北京市2019年中考数学押题卷3（含解析）

这是一份北京市2019年中考数学押题卷3（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的
下列几何图形中，有3个面的是（）
B．
C．D．
【解析】根据立体图形的概念逐一判断可得．
【解答】解：A、球只有 1 个面；
B、三棱锥有 4个面；
C、正方体有 6个面；
D、圆柱体有 3 个面； 故选：D．
【说明】本题主要考查立体图形，解题的关键是掌握立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
实数 a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 a+b＝0，那么下列结论正确的是
考生须知
本试卷共 8页，共三道大题，28道小题．满分 100分，考试时间 120分钟．
在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上， 选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
评卷人
得分
（）
A．|a|＞|c|B．a+c＜0C．abc＜0D．
【解析】根据 a+b＝0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴原点在 a，b 的中间， 如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，＝﹣1， 故选：C．
【说明】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
用加减法解方程组时，下列变形正确的是（）
B．
C．D．
【解析】观察两方程中 y 的系数特征，即可得到结果．
【解答】解：用加减法解方程组时，变形为：， 故选：B．
【说明】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．2018 年 10 月 24 日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度 55000 米，则数据 55000 用科学记数法表示为（）
A．55×105B．5.5×104C．0.55×105D．5.5×105
【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n
的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将数据 55000 用科学记数法表示为 5.5×104．
故选：B．
【说明】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
5．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复， 小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）
A．35°B．40°C．50°D．不存在
【解析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于 360°， 除以边数即可求出α 的值．
【解答】解：设边数为 n，根据题意， n＝108÷12＝9，
∴α＝360°÷9＝40°． 所以α﹣5＝35°，
故选：A．
【说明】本题主要考查了多边形的外角和等于 360°，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．
6．如果b﹣a＝﹣6，那么（a﹣）÷的值是（）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【解析】先化简二次根式，再由 b﹣a＝﹣6 得 a﹣b＝6，据此可得答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝
＝a﹣b，
∵b﹣a＝﹣6，
∴a﹣b＝6， 则原式＝6． 故选：A．
【说明】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）
此抛物线的解析式是y＝﹣x2+3.5
篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是 2m
【解析】A、设抛物线的表达式为 y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得 a
的值；
B、根据函数图象判断； C、根据函数图象判断；
D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm，因为（1）中求得 y＝﹣0.2x2+3.5，当 x＝﹣2，
5 时，即可求得结论．
【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为 y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5． 故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm， 因为（1）中求得 y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当 x＝﹣2.5 时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面 2.25m． 故本选项错误．
故选：A．
【说明】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型， 体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（ ）
A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）
【解析】根据点的坐标的定义即可得．
【解答】解：根据题意知小李所对应的坐标是（7，4），故选：C．
【说明】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是掌握点的坐标的概念．
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
比较大小：cs15°sin72°．
【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，得出 cs15°＝sin75°，由 sin75°＞ sin72°可得答案．
【解答】解：cs15°＝sin（90°﹣15°）＝sin75°，
∵sin75°＞sin72°，
∴cs15°＞sin72°， 故答案为：＞．
【说明】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角的正弦随角的增大而增大及一个角的余弦等于它余角的正弦．
10．若y﹣＝﹣2018，则（x+y）2018＝
【解析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求出 x 的值，再求出 y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2017≥0 且 2017﹣x≥0， 解得 x≥2017 且 x≤2017，
所以，x＝2017，
y＝﹣2018，
所以，（x+y）2018＝（2017﹣2018）2018＝1．故答案为：1．
【说明】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
下列给出四个命题：
①直角三角形的两边是方程 y2﹣7y+12＝0 的两根，则它的第三边是 5；
②若一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数 a，c 异号，则该方程有两个不相等的实数根；
③若一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 有一个根为 0，那么 m＝±2；
④已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中a，b，c满足a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0则方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2；其中真命题的是（填序号）．
【解析】根据一元二次方程的性质，勾股定理一一判断即可；
【解答】解：①是假命题．直角三角形的两边是方程 y2﹣7y+12＝0的两根，则它的第三边是5或；
②是真命题．根据△＞0 即可判断；
③是假命题．若一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 有一个根为 0，那么 m＝﹣2；
④是真命题． 故答案为②④
【说明】本题考查命题与定理，一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是的中点．如果∠ABC＝60°，那么∠ADB＝．
【解析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADC 的度数，进而解答即可．
【解答】解：∵点 A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵点B是的中点．
∴∠ADB＝60°， 故答案为：60°
【说明】此题考查圆内接四边形，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠ADC 的度数．
在Rt△ABC 中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F 在AB 上 ，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为．
【解析】画出图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质，即可得到∠DFE＝∠B
﹣36°，再根据三角形外角性质以及三角形的内角和，即可得到∠CEF＝∠A+∠AFE＝
54°，∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°．
【解答】解：如图，当点 F 在 BD 上时，
∵Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，
∴DC＝AB＝DB，
∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，
∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）
＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
＝（108°﹣∠CDB）
＝54°﹣∠CDB
＝54°﹣（180°﹣2∠B）
＝∠B﹣36°，
∵∠CEF 是△AEF 的外角，
∴∠CEF＝∠A+∠AFE
＝90°﹣∠B+∠B﹣36°
＝54°，
当点 F'在 AD 上时，由 DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，
故答案为：54°或 144°．
【说明】本题主要考查了直角三角形的斜边上中线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解决问题的关键是画出图形，分类讨论，利用角的和差关系进行计算．
甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第 2到第 5件礼物，当然取法各种各样， 那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物 D最精美，那
么取得礼物D可能性最大的是同学．
【解析】列举出所有情况，看谁得到 D 的机会多即可．
【解答】解：甲乙丙丁戊取礼物的顺序有 10 种，为：
①A、B、C、D、E；
②A、C、D、E、B；
③A、C、D、B、E；
④A、C、B、D、E；
⑤C、D、E、A、B；
⑥C、D、A、B、E；
⑦C、D、A、E、B；
⑧C、A、B、D、E；
⑨C、A、D、B、E；
⑩C、A、D、E、B．
取得礼物 D 的概率分别为：P（乙）＝0.3，P（丙）＝0.4，P（丁）＝0.3， 取得礼物 D 可能性最大的是丙同学．
【说明】解决本题的关键得到取礼物的所有情况．
两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是．
【解析】分两种情况讨论：
①将两根细木条重叠摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的差；
②将两根细木条相接摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的和．
【解答】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则 130÷2﹣80÷2＝25cm；
②如果将两根细木条相接摆放，则 130÷2+80÷2＝105cm．
【说明】本题要注意分成重叠和相接两种摆放方法分类讨论．根据题意准确的列出式子是解题的关键．
在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（﹣2，
﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限．
【解析】依据点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”，一个点和它的“关联点”在同一象限内，可得这两点的坐标中，横坐标与纵坐标异号．
【解答】解：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点（﹣b，﹣a），点（a， b）分别在一三象限，不合题意；
若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）都在第二或第四象限，符合题意；
故答案为：二、四．
【说明】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：第一三象限内点的横坐标纵坐标同号， 而第二四象限内点的横坐标纵坐标异号．
三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27、28
题，每小题 7 分)解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程。
下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线 l及直线 l外一点 P． 求作：直线 PQ，使得 PQ⊥l． 做法：如图，
①在直线 l 的异侧取一点 K，以点 P 为圆心，PK 长为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；
③作直线 PQ，则直线 PQ 就是所求作的直线． 根据小西设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
完成下面的证明．
证明：∵PA＝，QA＝，
∴PQ⊥l（填推理的依据）．
【解析】（1）利用作作法补全图形；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行证明．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）证明：∵PA＝PB，QA＝QB，
∴PQ⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为 PA＝PB，QA＝QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【说明】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图
形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．计算：|﹣1|﹣﹣（1﹣）0+4sin30°．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣1+4×
＝1﹣2﹣1+2
＝0．
【说明】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
解不等式组：．
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：
由不等式①得 x≤8． 由不等式②得 x＞﹣1；
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤8．
【说明】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求整数 m的值．
【解析】（1）由于 m≠0，则计算判别式的值得到△＝1，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先利用求根公式得到x1＝﹣1，x2＝﹣1，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程为一元二次方程，
∵△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣1）＝1＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∵方程的两个实数根都是整数，且 m 是整数，
∴m＝1 或 m＝﹣1．
【说明】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
如图，矩形纸片 ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点 A与 C重合，折痕 EF交 AD
于 E，交 BC 于 F，交 AC 于 O，连结 AF、CE．
求证：四边形 AFCE是菱形；
过 E 作 EP⊥AD交 AC于 P，求证：AE2＝AO•AP；
若 AE＝8，△ABF的面积为 9，求 AB+BF 的值．
【解析】（1）当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC，由 OA＝OC，得∠AOE＝∠ COF＝90°，由题意得 AD∥BC，∠EAO＝∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴ 四边形 AFCE 是菱形．
由EP⊥AD，得∠AEP＝90°，可证明△AOE∽△AEP，写出比例式，即可得出 AE2＝AO•AP；
根据四边形AFCE是菱形，得出AF＝AE＝8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2
＝AF2，AB2+BF2＝82，即可得出（AB+BF）2﹣2AB•BF＝64①，根据△ABF 的面积为 9， 可求得AB•BF＝18②，再由①、②得：（AB+BF）2＝100，得出AB+BF＝10．
【解答】（1）证明：当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC，
∴OA＝OC∠AOE＝∠COF＝90°
∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE＝OF
∴四边形 AFCE 是菱形．
证明：∵EP⊥AD
∴∠AEP＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEP＝∠AOE
∵∠EAO＝∠EAP
∴△AOE∽△AEP
∴
∴AE2＝AO•AP
解：∵四边形 AFCE是菱形
∴AF＝AE＝8
在 Rt△ABF 中，AB2+BF2＝AF2
∴AB2+BF2＝82
∴（AB+BF）2﹣2AB•BF＝64①
∵△ABF 的面积为 9
∴
∴AB•BF＝18②
由①、②得：（AB+BF）2＝100
∵AB+BF＞0
∴AB+BF＝10．
【说明】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用．
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝6，BC＝8，EF切⊙O 于
点 E，交 BA 的延长线于 F，EF∥BC，连接 CE、AE．
求证：∠AEF＝∠ACE；
求线段 AE长．
【解析】（1）连接 AO交 BC于 H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得∠OEF＝90°，接着证明∠1＝∠AEF，从而得到∠AEF＝∠2，然后再利用圆周角定理和等量代换得到结论；
（2）利用勾股定理得到 AB＝10，再证明∠BCE＝∠CBE 得到 EB＝EC，从而可得到 BO
垂直平分BC，所以BH＝4，OH＝AC＝3，然后利用勾股定理计算出BE、AE．
【解答】证明：（1）连接AO交BC于H，如图，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF 为切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF＝90°，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠AEO+∠1＝90°，
∴∠1＝∠AEF， 而 OE＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠AEF＝∠2， 而∠ACE＝∠2，
∴∠AEF＝∠ACE；
（2）解：在Rt△ABC 中，AB＝＝10，
∵∠CEA＝∠ABC， 而∠1＝∠AEF，
∴∠CEF＝∠CBE，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CBE，
∴EB＝EC， 而 OB＝OC，
∴BO 垂直平分 BC，
∴BH＝4，OH＝AC＝3，
∴EH＝EO+OH＝5+3＝8，
在Rt△BEH中，BE＝＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝2．
【说明】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝2x+1交于点A
（1，m）．
求 k、m的值；
已知点P（n，0）（n≥1），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝2x+1于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当 n＝3 时，求线段 AB 上的整点个数；
②若y＝（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（包括边界）恰有 5 个整点，直接写出 n的取值范围．
【解析】（1）将A点代入直线解析式可求m，再代入y＝，可求k．
（2）①根据题意先求 B，C 两点，可得线段 AB 上的整点的横坐标的范围 1≤x≤3，且 x
为整数，所以 x 取 1，2，3．再代入可求整点，即求出整点个数．
②根据图象可以直接判断 2≤n＜3．
【解答】解：（1）∵点A（1，m）在y＝2x+1上，
∴m＝2×1+1＝3．
∴A（1，3）．
∵点A（1，3）在函数的图象上，
∴k＝3．
（2）①当n＝3时，B、C两点的坐标为B（3，7）、C（3，1）．
∵整点在线段 AB 上
∴1≤x≤3 且 x 为整数
∴x＝1，2，3
∴当 x＝1 时，y＝3， 当 x＝2 时 ，y＝5， 当 x＝3 时，y＝7，
∴线段AB上有（1，3）、（2，5）、（3，7）共3个整点．
②
由图象可得当 2≤n＜3 时，有五个整点．
【说明】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用函数图象有关解决问题．
如图 1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，其中点 B 和点 D重合，点 F在 BC上，将△DEF沿射线 BC平移，设平移的距离为 x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为 y，y关于 x的函数图象如图 2所示（其中 0≤x≤m，m
＜x≤3，3＜x≤4 时，函数的解析式不同）
填空：BC的长为；
求 y关于 x 的函数关系式，并写出 x的取值范围．
【解析】（1）通过图 2 观察可知 y＝0 时 x＝4，即 D 点从 B 运动到 C 平移的距离为 4；
（2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况，将三种图形分别画出， 通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边的关系，将各边用 x表示出来， 即可以列出 y 与 x 的函数关系式．
【解答】解：（1）由图2得当x＝4时，y＝0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，
则点 D 从 B 到 C 运动的距离为 4，即 BC＝4； 故答案为：4．
（2）当DE经过点A时（如图1），BD＝3，CD＝1，
∵△ABC≌△DEF．
∴∠EDF＝∠BAC．
∵∠ACD＝∠BCA
∴△ADC∽△BAC．
∴，即．AC＝2
∴n＝2
当0≤x≤2时（如图2），
设 ED、EF 与 AB 分别相交于点 M，G，作 MN⊥BC，垂足为 N． 则∠MNB＝90°＝∠EFD＝∠C．
∵∠MDN＝∠EDF．
∴△DMN∽△DEF．
∴，即．
∴MN＝2DN．
设 DN＝n，则 MN＝2n． 同理△BMN∽△BAC．
∴．即，
∴BN＝4n，即 x+n＝4n．
∴n＝x．
∴S△BDM＝•BD•MN＝2
同理△BGF∽△BAC
∴，即．
∴GF＝，
∴y＝S△BGF﹣S△BDM＝2＝﹣x2+x+1． 当2＜x≤3时（如图3），
由①知，S△BDM＝x2．
∴y＝S△ABC﹣S△BDM＝2＝﹣x2+4
当3＜x≤4时（如图4），
设 DE 与 AB 相交于点 H． 同理△DHC∽△DEF．
∴，即
∴HC＝24﹣x．
∴y＝＝x2﹣8x+16
∴y＝．
【说明】本题考查了平移的性质、相似三角形性质，解题的关键是要找到△DEF 运动过程中与△ABC 重叠面积的不同情况，通过辅助线构造相似三角形，要注意分类讨论画出对应的图象．
河西中学九年级共有 9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题：
收集数据
若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是．
①在九年级学生中随机抽取 36 名学生的成绩；
②按男、女各随机抽取 18 名学生的成绩；
③按班级在每个班各随机抽取 4 名学生的成绩． 整理数据
将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；
②估计九年级A、B类学生一共有名．
分析数据
成绩（单位：分
） 频数
频率
A 类（80～100
） 18
B类（60～79）
9
C类（40～59）
6
D 类（0～39）
3
学校
平均数（分）
极差（分）
方差
A、B 类的频率和
河西中学
71
52
432
0.75
复兴中学
71
80
497
0.82
教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比， 得下表：
你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由．
【解析】（1）根据抽样调查的可靠性解答可得；
①用 360°乘以 C、D类别的频率可得；②总人数乘以 A、B的频率之和；
根据方差和频率的意义解答可得．
【解答】解：（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是：①在九年级学生中随机抽取 36 名学生的成绩，
故答案为：①；
①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×
＝30°，
故答案为：60°，30°；
②估计九年级A、B类学生一共有300×（+）＝225， 故答案为：225；
选择河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定．
选择复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学 A，B 类频率和高，复兴中学高分人数更多．
【说明】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
如图，在平面直角坐标系xy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且
4OA＝3OB，将直线 AB 沿 y 轴翻折与 x 轴交于点 C，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A、B 两点．
求 m的值及直线 BC的表达式；
若点 D在该抛物线上，且四边形 OBDC为矩形，求该抛物线的表达式；
点 E、F分别是线段 AC、BC上的动点（点 E不与点 A、C重合），当∠BEF＝∠BAO，且△BEF是等腰三角形时，求点 E的坐标．
【解析】（1）首先求得直线与 y 轴的交点 B 的坐标，然后根据 4OA＝3OB 求得线段 OA 的长，从而求得点 A 的坐标，代入已知直线即可求得 m 的值；然后根据翻折的性质得到点 C 的坐标，利用待定系数法确定直线 BC 的解析式即可；
根据四边形 OCDB为矩形和点 B、C的坐标确定点 D的坐标，根据已知的点 A和点 B的坐标利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
首先证得△BEF∽△BCE，根据△BEF为等腰三角形，得到△BCE为等腰三角形， 然后分当 CE＝CB＝5时、当 BE＝BC时、当 EC＝EB时三种情况求得点 E的坐标即可．
【解答】解：（1）将x＝0代入直线，解得：y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4
∵4OA＝3OB，
∴OA＝3
∴点A的坐标为（3，0），
∴把点（3，0）代入， 解得 m＝4，
由翻折可知，点C的坐标为（﹣3，0），设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b，
将点代入上式，得：，
解得：
∴所求直线BC为y＝+4；
∵四边形 OBDC为矩形，
∴点D的坐标为（﹣3，4），
∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A、B 两点，
∴将点A（3，0），B（0，4），D（﹣3，4）分别代入y＝ax2+bx+c，得：
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
由（1）可知 BC＝BA
∴∠BCA＝∠BAC， 而∠BEF＝∠BAO，
∴∠BEF＝∠BCO，
∴△BEF∽△BCE，
∵△BEF 为等腰三角形，
△BCE 为等腰三角形，
1、当 CE＝CB＝5 时，由 OC＝3，可知：OE＝2，
∴E（2，0）；
2、当 BE＝BC 时，有 E 与 A 重合，不合题意，舍去．
3、当EC＝EB时，设点E（x，0），则（x+3）2＝x2+42，
解 得 x＝ ，
∴E（，0）
综上，所求点E坐标为（2，0）或（，0）．
【说明】本题考查了二次函数的综合知识，题目中还考查了待定系数法等知识，第三题中用到的分类讨论的数学思想更是中考的热点考题之一，难度较大．
△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以
CD 为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．
如图 1，作 EF⊥BC于 F，求证：△DBC≌△CFE；
在图1中，连接AE交BC于M，求的值；
如图 2，过点 E作 EH⊥CE交 CB的延长线于点 H，过点 D 作 DG⊥DC，交 AC于
点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变， 求出该值；若变化请说明理由．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 CD＝CE，再利用等角的余角相等得到∠ DCB＝∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；
由△DBC≌△CFE得到 BD＝CF，BC＝EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到
AB＝BC，所以 AB＝EF，AD＝BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到 BM＝FM，所以
＝2；
在 EH上截取 EQ＝DG，如图 2，先证明△CDG≌△CEQ得到 CG＝CQ，∠DCG＝
∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB＝45°，则∠ECQ+∠DCB＝45°，所以∠HCQ＝45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG＝HQ，然后可计算出＝1．
【解答】（1）证明：∵△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE＝90°．
∴CD＝CE，∠DCB+∠ECF＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF＝90°，
∴∠DCB＝∠CEF， 在△DBC和△CEF中，
，
∴△DBC≌△CFE；
解：如图 1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD＝CF，BC＝EF，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∴AB＝EF，AD＝BF， 在△ABM 和△EFM 中，
，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM＝FM，
∴BF＝2BM，
∴AD＝2BM，
∴的值为2；
解：的值不变．
在 EH 上截取 EQ＝DG，如图 2， 在△CDG 和△CEQ 中
，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB＝45°，
∴∠ECQ+∠DCB＝45°， 而∠DCE＝90°，
∴∠HCQ＝45°，
∴∠HCQ＝∠HCG， 在△HCG和△HCQ中，
，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG＝HQ，
∴＝＝＝1．
【说明】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1
≠x2，y1≠y2，若 PQ为某个矩形的一条对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则
称该矩形为点 P，Q 的对角矩形．图①为点 P，Q 的对角矩形的示意图．已知点 A（2，0） 点B（m，3）．
当 m＝4 时，在图②中画出点 A、B的对角矩形；
若点 A、B的对角矩形面积是 15，求 m的值；
设一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，交y轴于点C，若在线段AC 上存在一点
D，使得点 D、B 的对角矩形是正方形，直接写出 m 的取值范围．
【解析】（1）先确定出B（4，3），直接利用新定义即可画出图形；
先确定出 BC＝3，AC＝|m﹣2|，利用面积建立方程求解即可得出结论；
先确定出一次函数解析式为y＝﹣x+1，进而得出C（0，1），再找出分界点求出 m的值，借助图形即可得出结论．
【解答】解：（1）当m＝4时，
∴B（4，3），
∵A（2，0），
所以，根据点 A、B 的对角矩形图形如图②所示，
如图 4，
过点 B作 BC⊥x轴于 C，
∵A（2，0），B（m，3），
∴BC＝3，AC＝|m﹣2|，
∵点 A，B 的对角矩形的面积为 15，
∴AC×BC＝15，
∴|m﹣2|×3＝15，
∴m＝﹣3 或 m＝7，
如图 3，
∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A（2，0），
∴b＝1，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1，
∴C（0，1），
当点 D 和点 C 重合时，BE＝3﹣1＝2，CE＝|m|，
∵使得点 D、B 的对角矩形是正方形，
∴|m|＝2，
∴m＝±2，
当点 D 和点 A 重合时，AB＝3，AG＝|m﹣2|，
∵使得点 D、B 的对角矩形是正方形，
∴|m﹣2|＝3，
∴m＝﹣1 或 m＝5，
∴﹣2≤m≤﹣1 或 2≤m≤5．
【说明】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，新定义的理解和应用，矩形的面积公式，找出分界点是解本题的关键．