2023年高考数学试卷及答案（新高考1卷）

这是一份2023年高考数学试卷及答案（新高考1卷），共14页。
绝密★启用前 试卷类型：A
2023 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
N =
1．已知集合 M = {-2, -1, 0,1, 2}， N = {x | x2 - x - 6 ≥ 0}，则 M


A．{-2, -1, 0,1}
B．{0,1, 2} C．{-2}
D．{2}


2. 已知 z =

A． -i
1 - i 2 + 2i

，则 z - z =

B．i C．0 D．1

3．已知向量a = (1,1) ， b = (1, -1) ．若(a + lb) ^ (a + mb) ，则

A． l + m = 1
B． l + m = -1
C． lm = 1
D． lm = -1


4. 设函数 f (x) = 2x(x-a) 在区间(0,1) 单调递减，则 a 的取值范围是


A． (-¥, -2]
x2 2
B．[-2, 0)
x2 2
C． (0, 2] D．[2, +¥)

3
6
5. 设椭圆C1 : a2 + y
= 1(a > 1) ， C2 : 4 + y
= 1 的离心率分别为e1 ， e2 ．若e2 = 3e1 ，则 a =

2
A. 2 3 B．
3
C． D．

6. 过(0, -2) 与圆 x2 + y2 - 4x - 1 = 0 相切的两条直线的夹角为a ，则sina =

A.1 B． 15
4
C. 10 4
D. 4

数学试题 第 1 页（共 4 页）

7. 记 S 为数列{a } 的前 n 项和，设甲：{a } 为等差数列；乙： Sn



为等差数列，则

n n n { n }
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知sin(a - b ) = 1 ， cosa sin b = 1 ，则cos(2a + 2b ) =


A. 7
9
3 6
B. 1
9

C. - 1
9

D. - 7
9



二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 有一组样本数据 x1 , x2 , , x6 ，其中 x1 是最小值， x6 是最大值，则
A. x2 , x3 , x4 , x5 的平均数等于 x1 , x2 , , x6 的平均数
B. x2 , x3 , x4 , x5 的中位数等于 x1 , x2 , , x6 的中位数
C. x2 , x3 , x4 , x5 的标准差不小于 x1 , x2 , , x6 的标准差
D. x2 , x3 , x4 , x5 的极差不大于 x1 , x2 , , x6 的极差


10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP
= 20 ´ lg p ，
p0


其中常数 p0 ( p0 > 0) 是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60 ~ 90
混合动力汽车
10
50 ~ 60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 p1 ， p2 ，
p3 ，则

A. p1 ≥ p2
B． p2 > 10 p3
C． p3 = 100 p0
D． p1 ≤100 p2


11. 已知函数 f (x) 的定义域为 R， f (xy) = y2 f (x) + x2 f ( y) ，则

A． f (0) = 0 B． f (1) = 0

C． f (x) 是偶函数 D． x = 0 为 f (x) 的极小值点数学试题 第 2 页（共 4 页）

12. 下列物体中，能被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计） 内的有
A. 直径为 0.99 m 的球体
B. 所有棱长均为 1.4 m 的四面体
C. 底面直径为 0.01 m，高为 1.8 m 的圆柱体
D. 底面直径为 1.2 m，高位 0.01 m 的圆柱体


三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．
13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3
2
门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．

14. ． 在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中中， AB = 2 中 ，
．
A1B1 = 1中，
AA1 = ， 则棱棱台的体为为

15. 已知函数 f (x) = cosw x -1(w > 0) 在区间[0, 2π]，有且仅有 3 个零点，则w 的取值范围是
．
x2 - y2 = 1(a > 0, b >

16. 已知双曲线 C :
a2 b2
0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ．点 A 在 C 上，点 B


在 y 轴上， F A ^ F B ， F A =- 2 F B ，则 C 的离心率为 ．
1 1 2 3 2

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知在△ABC 中， A + B = 3C ， 2sin( A - C) = sin B .
（1） 求sin A ；
（2） 设 AB = 5 ，求 AB 边上的高.

18．（12 分）
如图，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， AA1 = 4 .
点 A2 ， B2 ， C2 ， D2 分别在棱 AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1 上， AA2 = 1 ，
BB2 = DD2 = 2 ， CC2 = 3 .
（1）证明： B2C2 ∥ A2 D2 ；
（2）点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P - A2C2 - D2 为 150°时，求 B2 P .


数学试题 第 3 页（共 4 页）

19．（12 分）
已知函数 f (x) = a(ex + a) - x .
（1） 讨论 f (x) 的单调性；
（2） 证明：当 a > 0 时，求证： f (x) > 2 ln a + 3 .
2




20．（12 分）

设等差数列{an } 的公差为 d，且 d > 1. 令bn =

前 n 项和.

n2 + n an


，记 Sn ，Tn 分别为数列{an }，{bn } 的

（1）若3a2 = 3a1 + a3 ， S3 + T3 = 21，求{an } 的通项公式；
（2）若{bn } 为等差数列，且 S99 - T99 = 99 ，求 d.


21．（12 分）
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.5.
（1） 求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2） 求第i 次投篮的人是甲的概率；

（3） 已知：若随机变量 Xi 中从从两点分，，且 P( Xi = 1) = 1 - P( Xi = 0) = qi 中，
i = 1, 2, , n 中，



n n

则 E(å Xi ) = åqi ．记前 n 次（即从第 1 次到第 n 次投篮）中甲投篮的次数为 Y，求 E(Y ) ．
i =1 i =1





22．（12 分）
(0, )
在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 1
2



的距离，记动点 P 的轨迹

为 W.
（1） 求 W 的方程；
3
（2） 已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于3 .



数学试题 第 4 页（共 4 页）

2023新高考1卷 解析
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分


第1题 已知集合 M = {−2, −1, 0, 1, 2}, N = {x ∣ x2 − x − 6 ⩾ 0}, 则 M ∩ N =

A. {−2, −1, 0, 1} B. {0, 1, 2} C. {−2} D. {2}
答案

C



第2题 已知 z = 1 − i , 则 z − z¯ =
2 + 2i

A. −i B. i C. 0 D. 1
答案

A



第3题 已知向量 a = (1, 1), b = (1, −1). 若 (a + λb) ⊥ (a + μb), 则

A. λ + μ = 1 B. λ + μ = −1 C. λμ = 1 D. λμ = −1
答案

D



第4题 设函数 f(x) = 2x(x−a) 在区间 (0, 1) 单调递减, 则 a 的取值范围是

A. (−∞, −2] B. [−2, 0) C. (0, 2] D. [2, +∞)
答案

D

第5题 设椭圆 C1 : e2 = √3e1, 则 a =
x2 2
a2 + y
= 1(a > 1), C2 :
x2 2
4 + y
= 1 的离心率分别为 e1 ⋅ e2、 若

2√3
A. 3
B. √2 C. √3 D. √6

答案
A
第6题 过点 (0, −2) 与圆 x2 + y2 − 4x − 1 = 0 相切的两条直线的夹角为 α, 则 sin α =

A. 1 B.
 √15 4
C. √10
4
D. √6
4

答案
B




第7题 记 Sn



为数列 {an



} 的前 n 项和, 设甲: {an

} 为等差数列: 乙: { Sn } 为等差数列, 则



n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 用是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案

C



第8题 已知 sin(α − β) = 1 , cos α sin β = 1 , 则 cos(2α + 2β) =



A. 7 9
3

B. 1 9
6
C. − 1
9

D. − 7
9


答案

B

二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分


第9题 有一组样本数据 x1, x2, ⋯ , x6, 其中 x1 是最小值, x6 是最大值, 则

A. x2, x3, x4, x5 的平均数等于 x1, x2, ⋯ , x6 的平均数
B. x2, x3, x4, x5 的中位数等于 x1, x2, ⋯ , x6 的中位数
C. x2, x3, x4, x5 的标准差不小于 x1, x2, ⋯ , x6 的标准差
D. x2, x3, x4, x5 的极差不大于 x1, x2, ⋯ , x6 的极差
答案

BCD




第10题 噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 Lp
, 其中常数 p0 (p0 > 0) 是听觉下限阈值, p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:
p
= 20 × lg
p0


声源
与声源的距离 /m
声压级/dB
燃油汽车
10
60 ∼ 90
混合动力汽车
10
50 ∼ 60
电动汽车
10
40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 p1, p2, p3, 则

A. p1 ⩾ p2 B. p2 > 10p3 C. p3 = 100p0 D. p1 ⩽ 100p2
答案

ACD



第11题 已知函数 f(x) 的定义域为 R , f(xy) = y2f(x) + x2f(y), 则

A. f(0) = 0 B. f(1) = 0
C. f(x) 是偶函数 D. x = 0 为 f(x) 的极小值点
答案


ABC



第12题 下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位: m ) 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计） 内的有

A. 直径为0.99m 的球体
B. 所有棱长均为 1.4m 的四面体
C. 底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体
D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体
答案

ABD

三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分


第13题 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1门, 则不同的选课方案共有 种 (用数字作答).
答案

64


第14题 在正四棱台 ABCD − A1B1C1D1 中, AB = 2, A1B1 = 1, AA1 = √2, 则该棱台的体积为 .
答案

7 √6
6


第15题 已知函数 f(x) = cos ωx − 1(ω > 0) 在区间 [0, 2π] 有且仅有 3 个零点, 则 ω 的取值范围是 .
答案

2 ⩽ ω < 3

第16题 已知双曲线 C :
x2
a2 −
y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2. 点 A 在 C 上,

→ → → 2 →
点 B 在 y 轴上, F1A ⊥ F1B , F2A = − 3 F2B, 则 C 的离心率为 .
答案



3√5
5

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分


第17题 已知在 △ABC 中, A + B = 3C, 2 sin(A − C) = sin B . (1). 求 sin A .
(2). 设 AB = 5, 求 AB 边上的高 .

答案




(1).
3√10
10

(2). 6

解析

(1). 由题意得

A + B = 3C ⇒ A + B + C = 4C = π ⇒ C = π
4
所以

π 3 3√10

2 sin (A −
4 ) = sin ( 4 π − A) ⇒ sin A = 10



(2). 因为 sin B = sin(A + C) = 2
√5

, 所以由正弦定理可知

b sin B
c
= sin C
⇒ b = 2√10

所以由面积法可知


S = 1 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A = 2
1 ⋅ c ⋅ h ⇒ h = b sin A = 6 2

第18题 如图, 在正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中, AB = 2, AA1 = 4. 点 A2, B2, C2, D2 分别在棱 AA1, BB1, CC1, DD1 上, AA2 = 1, BB2 = DD2 = 2,
CC2 = 3
(1) 证明： B2C2 // A2D2 .
(2) 点 P 在棱 BB1 上, 当二面角 P − A2C2 − D2 为 150∘
时 , 求 B2P .
答案

(1). 建系易证
(2). B2P = 1
解析

以 C 为原点, CD 为 x 轴, CB 为 y 轴, CC 1 为 z 轴建立空间直角坐标系, 所以
B2 : (0, 2, 2), C2 : (0, 0, 3), A2 : (2, 2, 1), D2 : (2, 0, 2)
→ →
(1). 因为 B2C2 = (0, −2, 1), A2D2 = (0, −2, 1)
→ →
所以 B2C2 = A2D2, 所以 B2C2 // A2D2.
(2). 设 P : (0, 2, t), 其 中 2 ⩽ t ⩽ 4
→ → → →
所以 PA2 = (2, 0, 1 − t), PC2 = (0, −2, 3 − t), D2C2 = (−2, 0, 1), D2A2 = (0, 2, −1) .

n1
所以面 PA2C2 法向量 → = (t − 1, 3 − t, 2), 面 D2A2C2 法向量
因为二面角 P − A2C2 − D2 为 150∘, 所以
→
n2 = (1, 1, 2)




√6
√2t2 − 8t + 14
= |cos 150∘| = √3



所 以 B2P = 1


第19题 已知函数 f(x) = a (ex + a) − x. (1). 讨论 f(x) 的单调性.
(2). 证明: 当 a > 0 时, f(x) > 2 ln a + 3 .
2
答案

见解析

解析

(1). 对 f(x) 求导得 f ′(x) = a ⋅ ex − 1, 故
① a ⩽ 0 时, f ′(x) ⩽ −1 < 0, 函数 f(x) 单调递减
② a > 0 时, 令 f ′(x) = 0 得 x0 = − ln a, 故


(−∞, − ln a)
− ln a
(− ln a, ∞)
f ′(x)
−
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
(2). fmi n = f(− ln a) = a2 + 1 + ln a
令 g(a) = a2 − ln a − 1 , 求导得 g′(a) = 2a − 1
2 a
令导数为 0 解得 a = √2 , 所以
2


(0, √2 )
2
√2 2


( √2 , ∞) 2
g′(a)
−
0
+
g(a)
↘
极小值
↗

所以 g = g ( √2 ) = ln 2 > 0
min 2 2
3
故 g(a) > 0, 所以 f(x) > 2 ln a +
2

第20题 设等差数列 {an} 的公差为 d, 且 d > 1, 令 bn =
{bn} 的前 n 项和.
n2 + n an
, 记 Sn, Tn 分别为数列 {an},

(1). 若 3a2 = 3a1 + a3, S3 + T3 = 21, 求 {an} 的通项公式. (2). 若 {bn} 为等差数列, 且 S99 − T 99 = 99, 求 d.
答案
(1). an = 3n
51
(2). d = 50
解析
(1). 由题意得 3a2 = 3a1 + a3, 2a2 = a1 + a3, 解得
a2 = 2a1, a3 = 3a1

又因为 {an
} 为等差数列, 所以 an
= a1
⋅ n, 所以 bn
= n + 1
a1

因为 S3 + T3 = 21, 所以

6a1 + 9
a1

= 21 ⇒ a1 = 3 || a1 = 1 (舍)
2



所 以 an = 3n
(2). 设 an = da ⋅ n + pa , bn = db ⋅ n + pb , 其中 da > 1
记 cn = an − bn = (da − db)n + pa − pb , 故 {cn} 也为等差数列, 所以




所以 c50 = 1
S 99 − T99
= c1 + c2 + ⋯ + c99 =
(c1 + c99 ) ⋅ 99 = 99 ⋅ c = 99
50
2

因 为 bn =
n2 + n
an
, 所以代入可得
n2 + n 2 2



dbn + pb =
⟹ n
dan + pa
+ n = da ⋅ db ⋅ n
+ (da ⋅ pb + db ⋅ pa)n + pa ⋅ pb


所以可得方程组






解得 d = da



= 51
50
da ⋅ db = 1
⎨
da ⋅ pb + db ⋅ pa = 1 pa ⋅ pb = 0
50 (da − db) + pa − pb = 1




第21题 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为 0.8, 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为 0.5 .
(1). 求第 2 次投篮的人是乙的概率. (2). 求第 i 次投篮的人是甲的概率.
(3) 设随机事件 Y 为甲投球次数, Y = 0, 1, ⋯ , n, 求 E(Y ).

答案


(1). 3
5
1


i−1
1
2

(2). ⋅ ( ) +
6 5 3

n 5 1
n−1
2

(3). E(Y ) =
3 + 18 −
9 ⋅ ( 5 )


解析


(1). P =
1 2 1 4 3
⋅
2 5 + 2 ⋅ 5 = 5

(2). 记 ai 为第 i 次投篮的人是甲的概率, 所以


ai =
3 ⋅ a +
5 i− 1
1 (1 − a ) =
5 i− 1
2 1
5 ai− 1 + 5



所以

1 2 1
1 2 i−1 1

ai − 3 = 5 (ai− 1 − 3 ) ⇒ ai =
6 ⋅ ( 5 ) + 3

(3).
E(Y ) = a1 + a2 + ⋯ + an
+
= 1 [( 2 )0 + ( 2 )1 + ⋯ + ( 2 )n−1] n

6

= 1 ⋅
6
5 5 5 3
5
n
n
1 − ( 2 )
+
1 − 2 3
5

n 5 1
n−1
2

= 3 +
18 −
9 ⋅ ( 5 )





2
第22题 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 (0, 1 ) 的距离, 记动点 P 的

轨迹为 W .
(1). 求 W 的方程.
(2). 已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于 3√3.
答案

(1). W : x2 = y − 1
4
解析


2
(1). 由题意得 W 为抛物线, 且准线为 y = 0, 焦点为 (0, 1 ), 这是由标准抛物线方程

x2 = 2p y 向上平移
1 个单位得到的, 故可设为 x2 = 2p y − 1
4 4

因为焦点到准线的距离为 p, 所以 p = 1 , 所以 W : x2 = y − 1 .
2 4
(2). 不妨设 A,B,C 在抛物线上, 且 AB ⊥ BC, 所以


yB − yC
⋅ yB − yA

= −1 ⇒
2 − x2
x
C
B
⋅
2 − x2
= −1 ⇒ (xB + xA)(xB + xC) = −1

x
A
B
xB − xC
xB − xA
xB − xC
xB − xA


令 xB

+ xA
= m, xB

+ xC
= − 1
m
, 由对称性, 不妨设 |m| ⩽ 1

所以周长可表示为

1 ⋅ 周长 = AB + BC
2
= √(yA − yB)2 + (xA − xB)2 + √(yC − yB)2 + (xC − xB)2

= |xA
− xB
| ⋅ √1 + m2 + |xC − xB|
|m|
⋅ √1 + m2

⩾ √1 + m2 ⋅ (|xA − xB| + |xC − xB|)
⩾ √1 + m2 ⋅ |xA − xC|
= √1 + m2 ⋅ m + 1
m


=

(1 + x)3




√
(1 + m2)3

m2

′


(x + 1)2(2x − 1)


令 f(x) =
(0 < x < 1), 则 f
k
(x) = , 故
x2



(0, 1 )
2
1
2
( 1 , 1)
2
f ′(x)
−
0
+
f(x)
↘
极小值
↗

所以 f(x) ⩾ f ( 1 ) = 27 , 当且仅当 |m| = √2 , 所以有

2 4 2
√
周长 > 2 ⋅ 27
4

= 3√3