2023年高考全国乙卷理科数学试卷真题（含答案）

这是一份2023年高考全国乙卷理科数学试卷真题（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 理科数学
一、选择题



1. 设
z = 2 + i

1+ i2 + i5 ，则 z = （ ）



A 1- 2i
B. 1+ 2i
C. 2 - i
D. 2 + i


2. 设集合U = R ，集合 M = {x x < 1} ， N = {x -1 < x < 2}，则{x x ³ 2} = （ ）


A. ðU (M U N )
C. ðU (M I N )
B. N U ðU M
D. M È ðU N


3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30


4. 已知 f (x) =
xex


eax -1
是偶函数，则 a = （ ）



A. -2
B. -1
C. 1 D. 2

5. 设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{( x, y ) 1 £ x2 + y 2 £ 4} 内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA
π

的倾斜角不大于

1
A.
8
的概率为（ ）
4
1 1
B. C.
6 4



D. 1 2

6. 已知函数 f (x) = sin(wx +j) 在区间æ π , 2π ö 单调递增，直线 x = π 和 x = 2π 为函数 y = f ( x) 的图像的
ç 6 3 ÷ 6 3
è ø

两条对称轴，则 f æ - 5π ö = （ ）
ç 12 ÷
è ø



3
A. - B. - 1
2 2

C. 1 2
D. 2


7. 甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有
（ ）

A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种


3
8. 已知圆锥 PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线， ÐAOB = 120° ，若VPAB 的面

积等于 9 3 ，则该圆锥的体积为（ ）
4
B. 6p
A. p


C. 3p D. 3 6p


9. 已知VABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C - AB - D 为150° ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）


A. 1 B. 2
5 5
C. 3 D. 2
5 5

10. 已知等差数列{a }的公差为 2p，集合 S = {cosa n Î N*}，若 S = {a,b} ，则 ab = （ ）

n 3
A －1 B. - 1
2
n

C. 0 D. 1
2

2 y2
11. 设 A，B 为双曲线 x - = 1 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（ ）
9

A. (1,1)
B. (-1, 2)
C. (1, 3)
D. (-1, -4)

2
12. 已知eO 的半径为 1，直线 PA 与eO 相切于点 A，直线 PB 与eO 交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点， 若 PO = ，则 PA× PD 的最大值为（ ）

A. 1+ 2
2
B. 1+ 2 2
2


2
2
C. 1+ D. 2 +
二、填空题
13. 已知点 A(1, 5 ) 在抛物线 C： y2 = 2 px 上，则 A 到 C 的准线的距离为 .
ï
ìx - 3y £ -1
14. 若 x，y 满足约束条件í x + 2 y £ 9 ，则 z = 2x - y 的最大值为 .
î
ï 3x + y ³ 7
15. 已知{an}为等比数列， a2a4a5 = a3a6 ， a9a10 = -8 ，则 a7 = .

16. 设 a Î(0,1) ，若函数 f ( x) = ax + (1+ a )x 在(0, +¥) 上单调递增，则 a 的取值范围是 .
三、解答题
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率 xi

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548
伸缩率 yi

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi ， yi (i = 1, 2,×××,10) ．试验结果如下：




记 zi = xi - yi (i = 1, 2,×××,10) ，记 z1, z2,× × ×, z10 的样本平均数为 z ，样本方差为 s2 ．
（1） 求 z ， s2 ；
（2） 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果




z ³ 2
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否



s2
10
则不认为有显著提高）
18. 在VABC 中，已知ÐBAC = 120° ， AB = 2 ， AC = 1 .
（1） 求sin ÐABC ；
（2） 若 D 为 BC 上一点，且ÐBAD = 90° ，求△ADC 的面积.
2
19. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB ^BC ， AB = 2 ， BC = 2






， PB = PC =






6 ，BP，AP，BC 的


中点分别为 D，E，O， AD = 5DO ，点 F 在 AC 上， BF ^ AO .


（1） 证明： EF / / 平面 ADO ；
（2） 证明：平面 ADO ^平面 BEF；

（3） 求二面角 D - AO - C 的正弦值.



20. 已知椭圆
y2 + x2 =


> > 的离心率是
，点 A(-2, 0) 在 上．

5
C : 1(a
b
0)
C
a2 b2 3
（1） 求C 的方程；
（2） 过点(-2,3) 的直线交C 于 P, Q 两点，直线 AP, AQ 与 y 轴的交点分别为 M , N ，证明：线段 MN 的中点为定点．
21. 已知函数 f (x) = æ 1 + a ö ln(1+ x) .
ç x ÷
è ø
（1） 当a = -1 时，求曲线 y = f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；
ç x ÷
（2） 是否存在 a，b，使得曲线 y = f æ 1 ö 关于直线x = b 对称，若存在，求 a，b 的值，若不存在，说明理
è ø

由.
（3） 若 f ( x ) 在(0, +¥) 存在极值，求 a 的取值范围.
四、选做题
【选修 4-4】（10 分）
22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程


为r= 2sinqæ π £q£ π ö


，曲线C ： ìx = 2 cosa
a为参数， p < a< p ）.


ç ÷ 2
4 2
è ø
í y = 2 sina（ 2

î
（1） 写出C1 的直角坐标方程；

（2） 若直线 y = x + m 既与C1 没有公共点，也与C2 没有公共点，求m 的取值范围.
【选修 4-5】（10 分）
23. 已知 f ( x) = 2 x + x - 2 .
（1） 求不等式 f ( x) £ 6 - x 的解集；


íx + y - 6 £ 0
（2） 在直角坐标系 xOy 中，求不等式组ì f (x) £ y
î

所确定的平面区域的面积.


2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 理科数学
一、选择题



1. 设
z = 2 + i

1+ i2 + i5 ，则 z = （ ）



A. 1- 2i
【答案】B
B. 1+ 2i
C. 2 - i
D. 2 + i


【解析】

【分析】由题意首先计算复数 z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2 + i 2 + i i (2 + i) 2i -1
【详解】由题意可得 z = = = = = 1- 2i ，



则z =

1 + 2i.
1+ i2 + i5
1-1+ i i2 -1

故选：B.
2. 设集合U = R ，集合 M = {x x < 1} ， N = {x -1 < x < 2}，则{x x ³ 2} = （ ）


A. ðU (M U N )
C. ðU (M I N )
B. N U ðU M
D. M È ðU N


【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x | x ³ 2} 即可.
【详解】由题意可得 M U N = {x | x < 2} ，则ðU (M U N ) = {x | x ³ 2} ，选项 A 正确；
ðU M = {x | x ³ 1} ，则 N U ðU M = {x | x > -1} ，选项 B 错误；
M I N = {x | -1 < x < 1} ，则ðU (M Ç N ) = {x | x £ -1或 x ³ 1}，选项 C 错误； ðU N = {x | x £ -1或 x ³ 2}，则 M U ðU N = {x | x < 1或 x ³ 2}，选项 D 错误； 故选：A.
3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（ ）



A. 24 B. 26 C. 28 D. 30

【答案】D
【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = BC = 2 ， AA1 = 3 ，
点 H , I , J , K 为所在棱上靠近点 B1,C1, D1, A1 的三等分点， O, L, M , N 为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体 ABCD - A1B1C1D1 去掉长方体ONIC1 - LMHB1 之后所得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少 2 个边长为 1 的正方形， 其表面积为： 2 ´(2 ´ 2) + 4 ´ (2 ´ 3)- 2 ´ (1´1) = 30 .

故选：D.

4. 已知 f (x) =

xex


eax -1


是偶函数，则 a = （ ）



A. -2
B. -1
C. 1 D. 2


【答案】D
【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.


-1 ax -ax ax
xex



xex
(-x) e- x
x éex - e(a-1)x ù

【详解】因为 f ( x ) =
eax


为偶函数，则 f ( x ) - f (-x ) = - = ë û = 0 ，
e -1 e -1 e -1


又因为 x 不恒为 0，可得ex - e(a-1)x = 0 ，即ex = e(a-1)x ， 则 x = (a -1) x ，即1 = a - 1 ，解得a = 2 .
故选：D.
5. 设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{( x, y ) 1 £ x2 + y 2 £ 4} 内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA
π

的倾斜角不大于

1
A.
8
【答案】C
【解析】
的概率为（ ）
4
1 1
B. C.
6 4



D. 1 2


【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域{( x, y) |1 £ x2 + y2 £ 4} 表示以O (0, 0) 圆心，外圆半径 R = 2 ，内圆半径r = 1 的圆环， 则直线OA 的倾斜角不大于 π 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角ÐMON = π ，
4 4
2 ´ π
结合对称性可得所求概率 P = 4 = 1 .
2π 4
故选：C.


6. 已知函数 f (x) = sin(wx +j) 在区间æ π , 2π ö 单调递增，直线 x = π 和 x = 2π 为函数 y = f ( x) 的图像的
ç 6 3 ÷ 6 3
è ø

两条对称轴，则 f æ - 5π ö = （ ）
ç 12 ÷

è ø

3
A. - B. - 1
2 2




C. 1 2


D. 3 2


【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 x = - 5π 即可得到答案.
12
【详解】因为 f (x) = sin(wx +j) 在区间æ π , 2π ö 单调递增，
ç 6 3 ÷
è ø
所以 T = 2π - π = π ，且w> 0 ，则T = π ， w = 2π = 2 ，
2 3 6 2 T
当 x = π 时， f ( x ) 取得最小值，则 2 × π +j= 2kπ - π ， k Î Z ，
6 6 2

5π f x = æ


5π ö


则j= 2kπ -
6
， k Î Z ，不妨取 k = 0 ，则 ( )
sin ç 2x -
6 ÷ ，

è ø

则 f æ - 5π ö = sinæ - 5π ö = 3 ，
ç 12 ÷ ç 3 ÷ 2
è ø è ø

故选：D.

7. 甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有
（ ）

A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种

【答案】C
【解析】

【分析】相同读物有 6 种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

6
【详解】首先确定相同得读物，共有C1 种情况，

5
6 5
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5 种读物里，选出两种进行排列，共有A2 种， 根据分步乘法公式则共有C1 ×A2 = 120 种，
故选：C.


3
8. 已知圆锥 PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线， ÐAOB = 120° ，若VPAB 的面

积等于 9 3 ，则该圆锥的体积为（ ）
4
B. 6p
A. p


C. 3p D. 3 6p


【答案】B
【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.


3
【 详解】 在 VAOB 中， ÐAOB = 120o ， 而 OA = OB = ， 取 AC 中点 C ， 连接 OC, PC ， 有

OC ^ AB, PC ^ AB ，如图，


∠ABO = 30o ， OC = 3 , AB = 2BC = 3，由VPAB 的面积为 9 3 ，得 1 ´ 3´ PC = 9 3 ，

2

PC 2 - OC 2
解得 PC = 3 3 ，于是 PO = =
2
4 2 4

(3
2
3 )2 - (
3 )2
2
6
= ，

所以圆锥的体积V = 1 π´ OA2 ´ PO = 1 π´ ( 3)2 ´ 6 =
3 3

6π .

故选：B
9. 已知VABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C - AB - D 为150° ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）


A. 1 B. 2
5 5
C. 3 D. 2
5 5


【答案】C
【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取 AB 的中点 E ，连接CE, DE ，因为 VABC 是等腰直角三角形，且 AB 为斜边，则有CE ^AB ， 又△ABD 是等边三角形，则 DE ^AB ，从而ÐCED 为二面角C - AB - D 的平面角，即ÐCED = 150o ，


显然CE Ç DE = E, CE, DE Ì 平面CDE ，于是 AB ^平面CDE ，又 AB Ì平面 ABC ， 因此平面CDE ^ 平面 ABC ，显然平面CDE Ç 平面 ABC = CE ，
直线CD Ì 平面CDE ，则直线CD 在平面 ABC 内的射影为直线CE ，
3
从而ÐDCE 为直线CD 与平面 ABC 所成的角，令 AB = 2 ，则CE = 1, DE = ，在VCDE 中，由余弦


定理得：


CE 2 + DE 2 - 2CE × DE cos ÐCED
CD =


1+ 3 - 2 ´1´ 3 ´ (-
3 )
2
= = 7 ，




由正弦定理得
DE


sin ÐDCE
CD


=
sin ÐCED
，即sin ÐDCE = = ，


3 sin150o
7
3
2 7
1 - sin 2 ÐDCE
1 - (
3 ) 2
2 7
5
2 7
显然ÐDCE 是锐角， cos ÐDCE = = = ，

所以直线CD 与平面 ABC 所成的角的正切为 3 .
5

故选：C
10. 已知等差数列{a } 的公差为 2p，集合 S = {cosa n Î N*}，若 S = {a,b} ，则 ab = （ ）

n 3
A. －1 B. - 1
2
【答案】B
【解析】
n

C. 0 D. 1
2


【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理


作答.
【详解】依题意，等差数列{a } 中， a = a + (n -1) × 2π = 2π n + (a


- 2π) ，


n n 1
3 3 1 3

显然函数 y = cos[ 2π n + (a - 2π)] 的周期为 3 ， 而 nÎN* ， 即 cos a 最多 3 个不同取值， 又

3 1 3 n
n
{cos a | n Î N*} ={a, b} ，

则在cos a1 , cos a2 , cos a3 中， cos a1 = cos a2 ¹ cos a3 或cos a1 ¹ cos a2 = cos a3 ，
于是有cosq= cos(q+ 2π) ，即有q+ (q+ 2π) = 2kπ, k Î Z ，解得q= kπ - π , k Î Z ，
3 3 3
所以kÎZ ， ab = cos(kπ - π) cos[(kπ- π) + 4π] = - cos(k π- π) cosk π= - cos2k π cos π= - 1 .


故选：B
3 3 3 3 3 2



2 y2
11. 设 A，B 为双曲线 x - = 1 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（ ）
9

A. (1,1)
B. (-1, 2)
C. (1, 3)
D. (-1, -4)


【答案】D
【解析】

【分析】根据点差法分析可得 kAB × k = 9 ，对于 A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断； 对于 C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设 A( x , y ), B (x , y
) ，则 AB 的中点 M æ x1 + x2 , y1 + y2 ö ，



1 1 2 2
ç 2 2 ÷




可得 k
è ø
y1 + y2


= y1 - y2 ,k = 2 = y1 + y2 ，


AB x - x
x + x
x + x

1 2 1 2 1 2
2
ì 2 y2
2 2
ïx1 - 1 = 1

因为 A, B 在双曲线上，则í 9 ，两式相减得( x2 - x2 ) - y1 - y2
= 0 ，

ï 2 y
2
x - 2 = 1

1 2 9



y2 - y2
所以 kAB × k = 1 2
1 2
x2 - x2
ïî 2 9

= 9 .


对于选项 A： 可得 k = 1, k AB = 9 ，则 AB : y = 9x - 8 ，
ì y = 9x - 8

ï
联立方程
y2 ，消去 y 得 2 - ´ 72x + 73 = 0 ，

íx2 - = 1


72x 2

îï 9

此时D = (-2´ 72)2 - 4´ 72´ 73 = -288 < 0 ，所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 A 错误；
对于选项 B：可得 k = -2, k = - 9 ，则 AB : y = - 9 x - 5 ，

AB 2 2 2
ì y = - 9 x - 5


ï
联立方程í
ï 2
2 2 ，消去 y 得45x2 + 2´ 45x + 61 = 0 ，
y2


ïîx
- = 1
9


此时D = (2´ 45)2 - 4´ 45´ 61 = -4´ 45´16 < 0 ，


所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 B 错误；

对于选项 C：可得 k = 3, k AB = 3 ，则 AB : y = 3x
由双曲线方程可得 a = 1, b = 3 ，则 AB : y = 3x 为双曲线的渐近线， 所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 C 错误；
对于选项 D： k = 4, k = 9 ，则 AB : y = 9 x - 7 ，
AB 4 4 4
ì y = 9 x - 7

ï
联立方程í
ï 2
4 4 ，消去 y 得63x2 +126x -193 = 0 ，
y2


ïîx
- = 1
9


此时D = 1262 + 4´ 63´193 > 0 ，故直线 AB 与双曲线有交两个交点，故 D 正确； 故选：D.
12. 已知eO 的半径为 1，直线 PA 与eO 相切于点 A，直线 PB 与eO 交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，
2
若 PO = ，则 PA× PD 的最大值为（ ）


A. 1+ 2
2
B. 1+ 2 2
2


2
2
C. 1+ D. 2 +
【答案】A
【解析】

【 分 析 】 由 题 意 作 出 示 意 图 ， 然 后 分 类 讨 论 ， 利 用 平 面 向 量 的 数 量 积 定 义 可 得


2
æ a-
pö ，或 PA× PD =
1
+
2
æ a+
pö
2
è
4 ÷
2

2
è
4 ÷
ø

PA× PD = 1 -
2
sin ç 2 ø
sin ç 2

然后结合三角函数的性质即可确定


PA× PD 的最大值.

2
【详解】如图所示， OA = 1, OP = ，则由题意可知: ÐAPO = 45o ，

OP 2 - OA2
由勾股定理可得 PA = = 1



当点 A, D 位于直线 PO 异侧时，设ÐOPC = a, 0 £ a£ p，
4

uur uuur
æ pö

è ø
则： PA× PD =| PA | × | PD | cos ça+ 4 ÷


= 1´
2 cosacosæa+ pö



ç 4 ÷
è ø



= 2 cos

æ 2 cosa- 2 sin ö

açç 2 2 a÷÷
è ø
= cos2 a- sinacosa
= 1+ cos 2a- 1 sin 2a 2 2
= 1 - 2 æ pö

sin ç 2a- ÷
4
2 2 è ø
0 £ a£ p ，则 p 2 p p

- £ a- £
4 4 4 4
4 4
\当 2a- π = - π 时， PA× PD 有最大值1.

当点 A, D 位于直线 PO 同侧时，设ÐOPC = a, 0 £ a£ p，
4

uur uuur
æ pö

è ø
则： PA× PD =| PA | × | PD | cos ça- 4 ÷


= 1´
2 cosacosæa- pö



ç 4 ÷
è ø


= 2 cos

æ 2 cosa+ 2 sin ö

açç 2 2 a÷÷
è ø
= cos2 a+ sinacosa
= 1+ cos 2a+ 1 sin 2a 2 2
= 1 + 2 æ pö

sin ç 2a+ ÷
4
2 2 è ø
0 £ a£ p ，则p £ 2 p p

a+ £
4 4 4 2

\ 2 p p


1+ 2

当 a+ 4 = 2 时， PA× PD 有最大值 2 .

1+ 2
2
综上可得， PA× PD 的最大值为 .

故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
二、填空题
13. 已知点 A(1, 5 ) 在抛物线 C： y2 = 2 px 上，则 A 到 C 的准线的距离为 .
9
【答案】
4
【解析】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 x = - 5 ，最后利
4
用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ( 5 )2 = 2 p ´1 ，则 2 p = 5 ，抛物线的方程为 y 2 = 5 x ，

准线方程为 x = - 5 ，点A 到C 的准线的距离为1- æ - 5 ö = 9 .
4 ç 4 ÷ 4


9
故答案为： .
4
è ø


ìx - 3y £ -1

í
14. 若 x，y 满足约束条件ï x + 2 y £ 9 ，则 z = 2x - y 的最大值为 .
î
ï 3x + y ³ 7

【答案】8


【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【详解】作出可行域如下图所示：

z = 2x - y ，移项得 y = 2x - z ，


ìx - 3y = -1
î
联立有íx + 2 y = 9
ìx = 5
î
，解得í y = 2 ，


设 A(5, 2) ，显然平移直线 y = 2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则 z 最大， 代入得 z = 8 ，
故答案为：8.

15. 已知{an}为等比数列， a2a4a5 = a3a6 ， a9a10 = -8 ，则 a7 = .
【答案】 -2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对 a2a4a5 = a3a6 化简得 a1q = 1 ， 联立 a9a10 = -8 求出 q3 = -2 ， 最后得

a = a q × q5 = q5 = -2 .
7 1

【详解】设{an}的公比为 q (q ¹ 0) ，则 a2 a4 a5 = a3a6 = a2 q × a5q ，显然 an ¹ 0 ，

则 a = q2 ，即 a q3 = q2 ，则 a q = 1 ，因为 a a = -8 ，则 a q8 × a q9 = -8 ，
4 1 1 9 10 1 1
则 q15 = (q5 )3 = -8 = (-2)3 ，则 q3 = -2 ，则 a = a q × q5 = q5 = -2 ，
7 1

故答案为： -2 .
16. 设 a Î(0,1) ，若函数 f ( x) = ax + (1+ a )x 在(0, +¥) 上单调递增，则 a 的取值范围是 .
【答案】 é 5 -1 ,1ö
ê 2 ÷
ë ø

【解析】

( )
【分析】原问题等价于 f ¢( x) = ax ln a + (1+ a )x ln (1+ a ) ³ 0 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，


æ 1 + a ö x
ln a

÷
可得ç a
³ - ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实
ln 1 + a

è ø

数a 的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 f ¢( x) = ax ln a + (1+ a )x ln (1+ a ) ³ 0 在区间(0, +¥) 上恒成立，


则(1+ a)x
x
æ 1 + a ö
ln (1+ a) ³ -ax ln a ，即ç ÷ ³ -


ln a
在区间(0, +¥) 上恒成立，


æ 1+ a ö0


ln a
è a ø ln (1 + a )

故ç ÷


= 1 ³ -
，而 a +1Î(1, 2) ，故ln (1+ a) > 0 ，

è a ø
ln (1 + a )

ìln (a +1) ³ - ln a
î
故í0 < a < 1
ìa (a +1) ³ 1
即í ，故
î0 < a < 1

5 -1
2

£ a < 1，


结合题意可得实数a 的取值范围是é 5 -1 ,1ö .
ê 2 ÷
ë ø
故答案为： é 5 -1 ,1ö .
ê 2 ÷
ë ø
三、解答题
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率 xi

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548
伸缩率 yi

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi ， yi (i = 1, 2,×××,10) ．试验结果如下：




记 zi = xi - yi (i = 1, 2,×××,10) ，记 z1, z2,× × ×, z10 的样本平均数为 z ，样本方差为 s2 ．
（1） 求 z ， s2 ；
s2
10
（2） 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果




z ³ 2
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否


则不认为有显著提高）

【答案】（1） z = 11， s2 = 61 ；
（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【解析】

【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出 x, y ，再得到所有的 zi 值，最后计算出方差即可；


（2）根据公式计算出 2 的值，和 z 比较大小即可.

s2
10
【小问 1 详解】
x = 545 + 533 + 551+ 522 + 575 + 544 + 541+ 568 + 596 + 548 = 552.3，
10
y = 536 + 527 + 543 + 530 + 560 + 533 + 522 + 550 + 576 + 536 = 541.3 ，
10
z = x - y = 552.3 - 541.3 = 11 ，


zi = xi - yi
的值分别为: 9, 6,8, -8,15,11,19,18, 20,12 ，


61
故 s
2 = (9 -11)2 + (6 -11)2 + (8 -11)2 + (-8 -11)2 + (15 -11)2 + 0 + (19 -11)2 + (18 -11)2 + ( 20- 11)2 + (12- 11)2 =
10
【小问 2 详解】

s2
10
6.1
24.4
s2
10
由（1）知: z = 11， 2 = 2 = ，故有 z ³ 2 ,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
18. 在VABC 中，已知ÐBAC = 120° ， AB = 2 ， AC = 1 .
（1） 求sin ÐABC ；
（2） 若 D 为 BC 上一点，且ÐBAD = 90° ，求△ADC 的面积.

【答案】（1） 21 ；
14

（2） 3 .
10

【解析】

7
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 BC 的值为 BC = ，然后由余弦定理可得cos B = 5 7 ，最后由同
14



角三角函数基本关系可得sin B =
21 ；
14



S△ ABD
S
(2)由题意可得
△ ACD
= 4 ，则 S△ ACD
= 1 S
5


△ABC

，据此即可求得△ADC 的面积.


【小问 1 详解】由余弦定理可得：
BC2 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

= 4 +1- 2 ´ 2 ´1´ cos120o = 7 ，

7
5 7
a2 + c2 - b2 7 + 4 -1
2´ 2´ 7
则 BC = ， cos B = = = ，
2ac 14

sin B =
= = 21 .
1 - cos 2 B
1 - 25
28
14


【小问 2 详解】

由三角形面积公式可得 S△ ABD
S△ ACD

1 ´ AB ´ AD ´ sin 90o
= 2 = 4 ，
1 ´ AC ´ AD ´ sin 30o
2


则 S = 1 S = 1 ´æ 1 ´ 2´1´sin120o ö = 3 .

△ ACD
5 △ ABC
5 ç 2
÷ 10

è ø

2
19. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB ^BC ， AB = 2 ， BC = 2


， PB = PC =


6 ，BP，AP，BC 的


中点分别为 D，E，O， AD = 5DO ，点 F 在 AC 上， BF ^ AO .


（1） 证明： EF / / 平面 ADO ；
（2） 证明：平面 ADO ^平面 BEF；
（3） 求二面角 D - AO - C 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；


（2）证明见解析； （3） 2 .
2

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2） 由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（3） 由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.


【小问 1 详解】

DE, OF

uuur uur

1 uuur


连接 ，设 AF = tAC ，则 BF = BA + AF = (1- t)BA + t BC ， AO = -BA +
BC ， BF ^ AO ，
2

uuur uuur uur uuur uur
则 BF × AO = [(1- t)BA + t BC]×(-BA +
1 uuur uur2
BC) = (t -1)BA
1 uuuur
+ t BC2 = 4(t -1) + 4t = 0 ，

2 2
解得t = 1 ，则 F 为 AC 的中点，由 D, E, O, F 分别为 PB, PA, BC, AC 的中点，
2
于是 DE / / AB, DE = 1 AB, OF / / AB, OF = 1 AB ，即 DE / /OF , DE = OF ，则四边形ODEF 为平行四
2 2
边形，

EF / / DO, EF = DO ，又 EF Ë 平面 ADO, DO Ì 平面 ADO ， 所以 EF / / 平面 ADO .




【小问 2 详解】






由（1）可知 EF // OD ，则 AO =
6, DO =
6 ，得 AD =
2
5DO =
30 ，
2

因此OD2 + AO2 = AD2 = 15 ，则OD ^ AO ，有 EF ^ AO ，
2
又 AO ^ BF , BF I EF = F ， BF , EF Ì 平面 BEF ，
则有 AO ^ 平面 BEF ，又 AO Ì 平面 ADO ，所以平面 ADO ^平面BEF .
【小问 3 详解】
过点O 作OH / / BF 交 AC 于点 H ，设 AD I BE = G ， 由 AO ^ BF ，得 HO ^ AO ，且 FH = 1 AH ，
3

又由（2）知， OD ^ AO ，则ÐDOH 为二面角 D - AO - C 的平面角，
因为 D, E 分别为 PB, PA 的中点，因此G 为VPAB 的重心，
即有 DG = 1 AD, GE = 1 BE ，又 FH = 1 AH ，即有 DH = 3 GF ，
3 3 3 2
6
14
4 + 3 - 15 2

cos ÐABD = 2 2
= 4 + 6 - PA
，解得 PA = ，同理得 BE = 6 ，

2 ´ 2 ´
6 2 ´ 2 ´
2

6
æ 1 ö2
2

6
æ ö2 5

于是 BE 2 + EF 2 = BF 2 = 3 ，即有 BE ^ EF ，则GF 2 = ç ´
÷ + ç ÷ = ，



从而GF =

15 ， DH = 3 ´

15 =

15 ，
è 3 2 ø è 2 ø 3

3 2 3 2

在△DOH 中， OH = 1 BF = 3 ,OD = 6 , DH = 15 ，
2 2 2 2
6 3 15
1 - æ-
2 ö
2
ç 2 ÷
è
ø
+ -
4 4 4 2 2

2 ´ 6 ´ 3
于是cos ÐDOH = = -
2 2
2 ， sin ÐDOH = = 2 ，

所以二面角 D - AO - C 的正弦值为 2 .
2




20. 已知椭圆
y2 + x2 =


> > 的离心率是
，点 A(-2, 0) 在 上．

5
C : 1(a
b
0)
C
a2 b2 3
（1） 求C 的方程；
（2） 过点(-2,3) 的直线交C 于 P, Q 两点，直线 AP, AQ 与 y 轴的交点分别为 M , N ，证明：线段 MN 的中点为定点．
2
2
1
【答案】（1） y + x =
9 4


（2）证明见详解
【解析】


【分析】（1）根据题意列式求解 a, b, c ，进而可得结果；
（2）设直线 PQ 的方程，进而可求点 M , N 的坐标，结合韦达定理验证 yM + yN
2



为定值即可.

【小问 1 详解】
ì
ïb = 2


ìa = 3

由题意可得 ïa2 = b2 + c2 ，解得ïb = 2 ，
í í
5
5
ï c ïc =
ïe = = î


ïî a
2
所以椭圆方程为 y
3

x2
+ = 1.

9 4

【小问 2 详解】
由题意可知：直线 PQ 的斜率存在，设 PQ : y = k (x + 2 ) + 3, P (x1, y1 ),Q (x2, y2 ) ，
ì y = k ( x + 2) + 3

ï
联立方程í y
2 + x2 =


，消去y 得：(4k 2 + 9) x2 + 8k (2k + 3) x +16(k 2 + 3k ) = 0 ，

1
ïî 9 4
则Δ = 64k 2 (2k + 3)2 - 64(4k 2 + 9)(k 2 + 3k ) = -1728k > 0 ，解得 k < 0 ，


可得 x1 + x2 = -
8k (2k + 3)
4k 2 + 9

, x1x2 =
16 (k 2 + 3k )


，
4k 2 + 9



因为 A(-2, 0) ，则直线 AP : y =
y1 x1 + 2
(x + 2 ) ，



y = 2y1
æ 2 y1 ö


令 x = 0 ，解得 x + 2 ，即 M ç 0, x
+ 2 ÷ ,

1

æ 2 y2 ö


è 1 ø

同理可得 N ç 0, x
+ 2 ÷ ，


2 y1
è 2 ø

+ 2 y2



则 x1 + 2
x2 + 2 = éëk ( x1 + 2) + 3ùû + éëk (x2 + 2 )+ 3ùû

2 x1 + 2 x2 + 2

= ëékx1 + (2k + 3)ùû ( x2 + 2) + éëkx2 + (2k + 3)ùû ( x1 + 2) = 2kx1x2 + (4k + 3)(x1 + x2 ) + 4 (2k + 3)

( x1 + 2)( x2 + 2)
x1x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4

32k (k 2 + 3k )

= 4k 2 + 9
- 8k (4k + 3)(2k + 3)
4k 2 + 9
+ 4 (2k + 3) 108
= =

16 (k 2 + 3k )

4k 2 + 9
3 ，
- 16k (2k + 3) + 4 36
4k 2 + 9

所以线段 PQ 的中点是定点(0, 3) .




【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤







（1） 由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2） 证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关； 也可令系数等于零，得出定值；
（3） 得出结论．

21. 已知函数 f (x) = æ 1 + a ö ln(1+ x) .
ç x ÷
è ø
（1） 当a = -1 时，求曲线 y = f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；
ç x ÷
（2） 是否存在 a，b，使得曲线 y = f æ 1 ö 关于直线x = b 对称，若存在，求 a，b 的值，若不存在，说明理
è ø

由.
（3） 若 f ( x ) 在(0, +¥) 存在极值，求 a 的取值范围.
【答案】（1） (ln 2) x + y - ln 2 = 0 ；
（2）存在 a = 1 ,b = - 1 满足题意，理由见解析.
2 2
（3） æ 0, 1 ö .
ç 2 ÷
è ø

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求


解切线方程即可；

(2) 首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a 的方程，解方程可得实数a 的值，最后检验所得的 a, b 是否正确即可；
(3) 原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数 g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1) ，然后对函数求
导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论 a £ 0 ，a ³ 1 和0 < a < 1 三中情况即可求得实数a 的取值
2 2
范围.

【小问 1 详解】

当a = -1时， f ( x ) = æ 1 -1ö ln (x + 1) ，
ç x ÷
è ø

则 f ¢( x) = - 1 ´ln ( x +1) + æ 1 -1ö´ 1 ，
x2 ç x ÷ x +1
è ø
据此可得 f (1) = 0, f ¢(1) = -ln 2 ，
函数在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = - ln 2 (x -1) ， 即(ln 2) x + y - ln 2 = 0 .
【小问 2 详解】

由函数的解析式可得 f æ 1 ö = (x + a ) lnæ 1 + 1ö ，
ç x ÷ ç x ÷
è ø è ø
函数的定义域满足 1 +1 = x +1 > 0 ，即函数的定义域为(-¥, -1) È(0, +¥) ，
x x
定义域关于直线 x = - 1 对称，由题意可得b = - 1 ，
2 2
由对称性可知 f æ - 1 + m ö = f æ - 1 - m öæ m > 1 ö ，
ç 2 ÷ ç 2 ÷ç 2 ÷
è ø è øè ø
取 m = 3 可得 f (1) = f (-2) ，
2
即(a +1)ln 2 = (a - 2 )ln 1 ，则 a +1 = 2 - a ，解得 a = 1 ，
2 2
经检验 a = 1 ,b = - 1 满足题意，故 a = 1 ,b = - 1 .
2 2 2 2
即存在 a = 1 ,b = - 1 满足题意.
2 2
【小问 3 详解】


由函数的解析式可得 f ¢( x ) = æ - 1 ö ln (x + 1) +æ 1 + a ö 1 ，

ç x2 ÷ ç x
÷ x +1

è ø è ø
由 f ( x ) 在区间(0, +¥) 存在极值点，则 f ¢( x ) 在区间(0, +¥) 上存在变号零点;


令æ - 1 ö ln ( x + 1)+ æ 1 + a ö 1


= 0 ，

ç x2 ÷ ç x
÷ x +1

è ø è ø
则-( x +1) ln ( x +1) + ( x + ax2 ) = 0 ， 令 g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1) ，
f ( x ) 在区间(0, +¥) 存在极值点，等价于 g ( x) 在区间(0, +¥) 上存在变号零点，

g¢( x ) = 2ax - ln (x +1), g ¢(x ) = 2a -
1


x +1

当 a £ 0 时， g¢(x) < 0 ， g ( x) 在区间(0, +¥) 上单调递减，
此时 g ( x) < g (0) = 0 ， g ( x) 在区间(0, +¥) 上无零点，不合题意;
当 a ³ 1 ， 2a ³ 1时，由于 1 < 1 ，所以 g'' ( x) > 0, g¢( x) 在区间(0, +¥) 上单调递增，

2 x +1
所以 g¢( x) > g¢(0) = 0 ， g ( x) 在区间(0, +¥) 上单调递增， g ( x) > g (0) = 0 ， 所以 g ( x) 在区间(0, +¥) 上无零点，不符合题意；

当0 < a < 1 时，由 g '' ( x) = 2a -
2
1


x +1
= 0 可得 x =
1 -1 ，
2a

ç
当 x Îæ 0, 1
2a
-1ö 时， g ¢( x) < 0 ， g¢( x) 单调递减，

÷
è ø

当 x Îæ 1 -1, +¥ ö 时， g ¢( x ) > 0 ， g¢( x) 单调递增，
ç 2a ÷
è ø

故 g¢( x) 的最小值为 g¢æ 1 -1ö = 1- 2a + ln 2a ，
ç 2a ÷
è ø
令 m ( x ) = 1- x + ln x (0 < x < 1) ，则m¢( x ) = -x + 1 > 0 ，
x
函数 m ( x) 在定义域内单调递增， m( x) < m(1) = 0 ， 据此可得1 - x + ln x < 0 恒成立，

则 g¢æ 1
-1ö = 1- 2a + ln 2a < 0 ，

ç 2a ÷
è ø


令 h ( x ) = ln x - x 2 + x (x > 0 ) ，则 h¢( x) = -2x2 + x +1 ，
x

当 x Î (0,1) 时， h¢( x) > 0, h ( x) 单调递增， 当 x Î(1, +¥) 时， h¢( x) < 0, h ( x)单调递减，
故 h ( x) £ h (1) = 0 ，即ln x £ x2 - x (取等条件为 x = 1 )，
ë û
ë û
所以 g¢( x) = 2ax - ln ( x +1) > 2ax - é( x +1)2 -( x +1)ù = 2ax -(x2 + x) ， g¢(2a -1) > 2a (2a -1) - é(2a -1)2 + (2a -1)ù = 0 ，且注意到 g¢(0) = 0 ，根据零点存在性定理可知: g¢( x) 在区间(0, +¥) 上存在唯一零点 x0 .
当 x Î(0, x0 ) 时， g¢(x) < 0 ， g ( x) 单调减， 当 x Î( x0 , +¥) 时， g¢( x) > 0 ， g ( x) 单调递增， 所以 g ( x0 ) < g (0) = 0 .

1 æ 1 ö


1 1 æ
1 ö -( x -1)2

令 n ( x ) = ln x - 2 ç x - x ÷ ，则 n¢( x) = -
ç1+

2 ÷ =

£ 0 ，
2


è ø x 2 è x ø 2x
则 n ( x) 单调递减，注意到 n (1) = 0 ，

故当 x Î(1, +¥) 时， ln x - 1 æ x - 1 ö < 0 ，从而有ln x < 1 æ x - 1 ö ，
2 ç x ÷ 2 ç x ÷
è ø è ø
所以 g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1)

> ax2 + x - (x +1)´ 1 é(x +1)- 1 ù


= æ a - 1 ö x2 + 1 ，


2 êë
x +1úû

ç 2 ÷ 2

è ø

令æ a - 1 ö x2 + 1 = 0 得 x =

æ 1 ö
1
1- 2a
，所以 g > 0 ，

ç 2 ÷ 2 2
ç 1- 2a ÷

è ø è ø
所以函数 g ( x) 在区间(0, +¥) 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数a 得取值范围是æ 0, 1 ö .
ç 2 ÷
è ø

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等


函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 四、选做题
【选修 4-4】（10 分）
22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程


为r= 2sinqæ π £q£ π ö
，曲线C ： ìx = 2 cosa
a为参数， p < a< p ）.

4 2
î
ç ÷ 2
è ø
í y = 2 sina（ 2


（1） 写出C1 的直角坐标方程；

（2） 若直线 y = x + m 既与C1 没有公共点，也与C2 没有公共点，求m 的取值范围.
【答案】（1） x2 + ( y -1)2 = 1, x Î[0,1], y Î[1, 2]
（2） (-¥, 0) U (2 2, +¥ )

【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意 x, y 的取值范围；
（2）根据曲线C1 , C2 的方程，结合图形通过平移直线 y = x + m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【小问 1 详解】

因为r= 2 sinq，即r2 = 2rsinq，可得 x2 + y2 = 2 y ，
整理得 x2 + ( y - 1)2 = 1，表示以(0,1) 为圆心，半径为 1 的圆，
又 因 为 x = rcosq= 2 sinqcosq= sin 2q, y = rsinq= 2 sin 2q= 1- cos 2q ， 且 π £q£ π ，则 π £ 2q£ π ，则 x = sin 2qÎ[0,1], y = 1- cos 2qÎ[1, 2] ，
4 2 2

故C1
: x2 + ( y -1)2 = 1, x Î[0,1], y Î[1, 2].


【小问 2 详解】



因为 C2
: ìx = 2 cosa
í y = （2 sina
î

a为参数， π < a< π ）， 2

整理得 x2 + y2 = 4 ，表示圆心为O (0, 0) ，半径为 2，且位于第二象限的圆弧，

如图所示，若直线 y = x + m 过(1,1) ，则1 = 1+ m ，解得 m = 0 ；
m
2
ì = 2

若直线 y = x + m ，即 x - y + m = 0 与C 相切，则ï
，解得 m = 2 ，

2


2



若直线 y = x + m 与C1 , C2 均没有公共点，则 m > 2
即实数 m 的取值范围(-¥, 0) U (2 2, +¥ ) .


【点睛】
í
î
ïm > 0
2
或 m < 0 ，






【选修 4-5】（10 分）
23. 已知 f ( x) = 2 x + x - 2 .
（1） 求不等式 f ( x) £ 6 - x 的解集；
íx + y - 6 £ 0
（2） 在直角坐标系 xOy 中，求不等式组ì f (x) £ y
î







所确定的平面区域的面积.


【答案】（1） [-2, 2] ；

（2）8.
【解析】

【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.

（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.


【小问 1 详解】
ì3x - 2, x > 2
í
依题意， f (x) = ïx + 2, 0 £ x £ 2 ，
î
ï-3x + 2, x < 0
í
不等式 f (x) £ 6 - x 化为： ìx > 2
î3x - 2 £ 6 - x





ì0 £ x £ 2
î
或íx + 2 £ 6 - x





ìx < 0
î
或í-3x + 2 £ 6 - x ，



í
ìx > 2
解
î3x - 2 £ 6 - x
ì0 £ x £ 2
î
，得无解；解íx + 2 £ 6 - x
ìx < 0
î
，得0 £ x £ 2 ，解í-3x + 2 £ 6 - x

，得-2 £ x < 0 ，因此

-2 £ x £ 2 ，
所以原不等式的解集为：[-2, 2]

【小问 2 详解】

ì f (x) £ y
î
作出不等式组íx + y - 6 £ 0 表示的平面区域，如图中阴影VABC ，

由ì y = -3x + 2 ，解得 A(-2, 8) ，由ì y = x + 2 , 解得C(2, 4) ，又 B(0, 2), D(0, 6) ，
î
î
íx + y = 6 íx + y = 6
所以VABC 的面积 S = 1 | BD | ´ x - x = 1 | 6 - 2 | ´ | 2 - (-2) |= 8 .

V ABC 2 C A 2






























































第 29页/共 29页