2022年中考数学真题分项汇编专题09 反比例函数（含解析）

这是一份2022年中考数学真题分项汇编专题09 反比例函数（含解析），共56页。

专题09 反比例函数
一．选择题
1．（2022·湖北宜昌）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（       ）

5
…

…
…
…

…
1

20
30
40
50
60
70
80
90
100
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断
【详解】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系
由表格：；
∴在第一象限内，I随R的增大而减小
∵
∴故选：A
【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减
2．（2021·贵州黔西）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（       ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，
∵A为反比例函数y=图象上一点，∴xy=1，
∴S△ABO=AB•OB=xy=×1=，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直观．
4．（2022·湖北武汉）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
5．（2022·江苏扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（       ）


A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：

由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
6．（2022·天津）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
7．（2022·湖南衡阳）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明，过点做于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点．

则垂直平分，，，
∵，，
∴，∴，∴，∴，
∵在中，，∴，故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明是解本题的关键．
8．（2022·云南）反比例函数y=的图象分别位于（       ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】A
【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵6＞0，
∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
9．（2022·湖南怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
10．（2022·山东滨州）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．
【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2022·江苏宿迁）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则






设 则


而当时，则

∴的最小值是8，
∴的最小值是 故选：C．

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
12．（2022·湖南娄底）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且），过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（       ）
①点、在反比例函数的图象上；②成等腰直角三角形；③；④的值随的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ的解析式，得到A，B的坐标可判断②，由P，Q的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案．
【详解】解： 点、的横纵坐标的积为
点、在反比例函数的图象上；故①符合题意；
设过点、的直线为：
解得：
直线PQ为：
当时， 当时，
所以：

所以是等腰直角三角形，故②符合题意；
点、（且），
点、在第一象限，且P，Q不重合，
故③符合题意；
，而PQ在直线上，
如图，

显然是随的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键．
13．（2022·四川德阳）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（       ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
二．填空题
14．（2022·四川乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______．

【答案】3
【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OD、DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE=，
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO=，
设点D(x，y) ，
∴S△ADO=OA×AD=xy=，
∴k=xy=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键．
15．（2022·湖南株洲）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．

【答案】3
【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
16．（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．

【答案】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：


∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
17．（2022·陕西）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=
【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，
∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数的图象上，
∴m=×2，
解得：m=1，
∴A(−2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=，
∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，
∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=，
故答案为：y=．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
18．（2022·浙江宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________．

【答案】          （，0）
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【详解】解：如图，

作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=，
∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=，
∴ (+)•（a-b）=，
∴2a2-3ab-2b2=0，
∴（a-2b）•（2a+b）=0，
∴a=2b，a=-（舍去），
∴D（2b，），即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，
OD2+BD2=OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2，
∴b=，
∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y=2x，
∴直线DF的解析式为：y=2x-3，
当y=0时，2x-3=0，
∴x=，
∴F（，0），
∵OE=，OF=，
∴EF=OF-OE=，
∴，
故答案为：，（，0）．
【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
19．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．

【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，


∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
20．（2022·江西）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．

【答案】5或或
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
故答案为：5或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
21．（2022·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是______．

【答案】6
【分析】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，

设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，
解得，
∴k=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
22．（2022·浙江舟山）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．

【答案】32
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为
∴
∵，点C与原点O重合，
∴
∵与y轴平行，
∴A点坐标为
∵A在上
∴，解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
23．（2022·四川凉山）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______．

【答案】6
【分析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，
轴于点，
，
的面积为3，
，
解得，
将点代入得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．
24．（2022·山东滨州）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为_______．
【答案】y2＜y3＜ y1
【分析】将点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．
【详解】根据题意，得
当x=1时，y1=，
当x=-2时，y2=，
当x=-3时，y3；
∵-3＜-2＜6，
∴y2＜y3＜ y1；
故答案是y2＜y3＜ y1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目．
25．（2022·四川成都）关于x的反比例函数的图像位于第二、四象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解．
【详解】根据题意得：m-2＜0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
26．（2022·新疆）已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____．
【答案】2
【分析】把点M（1，2）代入反比例函数中求出k的值即可．
【详解】解：把点M（1，2）代入得：xy=1×2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
27．（2022·四川广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 _____．

【答案】4
【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．
【详解】解：过B作于D，如下图．

∵点B在反比例函数的图象上，
∴设．
∵的面积为6，
∴，
∴．
∵点C是AB的中点，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
28．（2022·湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______．

【答案】2
【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，

∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，
∴△OAB∽△HAC，
∴
∵OA=，OB=1，，
∴
∴AH=，CH=2，
∴OH=1，
∵点C在第一象限，
∴C（1，2），
∵点C在上，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．
三．解答题
29．（2022·浙江台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．


(1)求关于的函数解析式；(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
(1)由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
(2)把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
30．（2022·山东泰安）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．

(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
(1)解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
(2)解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
31．（2022·江苏苏州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
32．（2022·湖北黄冈）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．


(1)求y1与y2的解析式；(2)观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
【答案】(1)，；(2)；(3)2．
【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；
（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1 （3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可．
(1)∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，
∴，       ，解得：，   ，
∴y1、y2的解析式为：，；
(2)从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1 ∴x的取值范围为：；
(3)


作CG⊥DE于G，如图，
∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，
∴，CF=t，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，
即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，
∴∠FCA=45°，
∵CG⊥DE， ，
∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴CG==，
∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，
∴线段AC=，
∴，
∵△ACD的面积为6，
∴3t=6，解得：t=2．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．
33．（2022·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3


(1)求k和b的值；(2)若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．
【答案】(1)b=5，k=6
(2)不在，理由见详解
【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
(1)解：由题意得：，∴b=5，k=6；
(2)解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，


由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，∴点，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为，∴点C的横坐标为，
∴点C坐标为，∴CF=4，OF=1，   
∴，，
由旋转的性质可得：，
根据等积法可得：，
∴，∴，∴，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
34．（2022·湖南常德）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．


(1)求的解析式并直接写出时的取值范围；(2)以为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】(1)或
(2)或或或
【分析】（1）由点可求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的对称性可求出，从而求解出时的取值范围；
（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．
(1)解：设，
在反比例函数的图象上，
，
，
由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即，
当或时，；
(2)如图所示，菱形的另外两个点设为M、N，


由菱形的性质和判定可知M、N在直线的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设，则，
菱形AMBN的周长为，
,
，，
，
，即，，
设直线AM的解析式为：,
则：，解得：，
AM的解析式为：，
同理可得AN的解析式为：，
BM的解析式为：，
BN的解析式为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题，涉及了菱形性质的应用，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法，菱形性质的灵活应用是解题的关键．
35．（2022·四川泸州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6

(1)求的值；(2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．
【答案】(1)b=9 (2)C(4,0)，或C(8,0)
【分析】（1）把y=6代入得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入，得到b=9；
（2）解方程组，得到 x=2(舍去)，或x=4，，得到B(4,3)，设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到AE=6，BF=4，根据时，x=6，得到D(6,0)，推出，根据=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)．
(1)解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
∴，x=2，
∴A(2,6)，
∴，b=9；
(2)，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6,0)，
∴，
∴



，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．


【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式．
36．（2022·四川乐山）如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)图中阴影部分的面积为7．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可．
(1)解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=；
(2)解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，
∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
37．（2022·浙江温州）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．

(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当，且时自变量x的取值范围．
【答案】(1)，见解析(2)或
【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
（2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围．
(1)解：（1）把点代入表达式，
得，∴，
∴反比例函数的表达式是．
反比例函数图象的另一支如图所示．

(2)当时，，解得．
由图象可知，当，且时，
自变量x的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
38．（2022·湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2．

(1)求点A的横坐标；(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【答案】(1)A（-1，-2）(2)
【分析】（1）将y=-2代入中即可求解；
（2）由题意可得B（2，），则C（-1，），由即可求解；
(1)解：将y=-2代入中，
，解得：，
∴A（-1，-2）．
(2)由题意可得B（2，），
∵轴，轴，
∴C（-1，），
∴



．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
39．（2022·湖南衡阳）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)或
【分析】（1）分别将，代入反比例函数解析式，即可求得，的值，再将，两点坐标代入一次函数解析式，求得，的值；
（2）若四边形是平行四边形，则，且，即，由此进行求解．
(1)解：将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
(2)解：将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．
40．（2022·甘肃武威）如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．


(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE的面积．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
(1)解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=；
(2)解：方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
41．（2022·江西）如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．


(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；(2)求k的值和直线的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)1；y＝-2x＋6
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
(1)∵点B在y轴上，，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
(2)∵点A和点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：，
∴ 解得，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
42．（2022·浙江杭州）设函数，函数（，，b是常数，，）．
(1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
(2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
【答案】(1)①，；②(2)1
【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；
（2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解．
(1)解：①把点B(3，1)代入，得，∴．
∵函数的图象过点，
∴，
∴点B(3，1)代入，得：
，解得，
∴．
②根据题意，画出函数图象，如图∶

观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方，
∴．
(2)解∶∵点在函数的图象上，
∴，
∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
∴点D的坐标为，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．
43．（2022·四川遂宁）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．

(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当时，或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
(1)解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，
∴y2==-3，
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
(2)解：解方程组，
解得或，
∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
(3)解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
44．（2022·浙江宁波）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．

(1)求点A的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，(2)或
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
(1)解：把的坐标代入，
，
解得，
∴．
又∵点是反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
(2)解：∵点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，
∴或，
当时，，
当时，，
由图像可知，
若点在该反比例函数图像上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
45．（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
(1)将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
(2)设一次函数的图像与轴交点为，

将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
46．（2022·重庆）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．


(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】(1)，图见解析(2)或(3)12
【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；
（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
(1)解：把，分别代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，

(2)解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或；
(3)解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．





47．（2022·四川成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为
(2)或
(3)，
【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；
(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．
(1)
解：把点A的坐标代入，
得，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入，
得k=4，
故反比例函数的表达式为，
，
得，
解得，，
故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；
(2)
解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
，
解得，
故点D的坐标为，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，

得，得，
得，
解得或(舍去)，
故或(舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为或；
(3)
解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图
∵

设，，则


又


即
解得或（舍去）
则点
设直线的解析式为，将点，

解得
直线的解析式为
设，根据题意，的中点在直线上，则
∵
则
解得或（在直线上，舍去）
．
综上所述，．

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．