2022-2023学年浙江省新阵地教育联盟高二（下）第一次联考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省新阵地教育联盟高二（下）第一次联考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省新阵地教育联盟高二（下）第一次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  角的终边过点，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数的图象大致为(    )A.  B.  C.  D. 5.  让名男生和名女生站成一排，且任意相邻两名学生性别不同，则男生甲站在最左端的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知为单位向量，，，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知圆的方程为，下列结论正确的是(    )A. 该圆的面积为 B. 点在该圆内
C. 该圆与圆相离 D. 直线与该圆相切10.  已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的(    )A. 点的坐标为
B. 若直线经过焦点，则
C. 若，则线段的中点到轴的距离为
D. 若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为11.  已知正方体的棱长为，点，，分别是线段，，的中点，则(    )A.
B. 平面
C. 直线与平面所成的角的余弦值为
D. 过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为12.  已知函数及其导函数的定义域均为，记若、均为偶函数，则下列说法正确的是(    )A. 函数的图像关于对称
B.
C. 若函数在上单调递增，则在区间上有且只有个零点
D. 数列前项和，若在上单调递减，且，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  在展开式中，常数项为______ 用数字作答14.  已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为______ ．15.  已知，则 ______ ．16.  若实数，满足，则的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知数列的前项和满足．
证明：数列为等比数列；
设，求数列的前项和．18.  本小题分
已知函数的周期为，图象关于直线对称．
求的解析式；
在钝角三角形中，角，，所对的边为，，，若，，，为的中点，求的长．19.  本小题分
已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的大小．
20.  本小题分
近日，抖音在北京、上海、成都开放商家自主入驻为了从美团嘴里抢到肉，抖音采取了错位竞争的打法首先，抖音配送并不求快在立即配送之外，抖音增加了“预约点餐“形式，即可以预约后面几天的配送时间市餐饮行业协会为掌握本市抖音配送方式的服务质量水平，从用该形式就餐的人员中随机抽取了人，每人分别对其评分，满分为分随后整理评分数据，将得分分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图，如图：
求的值；
现市餐饮行业协会针对本地区成年人使用抖音配送方式是否与性别有关联进行了问卷调查，在人中随机抽取了名成年人样本进行分析．
(ⅰ)请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为使用抖音配送方式与性别有关？  使用抖音配送方式不使用抖音配送方式总计女性__________男性_____总计_______________(ⅱ)现采用分层抽样从使用抖音配送方式的市民中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的男性顾客的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：  
21.  本小题分
已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．
求双曲线的方程；
设，试用表示点的横坐标；
求证：直线过定点．22.  本小题分
定义一种新运算“”：，，，这种运算有许多优美的性质：
如，等．
已知函数，．
当时，求的值；
设有两个零点，，若恒成立，求正实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，解得，所以，
所以．
故选：．
求出，得到答案．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为角的终边过点，
所以，
所以．
故选：．
利用三角函数定义结合诱导公式可得答案．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：函数的定义域为，且，
则函数为定义域上的奇函数，排除选项BD；
又，则排除选项C．
故选：．
由函数的奇偶性排除选项BD，由，排除选项C，进而得到答案．
本题考查根据函数性质确定函数图象，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意可知，名男生和名女生排队顺序有：男女男女男女、女男女男女男两种．每种顺序都要将名男生和名女生分别排序，
即每种排队顺序有种站法，则“让名男生和名女生站成一排，且任意相邻两名学生性别不同”的站法有种．
男生甲站在最左端的排队顺序只能是男女男女男女，其余名男生和名女生分别排序，共有种站法．
所以男生甲站在最左端的概率是．
故选：．
先分析名男生和名女生站成一排，任意相邻两名学生性别不同的站位情况数，再求出甲在最左端的情况数，根据古典概型概率公式计算．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：已知为单位向量，，
则，
即，
即，
不妨设，，，
，
，
，
则对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又，
的几何意义为点与点的距离，
的最大值为．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合两点的距离公式求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了两点的距离公式，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，

设，，，，
由题意可得，且，
两式相减可得，
即，
所以直线方程为，
令，可得，
由知，，
所以直线的方程为，
令，可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，故．
故选：．
根据点差法求出直线斜率，由直线方程求出点横坐标，根据垂直可得斜率，由直线方程得出点横坐标，据此可求出三角形面积，根据均值不等式求最值，利用等号成立的条件求出对应的离心率即可．
本题考查椭圆的几何性质，点差法的应用，基本不等式的应用，化归转化思想，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
则，，，，
，，，，
则，
设，
则，
设与所成角为，
则，
设，
则有，
由存在，则，
解得，即的最大值为，
所以与所成角的余弦值的最大值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标，进而得到，再由向量的夹角公式求解即可．
本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，可知圆心为，半径；
对于：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；
对于：因为，
所以点在该圆内，故B正确；
对于：圆的圆心为，半径为，
因为两圆心距离为，且，
所以两圆相交，故C错误；
对于：圆心到直线的距离，
所以直线与该圆相切，故D正确．
故选：．
首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于，根据圆的面积公式即可判断；对于，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点为，故A错误；
过作直线交抛物线于，两点，显然的斜率存在，
设的方程为，与联立消去整理得，恒成立．
设，，则，，
，故B正确；
，根据抛物线定义得，则，
而由中点坐标公式得点的纵坐标，即为点到轴的距离为，故C正确；
由得，又，
当，
解得：，则直线的倾斜角为，
当，，
解得：，则直线的倾斜角为，故D错误．
故选：．
根据题意，得到抛物线的标准方程，然后联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，对选项逐一判断即可得到结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立坐标系，如图所示，

，，，，，，，
，
，
，故A选项正确；
，
设平面的法向量为，
则即，令，则，，
则，
，
与平面不平行，故B选项不正确；
，
设直线与平面所成的角为，
则，
，故C选项正确；
，
平面，
取、为、的中点，，由几何关系可知，，，则组成一个平面，
由，，，均在平面内，
则平面，即过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如图所示平面，
则截面的周长为


，
故D选项正确；
故选：．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，是否等于零，可判断选项；求出平面的法向量，与判断是否垂直，可判断选项；直线与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据角的关系，求出所要求的结果，即可判断选项；做出过点且与直线垂直的平面的截面图，根据几何关系即可求出其周长，可计算出选项．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于选项A：因为为偶函数，
所以，
可得，
即的图像关于对称，故选项A正确；
对于选项B项：
因为等价于，
等价于，
整理得，
又为偶函数，
所以等价于，
此时，
即，
则的一个周期为，
当时，由，可得；
当时，由，可得，
所以，故选项B正确；
对于选项C：已知图象关于中心对称，关于轴对称，
且一个周期为，
因为在上单调递增，其在一个周期内，
所以有两个零点，
而在中包含个周期，即个零点，
又，
所以在区间上有且只有个零点，故选项C正确；
对于选项D：因为，，
又数列前项和为，
所以，
由项分析可知，结合在上单调递减，且，
可得，
，
，
则，
故选项D错误．
故选：．
由题意，根据函数的奇偶性、周期性和对称性以及数列的前项和对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查函数的奇偶性、周期性以及数列与数列的综合问题，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：展开式的通项公式为：，
令，解得，
所以展开式中，常数项为．
故答案为：．
直接利用展开式的二项式的通项公式求解．
本题考查的知识要点：二项式的展开通项公式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意，可知，
则

，
令，即，
解得，
当时，有，
令，即，
解得，或，
当时，或时，有，
再令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，或，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，，
当时，取得最小值．
故答案为：．
先根据数列的通项公式写出的表达式，再运用作差法，即计算的表达式，然后与比较大小，判断数列的单调性，接着将数列的通项公式与比较大小，分析出数列各项的正负性，最后根据数列的单调性及各项的正负性即可判断出取得最小值时的值．
本题主要考查数列求和的最值问题．考查了整体思想，转化与化归思想，作差法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：．
则．
则．
故答案为：．
利用辅助角公式进行化简，然后利用诱导公式结合二倍角公式可得答案．
本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及诱导公式进行化简求解是解决本题的关键，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：，令，，则，，，
所以
，当且仅当，等号成立．
故答案为：．
，将其还原代入，然后利用基本不等式即可．
本题主要考查基本不等式，对约束条件进行换元是解决本题的关键，属中档题．
 17.【答案】解：证明：，
当时，，
由得，即，即，
又当时，，
，
是首项，公比为的等比数列；
由得，
，


，
数列的前项和． 【解析】由题意得当时，，两式相减化简得到，结合等比数列的定义，即可证明结论；
由得，利用等差、等比数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查等比数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：，
，
图像关于对称，
，，
，，
，，
；
，
，
，，
或，
或，
为钝角三角形，
，
，

在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
． 【解析】由正弦函数的性质即可求出，即可；
由及的取值范围求出，在中，由余弦定理求出和，再在中由余弦定理求出．
本题考查三角函数的性质与解三角形的综合，属于中档题．
 19.【答案】解：取的中点，连接，
，，，
，
，四边形是平行四边形，
则，
则，
即是直角三角形，
，
过作直线，交的延长线于，
则，
连接，
平面，平面，
平面平面，
过作与，
则平面，即是到平面的距离，
则中，，，则，
则，得，得，即到平面的距离是．
建立以为坐标原点的空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，即，设，则，即，
由，即，即，设，则，即，
则，，
则，，
平面与平面是钝二面角，
平面与平面的夹角是． 【解析】过作直线，交的延长线于，根据面面垂直的定义得到平面，即是到平面的距离，然后进行求解即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查点到直线的距离的求解以及二面角的计算，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 20.【答案】解：由，得，
列联表补充完整如下：  使用抖音配送方式不使用抖音配送方式总计女性男性总计零假设为：使用抖音配送方式与性别无关．
根据列联表中数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为使用抖音配送方式与性别有关，该推断犯错误的概率不超过．
由题意得抽到的女性顾客的人数为，男性顾客的人数为．
则的所有可能取值有，，，
；
；

所以的分布列为： 故． 【解析】根据频率分布直方图的面积就是频率，并且和为即可求解；
根据独立性检验和超几何分布概率公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题．
 21.【答案】解：设，
因为，
可得，
所以，
则渐近线方程为．
又到双曲线的渐近线的距离为，
所以，
解得，．
所以双曲线方程：；
不妨设，，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
又，
所以，
则，
解得，；
证明：由知，，
同理，，
所以，
则直线方程为，
令，
则，
即，
所以直线过定点． 【解析】由题意，根据双曲线的性质建立方程求解即可得到双曲线的方程；
得到直线的方程为，将双曲线方程与直线联立，利用韦达定理进行求解即可；
结合中所得点的横坐标推出点的坐标，利用直线的点斜式方程，结合直线方程即可得到直线恒过定点．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 22.【答案】解：当时，，
则，
所以；
由，
即，
则，
当时，，
由指数函数的性质可知在上是增函数，不成立；
当时，，所以，即，解得，
当时，，则在上是增函数，
当时，，
所以在上是减函数，
所以是的极小值点，也是最小值点，且，
要使有两个零点，，
由，
得，
，
所以，
两边同时除以得，，
令，则，
，
，，
则，
记，，
则，
若，则，在上单调递增，从而，
所以，
所以在，
所以，
即时，有，
即恒成立，符合题意；
若，则当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，
又，
所以当时，，，
所以在上单调递增，
所以，，
即不符合题意，
综上所述可得，．
所以正实数的取值范围为． 【解析】根据新运算的定义，求出，即可求出的值；
对求导，讨论和时，要使有两个零点，即，求出，再由，得，令，恒成立可以转化为，令，对求导，得出，即可求出正实数的取值范围．
本题属于新概念题，考查了对数函数的性质、转化思想及导数的综合运用，属于难题．