, 2a - 2}，若 A Í B ，则 a =

A．2 B．1 C． 2 3
D．1

3. 某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该该校初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生，则不同的抽样结果有

A. C45 C15
种 B． C20 C40
种 C． C30 C30
种 D． C40 C20 种

200 200
200 200
200 200
200 200

4. 若 f (x) = (x + a) ln 2x -1 为偶函数，则 a =
2x + 1


A. -1
x2 2
B．0 C． 1
2
D．1

5. 已知椭圆C : + y
3
= 1 的左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ，直线 y = x + m 与 C 交于 A ， B

两点，若△ F1 AB 的面积是△ F2 AB 的两倍，则 m =

A. 2
3
B. 3
C. - 2 3
D. - 2
3

6. 已知函数 f (x) = aex - ln x 在区间(1, 2) 上单调递增，则 a 的最小值为

A. e2
B．e C． e-1
D． e-2

7. 已知a 为锐角， cosa = 1 +
4
5 ，则sin a =
2

-1 + 5
A． 3 - 5 B．
8 8
C． 3 - 5
4
D． -1 + 5
4

8. 记 Sn 为等比数列{an } 的前 n 项和，若 S4 = -5 ， S6 = 21S2 ，则 S8 =
A．120 B．85 C． -85
D． -120



二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分。

9. 已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O， AB 为底面直径，ÐAPB = 120°， PA = 2 ，点 C 在底面圆周上，且二面角 P - AC - O 为 45°，则
A. 该圆锥的体积为 π

B. 该圆锥的侧面积为4 3π

2
C. AC = 2

3
D. △PAC 的面积为

10. 设 O 为坐标原点，直线 y = - 3(x -1) 过抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，且与 C 交于

M ， N 两点， l 为 C 的准线，则

A. p = 2

B. | MN |= 8
3

C. 以 MN 为直径的圆与l 相切

D. △OMN 为等腰三角形


11. 若函数 f (x) = a ln x + b +
x
c (a ¹ 0) 既有极大值也有极小值，则
x2



A. bc > 0
B. ab > 0
C. b2 + 8ac > 0
D. ac < 0

12. 在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为a (0 < a < 1) ， 收到 0 的概率为1 - a ；发送 1 时，收到 0 的概率为 b (0 < b < 1) ，收到 1 的概率为1 - b . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1， 0，1，则译码为 1）.
A. 采用单次传输方案， 若依次发送 1， 0， 1， 则依次收到 l， 0， 1 的概率为

(1 - a )(1 - b )2

B. 采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 b (1 - b )2

C. 采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 b (1 - b )2 + (1 - b )3

D. 当0 < a < 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输
方案译码为 0 的概率


三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．

13．已知向量a ， b 满足| a - b |= 3 ， | a + b |=| 2a - b | ，则| b |= ．

14. 底面边长为 4 的正四棱锥平行于其底面的平面所截，截去一个地面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
15. 已知直线 x - my + 1 = 0 与 C : (x -1)2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，写出满足“△ABC 面积为 8 ”
5

的 m 的一个值 ．

16. 已知函数 f (x) = sin(w x + j) ，如图，A，B 是直线 y = 1
2


与曲线 y = f (x) 的两个交点，若| AB |= π ，则
6

．
f (π) =

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
记△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ABC 面积为 3 ，D 为 BC 的中点，且 AD = 1 ．
（1）若ÐADC = π ，求tan B ；
3
（2）若b2 + c2 = 8 ，求b ， c .



18．（12 分）

已知{a } 为等差数列， b

= ìïan - 6,

n 为奇数,
记 S ， T 分别为数列{a }，{b } 的前 n 项

n n í2a ,
n 为偶数. n n n n

ïî n
和， S4 = 32 ， T3 = 16 ．
（1） 求{an } 的通项公式；
（2） 证明：当 n > 5 时， Tn > Sn .


19．（12 分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：


利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c) ； 误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c) ．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1） 当漏诊率 p(c) = 0.5% 时，求临界值 c 和误诊率 q(c) ；

（2） 设函数 f (c) = p(c) + q(c) ． 当的最小值．
c Î[95,105] ，求
f (c) 的解析式，并求 f (c) 在区间[95,105]

20．（12 分）
如图， 三棱锥 A - BCD 中中 ， DA = DB = DC 中， BD ^ CD ， ÐADB = ÐADC = 60°， E 为 BC 的中点．
（1） 证明： BC ^ DA ；

（2） 点 F 满足 EF = DA ，求二面角 D - AB - F 的正弦值．






21．（12 分）

已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(-2



5
5, 0) ，离心率为 ．


（1） 求 C 的方程；

（2） 记 C 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，过点(-4, 0) 的直线与 C 的左支交于 M ， N 两点， M 在第二象限，直线 MA1 与直线 NA2 交于 P ，证明：点 P 在定直线上．





22．（12 分）

（1） 证明：当0 < x < 1时， x - x2 < sin x < x ；
（2） 已知函数 f (x) = cos ax - ln(1 - x2 ) ，若 x = 0 是 f (x) 的极大值点，求 a 的取值范围．


2023新高考2卷答案解析






1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
B
C
C
D
C
AC
AC
BCD
ABD


13
14
15
16
3

28
2，− 2，1 ，− 1 中选
2 2
一个即可；
− 3
2


1. 在复平面内î1 + 3i

î3 − i
(逐题详解)
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【参考解析】z = î1 + 3i
î3 − i
= 3 − i + 9i − 3i2 = 6 + 8i，故在第一象限，故选 A；

2. 设集合 A = ä0,− a
，B = ä1,a − 2,2a − 2
，若 A ⊆ B，则 a =

3
A． 2 B． 1 C． 2
D． − 1

【参考解析 1】直接验证选项，观察 BD，因此先验证 a = 1，

此时 A = ä0,− 1
，B = ä1,− 1,0
，满足，故直接选 B；

【参考解析 2】依题有 a − 2 = 0 或 2a − 2 = 0；

当 a − 2 = 0 时，解得 a = 2，此时 A = ä0,− 2
当 2a − 2 = 0 时，解得 a = 1，后面同解析 1；
，B = ä1,0,2
，不满足；


3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初 中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生，则不同的抽样结果共有( ) 种

A. C45 C15
B. C20 C40
C. C30 C30
D. C40 C20

400 200
400 200
400 200
400 200

【参考解析】由分层抽样已知初中部抽 40 人，高中部抽 20 人，所以为 C40 C20 ，故选 D；



4. 若 f îx

= îx + a ln 2x − 1 为偶函数，则 a =
400
200

2
A． − 1 B． 0 C． 1
D． 1

2x + 1
2x + 1
【参考解析】由九大奇函数易知 y = ln 2x − 1 为奇函数，所以 y = x + a 也要为奇函数，故 a =
0，故选 B；
5. 已知椭圆 C ：x2 + y2 = 1 的左右焦点分别为 F ，F ，直线 y = x + m 与 C 交于 A，B 两点，
3 1 2
若ΔF1AB 的面积是ΔF2AB 的 2 倍，则 m =

ô 2 + m
2
3
A. 2
B. 2
3
ô− 2 + m
C． − 2
D． − 2
3
3
2

【参考解析】依题有
2 = 2 ×
，解得 m =−
3 或 m =− 3 2(舍)，故选 C ；





6. 已知函数 f îx
= aex − lnx 在区间î1,2
上单调递增，则 a 的最小值为

x
a
A. e2 B． e C． e−1 D． e−2

【参考解析】f îx
= aex − 1 ≥ 0 在î1,2
上恒成立，即 0 < 1 ≤ xex 在î1,2
上恒成立，

令 gîx
= xex，则 g îx
= îx + 1 ex 在î1,2
上单增，所以 1 ≤ gî1
= e，所以 a ≥ e−1，故选 C ；


5
5
5
a
4
2
7. 已知 α 为锐角，cosα = 1 + ，则 sin α =

5
8
A. 3 −
B． − 1 +
C． 3 − D．

5
8
4
− 1 +
4
5
【参考解析 1】由二倍角公式得 cosα = 1 +

= 1 − 2sin2 α ⇒ sin2 α = 3 −


，用代选项验

5
4 2 2 8
证法知 D 对；

5
【参考解析 2】由二倍角公式得 cosα = 1 +
= 1 − 2sin2 α ⇒ sin2 α = 3 −
= 6 − 2 5 =

5
4 2 2 8 16

Ë 5 − 1
2，所以 sin α =± − 1 +
，而 sin α =− − 1 +
无选项对应，故本题肯定不满

5
5
4 2 4 2 4
足，故选 D；
验证的事就留到考后分析；

8. 记 Sn 为等比数列äan 的前 n 项和，若 S4 =− 5，S6 = 21S2，则 S8 =
A． 120 B． 85 C． − 85 D． − 120

àã a1î1 − q4
=− 5
q2 = 4

ã
【参考解析 1】依题有
1 − q
⇒ à a 1 ，
1


á a1î1 − q6
ã
= 21 ×
a1î1 − q2
âá 1 − q = 3


a1î1 − q8
â 1 − q
1 4


1 − q

所以 S8 =
1 − q = 3 × î1 − 4
=− 85，故选 C ；

4
【参考解析 2】易知 S2，S4 − S2，S6 − S4，S8 − S6 也为等比数列，

所以îS4 − S2 2 = S2 ⋅ îS6 − S4
，解得 S2 =− 1 或 S2 = 5 ，

当 S2 =− 1 时，îS6 − S4 2 = îS4 − S2
⋅ îS8 − S6
⇒ S8 =− 85；

4
当 S2 = 5 时，与 S4 =− 5 联立会推出 q2 =− 5，故舍去；

多选：
9. 已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，AB 为底面直径，∠APB = 120°，PA = 2，点 C 在底面圆周上，且二面角 P − AC − O 为 45°，则
A. 该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为 4 3π

2
C． AC = 2
【参考解析】
D． ΔPAC 的面积为






如上图所示，由几何关系易知 PO = 1 = h，AO = BO = 3 = r，
取 AC 中点为 H ，则二面角 P − AC − O 即为∠PHO = 45°，所以 OH = PO = 1，所以 AH = CH = AO2 − OH 2 = 2 ，所以 AC = 2 2 ，
3
对于 A：V = 1 πr2h = π，故 A 对；对于 B：S侧= πrl = 2 3π，故 B 错；对于 C ：由前面分析知对；
2
对于 D：SΔPAC = 1 × AC × PH = 2，故 D 错；
综上，选 AC．



10. 设 O 为坐标原点，直线 y =− 3 îx − 1
M ，N 两点，l 为 C 的准线，则
过抛物线 C:y2 = 2pxî p > 0
的焦点且与 C 交于

=
3
A. p = 2 B． ôMN 8
C．以 MN 为直径的圆与 l 相切 D． ΔOMN 为等腰三角形

【参考解析】易知焦点为 î1,0
，所以 p = 1 ⇒ p = 2，故 A 对；

2
由抛物线常见结论知 ôMN
= 42π
sin2 3
= 16 ，故 B 错；(下面增加联立的常规过程)；

3
联立 ày =− 3 îx − 1
⇒ 3x2 − 10x + 3 = 0，所以 M 1 , 2 3
，N î3,− 2 ，

3


áây2 = 4x
Ë 3 3

所以ôMN
= 16 ，故 B 错；

3
3
3
同样由抛物线常见结论知 C 对；

由前面知 ôOM
综上，选 AC． 考后分析 C ：
= 13 ，ôON
= 21 ，ôMN
= 16 ，故 D 错；

圆心为 M Ë 5 , − 2 3
ôMN
，r =
= 8 = 5 + 1，故 C 对；

3
3 3 2 3 3

11. 若函数 f îx
= alnx + b + c îa ≠ 0

既有极大值也有极小值，则

x x2
A. bc > 0 B． ab > 0 C． b2 + 8ac > 0 D． ac < 0

【参考解析】因为 f îx
= alnx + b + c îa ≠ 0
，所以定义域 x > 0，

x x2

易知 f x
= ax2 − bx − 2c ，令 ax2 − bx − 2c = 0，则题目等价于有两个不相等的正解 x ，x ，



î

Δ > 0
x3
àãb2 + 8ac > 0
ã b > 0
1 2
ã
àb2 + 8ac > 0
ãab > 0

故 àáâx1 + x2 > 0 ⇒ á a
⇒ áac < 0 ，

x1x2 > 0
ã − 2c > 0 ã

â a
故选 BCD
âbc < 0



12. 在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立。发送 0 时，收到 1 的概率为

αî0 < α < 1
，收到 0 的概率为 1 − α；发送 1 时，收到 0 的概率为 βî0 < β < 1
，收到 1 的概率

为 1 − β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送 1 次：三
次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码 (例如，若依次收到 1，0， 1，则译码为 1)．

A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为î1 − α B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 βî1 − β 2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 βî1 − β 2 + î1 − β 3
î1 − β 2

D．当 0 < α < 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案
译码为 0 的概率
【参考解析】关键信息：
发 0 收 1 概率为 α；发 0 收 0 概率为 1 − α；
发 1 收 0 概率为 β；发 1 收 1 概率为 1 − β；
对于 A：则为发 1 收 1 概率为 1 − β，发 0 收 0 概率为 1 − α，发 1 收 1 概率为 1 − β，
故 PA = î1 − α î1 − β 2，A 对；
对于 B：则为发 1 收 1 概率为 1 − β，发 1 收 0 概率为 β，发 1 收 1 概率为 1 − β，故 PB = βî1 − β 2，B 对；
对于 C ：分为发 1 收 2 个 1 和 1 个 0 和发 1 收 3 个 1，
所以 PC = C2 ⋅ βî1 − β 2 + C3 ⋅ î1 − β 3 = 3βî1 − β 2 + î1 − β 3，故 C 错；
3 3
对于 D：
三次译码为 0，分为发 0 收 2 个 0 和 1 个 1 和发 0 收 3 个 0，
此时 P1 = C2 ⋅ αî1 − α 2 + C3 ⋅ î1 − α 3 = 3αî1 − α 2 + î1 − α 3，
3 3
单次译码为 0：P2 = î1 − α ，

P1 − P2 = 3αî1 − α 2 + î1 − α 3 − î1 − α
综上，选 ABD；
= αî1 − α
î1 − 2α
> 0，故 D 对；



13. 已知向量 a)
) 满足ô) )
，ô) )
3

) )
)
ô ，则 ô ．

，b
【参考解析】
a − b = a + b
= 2a − b b =

因为 ) ) ) ) )2 ) ) )2 )2 ) ) )2 )2 ) )
ôa + b = ô2a − b ，所以 a + 2a ⋅ b + b = 4a − 4a ⋅ b + b ⇒ a − 2a ⋅ b = 0，

又因为 ) )
)2 ) ) )2 )2 )



ôa − b
= 3 ⇒ a − 2a ⋅ b + b = 3 ⇒ b = 3 ⇒ ôb
= 3．

14. 底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
4 × 16
【参考解析】由相似易知剩下的棱台的高为 3，

所以 V
= 1 îS
+ S下+
h = 1 î4 + 16 +
× 3 = 28；

S上S下
棱台 3 上 3
【参考解析 2】由相似易知剩下的棱台的高为 3，
所以 V = 1 × 42 × 6 − 1 × 22 × 3 = 28；
棱台 3 3
15. 已知直线 x − my + 1 = 0 与圆 C ：îx − 1 2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，写出满足“ΔABC 的
5
面积为 8 ”的 m 的一个值 ．
【参考解析】S = 1 r2sin∠ACB = 8 ⇒ sin∠ACB = 4 ，所以 cos∠ACB =± 3 ，
2 5 5 5
由余弦定理得 AB = r2 + r2 − 2r2cos∠ACB ，
8 5
5
4 5
5
所以 AB = 或 AB = ，
2 5
5
4 5
5
套弦长公式得 d = 或 d = ，
套心线距得 2 = 2 5 ⇒ m =±2 或 2 = 4 5 ⇒ m =± 1 ，
1 + m2
1 + m2
5 5 2
故填 2，− 2，1 ，− 1 中的一个即可．


2 2

2
16. 已知函数 f îx = sinîωx + ϕ ，如图 A，B 是直线 y = 1 与曲线 y = f îx


的两个交点，若

6
ôAB = π ，则 f îπ
= ．




【参考解析】由按图索骥法易知 ωxA + ϕ = π + 2kπ，①；ωxB + ϕ = 5π + 2kπ，②；
6 6
两式相减得 ωîxB − xA = 4π ⇒ ω × π = 4π ⇒ ω = 4，
6 6 6
所以 f îx = sinî4x + ϕ ，

将î 2π ,0
代入得 4 × 2π + ϕ = 2kπ ⇒ ϕ = 2kπ − 8π ，

3
所以 f îx
3 3
3
3
= sinî4x + 2kπ − 8π = sinî4x − 2π ．

所以 f îπ
= sinî4π − 2π
= sinî− 2π
=− 3 ．


3
3
2
17. 记ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ΔABC 面积为 3 ，D 为 BC 中点，且 AD = 1．
3
(1) 若∠ADC = π ，求 tanB；
(2) 若 b2 + c2 = 8，求 b，c．
【参考解析】
(1)


如图，过 A 点作 AH ⊥ BC 交 BC 于点 H ，
则 AH = ADsin π = 3 ，DH = ADcos π = 1 ，
3 2 3 2

3
由题易知 SΔABC = 1 × BC × AH = 3 ⇒ BC = 2
= 4，

所以tanB = AH
2 AH
= AH = 3 ；

BH BD + DH 5
(思路 2：后面也可以用余弦定理算 AB，再用余弦定理算，只是没解析 1 简洁．)
™— ™— ™—
(2) 由中点与向量易知 2AD = AB + AC ，

™—2
所以
™—2
™—2
™— ™—
2 2


4AD = AB + AC + 2AB ⋅ AC ，即 4 = b + c + 2bccosA，
3
由余弦定理得 4 = b2 + c2 + b2 + c2 − a2 ⇒ a = 2 3 ，
由面积公式得 SΔABC = 1 bcsinA = 3 ⇒ sinA = 2 ，
2 bc
而cosA = b2 + c2 − a2 = − 2 ，

2
2bc bc

3
bc
因为sin2A + cos2A = 1 ⇒ Ë 2
2 − 2
+ Ë
bc
= 1 ⇒ bc = 4，

与 b2 + c2 = 8 联立解得 b = c = 2．



18. 已知äa

为等差数列，b
= àáâan − 6,n 为奇数，记 S ，T 为äa
，äb
的前 n 项和，S =

n

32，T3 = 16．
n 2an,n 为偶数
n n n n 4

(1) 求äan
的通项公式；

(2) 证明：当 n > 5 时，Tn > Sn．
【参考解析】
(1) 设äan 的首项为 a1，公差为 d，

2
因为 S4 = 32，所以 4a1 + 4 × 3 d = 32 ⇒ 2a1 + 3d = 16，①

又因为 T3 = 16，
所以 b1 + b2 + b3 = 16 ⇒ îa1 − 6

+ 2a2 + îa3 − 6

= 16 ⇒ 4a2 = 28 ⇒ a2 = 7 = a1 + d，②

d = 2
联立①②解得 àáâa1 = 5 ，所以 an = a1 + în − 1 d = 2n + 3，n ∈ N ∗．

(2) 由(1) 知 S = îa1 + an n = n2 + 4n(或用 S
= na + nîn − 1
d = n2 + 4n)

n

当 n 为奇数时，
2
Tn = îb1 + b3 +⋯ bn
2

+ îb2 + b4 +⋯ bn−1
n 1 2

= îa1 + a3 +⋯ an
− 6 × n + 1 + 2îa2 + a4 +⋯ an−1

= 2Sn − îa1 + a3 +⋯ an − 3în + 1 ，

îa1 + an
⋅ î n + 1

= 2Sn −
2 2 − 3în + 1

所以 T − S
= n2 − 3n − 10 = în + 2 în − 5


，因为 n > 5，所以 T − S > 0

n n 2 2 n n

(或类比二次函数性质知 T − S
= n2 − 3n − 10 > 52 − 3 × 5 − 10 = 0)



n n 2 2
故 n 为奇数时成立； 当 n 为偶数时，

T − S = T − S
+ b − a
= în − 1 2 − 3în − 1
− 10 + 2a
− a = nîn − 1 > 0

n n n−1
n−1 n n 2
n n 2 ，

综上，当 n > 5 时，Tn > Sn．

19． (12 分)
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过 大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：


利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或

等于 c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 pîc
；误诊

率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 qîc ．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1) 当漏诊率 pîc = 0.5% 时，求临界值 c 和误诊率 qîc ；

(2) 设函数 f îc
= pîc
+ qîc
，当 c ∈ ö95,105
时，求 f îc
的解析式，并求 f îc 在

区间ö95,105
的最小值，

【参考解析】
(1) 因为 0.002 × 5 = 0.01 > 0.5%，故 c ∈ ö95,100 ，

100 − c
由比例得 c = 0.002 × 5 × c − 95
= 0.5% ⇒ c = 97.5；

qîc
= 0.010 × 5 × 100 − 97.5 + 0.002 × 5 = 0.035；

100 − 95
所以临界值 c = 97.5，误诊率 qîc
(2)
= 0.035.

①当 c ∈ ö95,100
时，pîc
= 0.002 × 5 × c − 95
= 0.002îc − 95 ，

100 − 95
qîc
= 0.010 × 5 × 100 − c
+ 0.002 × 5 = 0.01î101 − c ；

100 − 95
所以 f îc
= pîc
+ qîc
= 0.82 − 0.008c ≥ 0.82 − 0.008 × 100 = 0.02；

①当 c ∈ î100,105
时，pîc
= 0.002 × 5 + 0.012 × 5 × c − 100
= 0.01 + 0.012îc − 100 ，

105 − 100
qîc
= 0.002 × 5 × 105 − c
= 0.002î105 − c ，

105 − 100
所以 f îc
= pîc
+ qîc
= 0.01c − 0.98 ≥ 0.01 × 100 − 0.98 = 0.02；

综上，所以 f îc
的解析式为 f îc
= à0.82 − 0.008c, 95 ≤ c ≤ 100 0.01c − 0.98, 100 < c ≤ 105
，f îc 在

áâ
区间ö95,105 的最小值 0.02．


20. 如图，三棱锥 A − BCD 中，DA = DB = DC ，BD ⊥ CD，∠ADB = ∠ADC = 60°，E 为
BC 的中点．


(1) 证明：BC ⊥ DA；
™— ™—
(2) 点 F 满足 EF = DA，求二面角 D − AB − F 的正弦值．
【参考解析】
(1) 如图，连接 AE，DE，

因为 DB = DC ，DA = DA，∠ADB = ∠ADC ，
所以ΔADC ≅ ΔADB，所以 AC = AB，
又因为 E 为 BC 的中点，所以 BC ⊥ AE，BC ⊥ DE，




而 AE ∩ DE = E，AE，DE ⊂ 平面 ADE，BC ⊄ 平面 ADE，所以 BC ⊥ 平面 ADE，
又因为 AD ⊂ 平面 ADE，所以 BC ⊥ DA；
(2) 不妨设 DA = DB = DC = 2 ，因为 ∠ADB = ∠ADC = 60°， 所以ΔADB 和ΔADC 为等边三角形，所以 AC = AB = 2 ， 又因为 BD ⊥ CD，所以 BC = DC2 + DB2 = 2，
所以 DE = AE = 1，所以 DE 2 + AE 2 = AD2，
故由勾股定理逆定理知 DE ⊥ AE，
故可建立如图所示的空间直角坐标系




所以 Dî1,0,0
，Aî0,0,1
，Bî0,1,0
，Eî0,0,0
™—
，AB = î0,1,− 1 ，

™— ™— ™—
因为 EF = DA = î− 1,0,1 ，所以 F = î− 1,0,1 ，所以 AF = î− 1,0,0 ，
设平面 DAB 的一个法向量 m) = îx1,y1,z1 ，

则 m ⋅ DA = 0 ⇒
1
1
) ™—
à
à− x + z = 0 )
，令 x = 1 ⇒ m = î1,1,1
，


áâ ) ™—
áây1 − z1 = 0 1

m ⋅ AB = 0
设平面 ABF 的一个法向量 n) = îx2,y2,z2 ，

则 n ⋅ AF = 0 ⇒
2
) ™—
à
à− x = 0 )
，令 y = 1 ⇒ n = î0,1,1
，


áâ) ™—
áây2 − z2 = 0 1

n ⋅ AB = 0


2
) ) n) ⋅ m) 2 6


所以cosòn,m = ôn) ôm) = 3 ×
= 3 ，

3
设二面角 D − AB − F 的大小为 θ，所以 sinθ =所以二面角 D − AB − F 的正弦值为 3 ．
21. 双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 î− 2 5,0
(1) 求 C 的方程．
= 3 ．


1 − cos2òn),m)
3
，离心率为 5．

(2) 记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点 î− 4,0 的直线与 C 的左支交于 M ，N 两点，M 在
第二象限，直线 MA1 与 NA2 交于 P，证明 P 在定直线上．
【参考解析】
(1) 因为左焦点为î− 2 5,0 ，离心率为 5．
a
所以 c = 2 5 ，e = c = 5 ⇒ a = 2 ⇒ a2 = 4，所以 b2 = c2 − a2 = 16，
x2 y2


所以 C 的方程为
4 − 16 = 1．

(2) 显然斜率不为零，故可设直线 MN 方程为 x = my − 4，

联立àx = my − 4


消 x 得 4m − 1 y − 32my + 48 = 0，设 M x ,y
，N x ,y ，

áâ x2 − x2 = 1
î 2 2
î 1 1
î 2 2

4 16

则 àáâ
y1 + y2 = 32m
y y = 48
1
2
2 î
4m2 − 1 ，所以 my y = 3

1
2
y + y ，

1 2 4m2 − 1
易知直线 MA 方程为 y = y1 îx + 2 ，直线 NA 方程为 y = y2 îx − 2 ，
= =− 3 ，
1 x1 + 2 2 x2 − 2

x + 2
y2 x + 2
y2îmy1 − 2
my1y2 − 2y2
3 îy1 + y2
− 2y2 1


联立得 x − 2 = y ⋅ 1 =
y1îmy2 − 6
= my1y2 − 6y1
 2
2
3 îy1 + y2 − 6y1

1 x2 − 2
即 x + 2 =− 1 ⇒ x =− 1，
x − 2 3

所以 P 在定直线上 x =− 1 上．

22.
(1) 证明：当 0 < x < 1 时，x − x2 < sinx < x．

(2) 已知函数 f îx
= cosax − lnî1 − x2
，若 x = 0 是 f îx
的极大值点，求 a 的取值范围．

【参考解析】江苏盐城张凡老师、安徽沐志伟老师提供

(1) 令 gîx
= x − sinx，所以 g îx
= 1 − cosx ≥ 0，

gîx
在î0，1
上单调递增，所以 gîx
> gî0
= 0，故 sinx < x，右边得证；

令 hîx
= x − x2 − sinx，则 h îx
= 1 − 2x − cosx，

令 mîx
= 1 − 2x − cosx，则 m îx
=− 2 + sinx < 0，

所以 mîx
在î0，1
上单调递减，所以 h îx
= mîx
< mî0
= 0，

所以 hîx
在î0，1
上单调递减，所以 hîx
< mî0
= 0，故 x − x2 < sinx，左边得证；

综上，当 0 < x < 1 时，x − x2 < sinx < x．

(2) 因为 f îx
= cosax − lnî1 − x2
，定义域为 − 1 < x < 1，

所以 f îx
=− asinax + 2x ，则 f î0
1 − x2
= 0，显然 f îx

为奇函数，

f x =− a2cosax + 2î1 + x2 f x = a3sinax + 2î3 + x2
î î1 − x2 2 ， î î1 − x2 4 ，

①当 a = 0 时，显然 x = 0 是 f îx
的极小值点，不满足；

2a
②当 a > 0 时，取 π
与 1 的较小者为 m，

则当 0 < x < m 时，sinax > 0，从而 f îx > 0，

所以 f îx
在î0,m
上单调递增，所以 f îx
> f î0
= 2 − a2，

1° 当 2 − a2 ≥ 0，0 < a ≤ 2 时，f îx ≥ 0，

所以 f îx
在î0,m
上单调递增，所以 f îx
> f î0
= 0，

所以 f îx
在î0,m
上单调递增，由奇函数性质知 f îx
在î− m,0
上单调递减，

故 x = 0 是 f îx
的极小值点，不满足；

2° 当 2 − a2 < 0，a > 2 时，f îx
< 0，而 f î π
> 0，

2a
所以 f îx
在î0,m
上有唯一的零点 x1，

所以当 0 < x < x1 时，f îx
< 0，当 x1 < x < m 时，f îx
> 0，

考虑到 f îx
为奇函数，所以 f îx
在î− x1,0
上单调递增，在 î0,x1
上单调递减，

故 x = 0 是 f îx
的极大值点，故满足；

③当 a < 0 时，令 − a = tît > 0 ，

则 f îx
= tsinî− tx
+ 2x =− tsinîtx
1 − x2
+ 2x ，
1 − x2

由前文分析知 t > 2 ，即 a