中考数学二轮专题几何最值问题1000题 （学生及解析版）


1．如图所示，已知矩形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、DC、AD的动点，满足AE＝GC，DH＝BF，AB＝2AD＝10，求四边形EFGH周长L的最小值．

2．如图所示，⊙O1与⊙O2外切于点M，它们的两条外公切线的夹角为60°，点E、F为其中的两个切点，连心线与⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点（异于点M)，过点B作直线交⊙O1于C、D两点，求tan∠BAC·tan∠BAD的值．

3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B(4，0），△ABC为等边三角形，求点C的坐标．

4．如图所示，在△ABC中，中线AM与高BH交于点D，AM＝BH，FD∥AB，FH＝，DM＝4，求DH．

5．如图所示，点A、C在半径为的⊙O上，点B是⊙O内一点，AB⊥CB于点B．已知AB＝6，BC＝2，求OB．

6．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在劣弧上，∠ABD＝45°，BD交AC于点E，连接CD、AD．已知sin∠BDC＝求tan∠CBD．

7．如图所示，在面积为5的正方形ABCD中，点E为边CD上一点，连接AE，过点D作DM⊥AE于点M，连接MC，将△DMC沿DM翻折，点C的对应点为F，连接AF、BF．若S△ABF＝1，求△PMF的周长L．

8．如图所示，△PAB内接于⊙O，点M、N在AB上，，PM⊥AO，PN⊥BO，求．

9．如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC上的动点，且满足∠EAF＝45°．若AB＝2＋，求S四边形AFCE的最大值．

10．如图所示，点M是⊙O的直径AB上一点，AM＝7BM，过点M的直线交⊙O于点P、Q若⊙O的半径为6，求S△APQ的最大值.

11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝（x＋2）（x－8）交x轴于点A、B（点A在点B右侧），交y轴于点C，点D为抛物线上第四象限的动点，连接BD交AC于点P，求的最大值.

12．如图所示，Rt△ABC与Rt△DBC关于公共斜边BC轴对称，点M、N分别是AB、DC上的动点，且满足AM＝DN，若BC＝5，AB＝4，求MN的最小值.

13．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC,AB＋AC＝，求AD的最大值.

14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I分别切AC、BC于点E、F，射线BI、AI分别交直线EF于点M、N，设S△AIB＝S1，S△MIN＝S2，求．

15．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为BC的中点，以点D为圆心，以CD为半径作圆交AB于点E，点F在上，点G在AB上，且∠DFG＝45°.若BC＝12，求AG的最大值.

16．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，且∠BAC＞∠ACD，OD⊥BD，求．

17．如图所示，在等腰Rt△ABC中，点D为斜边的中点，点F、H分别在AB、AC上，AH＝AF，过点F作BH的垂线，交BH于点G，交BC于点E，AD与BH交于点P，若EC＝16，DP＝12，求AH．

18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，连接AD，点P在AD上，连接PC、PB，若tan∠CPD＝2，PB＝，S△APC＝S△BPC，求AB．

19．如图所示，在△ABC中，点D为AC的中点，∠EDF＝90°，tanB＝，若FC＝5，EF＝，求AE．

20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B(－3，0)，C(2，0)，A(0，t)在y轴的正半轴上，满足∠BAC＝45°，求t．

21．如图所示，在扇形ODE中，∠DOE＝90°，△ABC是扇形ODE的内接三角形，其中点A、B、C分别在和半径OE、OD上，∠ACB＝90°，，求线段AC的最小值.

22．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，点E在以点C为圆心、以半径为1的⊙C上，点D为平面上一点，且BD＝AE，求四边形ABED面积的最大值.

23．如图所示，点P（－1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO＝1，点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个交点，并且与坐标轴分别交于C、D两点，求SABCD的最小值.

24．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，矩形内有一动点P，过点P作PE⊥AD于点E，连接PB、PC，求PE＋PC＋PB的最小值．

25．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点均在反比例函数图像上．已知点A（－1，－1)，且AB＝AC，∠BAC＝30°，求S△ACB．

26．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(－2,0)，点B(0,2)，点E，点F分别为OA，OB的中点．将正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，在整个旋转过程中，直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值和FP的最小值．

27．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD 上，则AP＋PQ的最小值为______．

28．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
（1）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2＋CE2，求点E运动路径的长度．

29．如图，是一副学生用三角板，45°的三角板中间有一个直径为2的圆孔，现将30°的三角板穿在圆孔中，则透出部分（图中阴影部分）的最大面积为___ ___．

30．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E，设OD＝a，OE＝b，则a＋2b的取值范围是____ __．

31．如图，点E是边长为1的正方形ABCD的边AB上任意一点（不含A、B），过B、C、E三点的圆与BD相交于点F，与CD相交于点G，与∠ABC的外角平分线相交于点H，则△CFG的 面积的最大值为______．

32．在△ABC中，AB＝3，AC＝．当∠B最大时，BC的长是（ ）
A． B． C． D．
33．已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，求PE＋EF＋FP的最小值．

34．如图1，直线l：y ＝x＋b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0＜AC＜)．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE＝EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．

35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋4的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t＝秒时，点Q的坐标是______；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PTS的最小值．

36．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为______．

37．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，EF⊥AC，求AF＋CF的最小值．

38．如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC，若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．
（1）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（2）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径长．

39．已知如图，∠AOB＝45°，E，F，分别是边OA，OB上动点，EF＝6，内部有一点P，∠PEF＝90°且PE＝1，当E，F，运动时，求线段OP的最大值．

40．已知如图，在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(4,3)，以C为圆心，1为半径的圆上有一点P，求PA2＋PB2的最小值．

41．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，∠PAC＝60°，交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）

A． B．1 C．2 D．
42．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，若连接DE，则△BDE周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．6
43．已知，在平面直角坐标系中，P为以点A(0, )为圆心，2为半径的圆上一动点，则点P与点B(m, m)距离的最小值为（ ）
A．6 B． C．8 D．
44．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）

A． B．9.5 C．34 D．10
45．(2016・武汉四调）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为

46．P在等腰Rt△ABC内，∠BPC＝135°，则的最小值是 .

47．矩形ABCD内接正△DMN，AD＞DC，AD＝2，DC＝m，试确定m的取值范围。

48．正△ABC边长为2，高为AD，△ADC绕点D旋转得到对应△FDE，直线EC、AF交于G，则BG的最大值是 .

49．⊙O半径为1，等腰Rt△ABC，AB＝AC，A、B在⊙O上，求OC的最小值.

50．AB＝2，M在以AB为直径⊙O上，AM逆时针旋转90°得到AN；则ON的取值范围是 .

51．正方形ABCD边长为1，E、F分别在BC、CD上，tan∠EAF＝，FM∥BC交AE于M，则FM的最小值是 .

52．矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，E在BC上，等腰Rt△DEF，DE＝EF，则FA的最小值是 .

53．AB＝4，AC＝，等腰Rt△BCD，BC＝CD，则AD的最大值是 .

54．直角坐标系中，A（3，4），直线上一动点P，以AP为斜边向上作等腰Rt△APM，则OM的最小值是 .

55．AB＝2，BC＝1，CD＝3，直线AB、CD交于E，∠AEC＝60°，则AD的最小值是 .

56．△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D在BC上，CD＝，CD绕点C旋转得到CE，£ AEFB，则FD的最大值是 .

57．如图，∠MON＝60°,A B为OM上的两个定点,AB＝6, OB＝4, P为ON上的一个动点，则AP＋BP的最小值为

58．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（0，1），C（0，4），将线段AB向右平移，在平移过程中，折线和AC＋BC的最小值为 ．

59．△ABC，AB＝2，∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，D、A关于BC对称，M、N分别在AB、CD上，AM＝DN，则MN的最小值是 .

60．△ABC的面积为6，BC＝4，∠BAC＝60°，D、E、F分别在BC、AB、AC上，则△DEF周长L的最小值是 .

61．∠AOB＝20°，OA＝3，OB＝2，M、N分别在射线OA、OB上，则AM＋MN＋NB的最小值是 .

62．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，点P为△ABC内一点，且AP＝4，点D、E分别是AC、AB上的动点，在运动过程中，△PDE的周长最小值是（ ）

A．4 B．4 C．8 D．4
63．（2015・武汉）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是

64．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°, AB＝AC＝10,AD⊥BC于点D, E为AB边的中点，M为AD上的一个动点，则BM＋EM的最小值为

65．如图,E为正方形ABCD边AB上的一点，BE＝3AE＝3, P为对角线BD上一个动点，则PA＋PE的最小值是

66．如图，在直角坐标系中，A（2，0）、B（6，0）在x轴的正半轴上，射线OC在第一象限，且∠BOC＝30°， M为射线OC上的一个动点，则MA＋MB的最小值为 ．

67．点A、B均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示。若P是y轴上使得PA＋PB的值最小的点，且PA＋PB的最小值为m, Q是x轴上使得QA－QB的值最大的点，且QA－QB的最大值为n，则m＝ , n＝ .

68．如图，∠AOB＝60°，C、D为∠AOB内部的两个定点，且OC＝2，OD＝3，∠COD＝30°，M、N分别为OA、OB上的两点，则CM＋MN＋ND的最小值是 ．

69．如图，∠AOB ＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 ．

70．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝3，E、F分别是矩形边CD、AB上的两点，则AE＋EF＋FC的最小值为 ．

71．AB＝4，AB中点P，AM＝1，BN＝4，∠MPN＝135°，则MN的最大值是 .

72．Rt△ABC,∠ACB＝90°,AB＝2，等腰Rt△ADE ,AD⊥DE,E在AB延长线上，C在DE上,F在AD上，AF＝BE，则CF的最小值是 .

73．如图．菱形ABCD中，∠ADC＝120°，M为AB边中点，P为对角线AC上一动点，连接PB，PM，若PB＋PM的最小值是2，求AB的长度．

74．如图，A(0，－4)．B(4，0)，点M为线段OB上一动点(点M与点B不重合)则AM＋BM的最小值为多少？

75．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝1，P在AC上移动，PQ上BP交BC于Q，BQ的最小值是 .

76．等腰Rt△ABC绕点A旋转得到对应等腰Rt△ADE，AB＝BC＝2，O是AC中点，则S△ODE取值范围是 .

77．正方形ABCD边长为4，P在AD上，正方形APMN，O是BM中点，求OP的最小值．

78．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝4，BP＝2，K是PC中点，则AK的最大值是 .

79．正方形ABCD边长为1，M在AD延长线上，MC、AB延长线交于N，MD≤BN，求MN的最小值

80．（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是

A． B． C． D．
81．（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为

A． B． C． D．
82．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（20，0）， C（20，10）.在线段AC，AB上各有一动点M，N，则当BM ＋ MN最小时，点M的坐标是______________.

83．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝5，若M，N分别是线段AC，AB上的动点，则BM ＋ MN的最小值为_______________________.

84．如图 ，在△ABC中 ，AC＝6 ，∠BAC＝22 .5°，M， N分别是射线AB和AC 上的动点 ，则CM ＋MN的最小值是________________.

85．如图 ， 在等边△ABC中 ，AB ＝4 ， P，M，N分别是BC，CA，AB 边上的动点，则PM ＋ MN的最小值是______________________.

86．如图 ，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是 AD和AB上的动点 ，则BM＋MN 的最小值是______.

87．（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是

A．6 B． C． D．4.5
88． 如图，在等边△ABC中AB＝6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是_________________.

89．如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

90．如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，P是AB上一动点，PQ⊥AC于点Q，则PM＋PQ的最小值____.

91．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点.若P，Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则当BP＝_______________ 时，四边形APQE的周长最小.

92．如图 ，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和 1 ，P，E，F分别是CD边，⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是________________.

93．已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

94．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B,C，D分别为线段AB，OB的中点,P为0A上一动点，则当的值最小时，点P的坐标为( )

A．（－3，0） B．（－6，0） C． D.
95．如图,在矩形ABCD中，AB＝5,AD＝3，动点P满足．则点P到A,B 两点距离之和的最小值为 ( )

A． B． C． D.
96．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，，P是对角线OB上一动点，D(0，1).当CP＋DP的长度最短时，点P的坐标为( )

A.(0,0) B. C. D.
97．如图 ，钝角△ABC的面积为18，最长边 AB＝12，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点 ，则CM＋MN的最小值为__________________.

98．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．

99．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则 的最大值是多少？

100．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．

101．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

102．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．

103．如图，，内有一定点，且.在上有一点，上一点．若立△周长最小，则最小周长是多少？

104．已知，，为内一定点，为上的点，为上的点，
当△的周长取最小值时：
(1)找到、点，保留作图痕迹；
(2)求此时等于多少度.如果，又等于多少度？

105．如图，四边形中，,，在、上分别找一点、，使△周长最小，并求此时的度数．

106．（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是

A． B．2 C． D．4
107．如图，，、占分别为射线、上两定点，且，，点、分别为射线、上两动点，当、运动时，线段的最小值是多少？

108．在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

109．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3，0)，B(0，4)，D为边OB的中点．
(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

110．村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？
A
B
l2
l1

111．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是 ．

112．等腰Rt△ABC，AB＝AC＝3，D在AB上，AD＝1，P在BC上，则PA＋PD的最小值是 .

113．四边形ABCD，AB＝BC＝6，∠B＝∠C＝90°，CD ＝9，E是AB中点， EF⊥CD于F，M、N在EF上移动，MN＝2，求MA＋ND的最小值．

114．等腰Rt△ABC，AC＝BC＝1，等腰Rt△BMP，P在AC上，PB＝PM，求MA＋MB的最小值，

115．如图 ，MN是⊙O的直径，MN＝4，点 A在⊙O上，∠AMN＝30°，B 为的中点 ，P是直径MN上一点，则PA ＋PB的最小值为________________.

116．（2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为

A．3 B．4 C． D．
117．如图，在轴上找一点，在轴上找一点，使最小，并求直线的解析式及点、的坐标．

118．（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．

119．在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

120．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________．

121．（2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，
且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为

A． B．， C．， D．
122．（2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为

A．4 B．5 C．6 D．7
123．如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

124．在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

125．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

126．（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为

A． B． C． D．
127．如图，在平面直角坐标系中，点A(5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：平行，AB长为8 .若P是直线l上的动点，则△PAB的内切圆面积的最大值为_______________.

128．如图，等边△ABC的边长为1，D，E，F分别为AB，BC，CA边上的点（与端点不重合），记△DEF的周长为p，则p的取值范围为___________________.

129．（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是

A． B． C．6 D．3
130．如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．

131．已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

132．若点A位于直线m，n的内侧 ，在直线 m，n上分别求点P，Q，使PA＋ PQ ＋ QA周长最短.

133．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_____________.

134．如图，抛物线和y轴的交点为A ，M为OA的中点． 若有一动点P， 自点M处出发 ，沿直线运动至x轴上的某点（设为点 E） ，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点（设为点F） ，最后又沿直线运动至点A，则点P运动的总路程最短为______________.

135．如图 ，在△ABC 中 ，∠A＝ 45°，∠C＝60°，AC＝8，D，E，F分别是BC ，AC ，AB边上的动点，则△DEF周长的最小值为____________.

136．如图 ，将边长为6的正三角形纸片△ABC进行两次对称折叠 ，展平后 ，得折痕AD ，BE（如图①），点O为其交点.
（1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分BE，BC上的动点，
①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度
②如图③若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值为________

137．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．

138．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．

139．【2014成都中考】如图，已知抛物线（k为常数，且k＞0）与轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

140．【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

141．【2018重庆中考】抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）

142．已知等边△ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系吕，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在y轴上，一只电子虫从点A出发，先沿y轴到达G，再沿GC到达C，已知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则G的坐标为

143．如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB ＝ AC，点A(0，)，C(1，0)，D为射线AO上一点， 一动点P从点A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍；要使整个运动时间最短，则点D的坐标应为 .

144．直角坐标系中，A（－1，0），B(0，2)，在y轴上找一点C，使AC＋BC最小，求出点C坐标并证明，

145．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
(1)证明：CE是⊙O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

146．如图，已知抛物线y＝ x2 － 2x－3与x轴交于A，B两点，过点B的直线交抛物线于点E，且．有一只蚂蚁从点A出发，先以1单位长度／秒的速度沿直线爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位长度／秒的速度沿着DE爬到点E处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间为 秒．

147．如图，矩形ABCD的对角线AC．BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)连接AE，若AB＝－ 6cm，BC＝cm，
①求sin∠EAD的值；
②若P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动至点P，再以1.5cm／s的速度沿线段PA匀速运动至点A， 到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

148．【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．

149．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A（－1,0）,B(0, ），C(2，0)，其中对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值.

150．如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝600，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含点B）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600度得到BN，连接EN、AM、CM，则下列结论中正确的是
①若菱形ABCD的边长是1，则AM＋CM的最小值是1 ②△AMB≌△ENB ③S四边形AMBE＝S四边形ADCM
④连接AN，则AN⊥BE ⑤当AM＋BM＋CM的最小值为时，求菱形ABCD的边长2

A.①②③ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤
151．如图,在△ABC中,AC＝4,BC＝3,∠ACB＝30°,M为△ABC内一点,连接AM、BM、CM,且∠AMC＝∠CMB＝∠BMA＝120°,则MA＋MB＋MC＝ .

152．（2019湖北武汉16）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

153．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

154．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

155．等腰Rt△ABC内一点D，AB＝AC＝2，求DA＋DB＋DC的最小值.

156．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当点M在何处时，AM＋CM的值最小？
②当点M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？并说明理由
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为＋1时，求正方形的边长

157．如图，在RT△AOC中，∠OAC＝300，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC为一边作等腰RT△ACP，使得点P在第一象限
（1）求出所有符合题意的点P的坐标
（2）在△AOC内部存在一点Q，使得AQ＋OQ＋CQ最小，请求出这个最小值。

158．如图,在四边形ABCD中,∠B＝60°,AB＝BC＝3,AD＝4,∠BAD ＝90°,点P是四边形内一点，则PA＋PC＋PD的最小值为 .

159．(1)阅读理解:如图1,在△ABC所在平面上存在一点M,使得∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°,且点M到三角形三顶点的距离之和最小,此时我们称点M为△ABC的费马点,MA＋MB＋MC的值为 △ABC的费马距离
(2)知识探究:
如图2,分别以AB、AC为边在△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,BE、CD交于点M
求证:①∠AAB＝∠AMC＝∠BMC＝120°;
②根据(1)中的定义,图2中的点M为△ABC的费马点,线段 的长度即为 △ABC的费马距离,即MA＋MB＋MC＝ ,证明你的结论;

图1 图2 图3
(3)知识应用:
村庄A、B、C构成了如图3所示的锐角△ABC,已知AC＝8km,BC＝10km,∠ACB＝60°,现选取一点M打水井,使水井M到三村A、B、C所铺设的输水管总长度最小,请画图找到 M点,并求输水管总长度的最小值.
160．正方形ABCD内一点P,AB ＝4，则PA＋PB＋PC的最小值是 ．

161．如图，P为等边△ABC形内一点，将△ABP绕A点顺时针旋转60°，得到△ADQ.
（1）若PA＝，PB＝5，∠APB＝105°，求PC的长度；
（2）若PA＝，PB＝6，PC＝，求等边△ABC的边长；
（3）若等边△ABC的边长为6，求PA＋PB＋PC的最小值．

162．如图,在Rt△AOB中,∠A＝30°,点O(0,.0),B(1,0),点A在y轴正平轴上,以AB为一边作等边△ABP,使得点P在第一象限.
(1)请直接写出点P的坐标为 ;
(2)在△AOB内部存在一点Q.使得AQ＋OQ＋BQ之和最小,请求出这个和的最小值.

163．正△ABC边长为1，高AF,AE＝CD，则BD＋CE的最小值是 .

164．如图,在Rt△AOB中,OA＝OB＝,的半径为1,P是AB边上的动点,过点P作的一条切线PQ(Q为切点), 则PQ长的最小值为___________________.

165．如图，已知四边形的两条对角线AC，BD所成的锐角为. 当时，四边形 ABCD面积的最大值是( )

A． B． C． D.
166．P在边长为2的正方形ABCD内，PE⊥AB，PF⊥AD，QE＝QF＝，PQ≤1，则QA的最小值是 .

167．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A,B,C三点的坐标分别为,点D在第一象限，且∠ADB＝，则线段CD长的最小值为___________________.
168．已知点D与点A(0，6)，B(0，－4)，C(x，y)是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足，则CD长的最小值为 ( )
A．10 B． C． D.4
169．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC ＝8，BD＝6，动点P在AB边上运动，以点O为圆心，OP为半径作，直线CQ切于点Q，则在点P的运动过程中，切线CQ长的最大值为____________________.

170．如图，已知点A(3，4)，B为直线上的动点，点C(x，0)且，BC⊥AC于点C，连接AB.若AB与y轴正半轴的所夹锐角为，当的值最大时，x的值为( )

A． B． C．1 D.
171．如图所示，在△ABC中，∠A＝60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点P，连接CO.已知AC＝4，则CO的最小值

172．如图所示，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点、分别为、上的动点。当最小时，点的坐标为 。

173．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN＝PQ＝1，依次连接EM、NP、QF、EF，则六边形EMNPQF周长的最小值为____________。

174．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝900，AB＝6，D为AB的中点，E为CD上的点，且CE＝2DE，PQ为AB上的动线段，PQ＝1，F为AC上的动点，连接EQ、FP，则EQ＋FP的最小值为__________。

175．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，则PM＋MN＋NQ的最小值是______________。

176．如图所示，sinO＝，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC＝5，则△CDE周长的最小值为___________.

177．如图所示，E是正方形ABCD中边BC上的一点，以BE为边在正方形ABCD外作正方形BEFG（A、B、G三点在同一直线上），连接AF，M为AF的中点，AB＝4，则EM的最小值为________.

178．已知梯形中，，，，，。若为线段上任意一点，延长到点，使，再以、为边作□，如图所示，则对角线的最小值为 。

179．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是三角形内(包括边)的一点，点P到AB、BC、AC边的距离分别为d1、d2、d3，则d1＋d2＋d3的最大值和最小值分别为 和 ，并说明分别取得最值时点P的位置．

180．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E、F分别为AD、BC上的动点，且EF⊥AC，连接AF、CE，则AF＋CE的最小值为_____________。

181．如图所示，在扇形AOB中，OA＝12，∠O＝90°，C、D分别为OA、OB上的点，其中OC＝6，OD＝2BD，M为弧AB上的动点，连接CM、DM，则四边形OCMD的面积最大值为 ．

182．如图所示，已知，为上一点，于点，四边形为正方形，为射线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接。若，则的最小值为 。

183．如图所示，在△中，，，点是射线上的一个动点，，点是射线上的一个动点。则长度的最小值是 。

184．在平面直角坐标系中，原点O到直线y＝kx－2k＋4的最大距离为 （ ）

A.2 B.3 C.3＋ D.
185．如图所示，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2），一条动直线l分别与BC、OA交于点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为__________.

186．如图所示，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内(包括边界)分别取点B、C，与已知格点A(每个小正方形的顶点叫做格点)构成三角形，则△ABC的最大面积是 ，请在图中画出面积最大时的△ABC的图形．

备用图
187．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE(点E为切点)，则线段DE的最小值为( ).

A.3－1 B. －1 C. D.4
188．如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，以点C为圆心、1为半径作圆，P为AB上的动点，过点P作⊙C的切线，切点分别为Q、Q′，⊙C的另－条切线分别交PQ、PQ′于点M、N，则△PMN周长的最小值为 .

189．如图所示，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC＋BD＝18时，四边形ABCD的面积最大值是 .

190．如图所示，有两个同心圆，半径分别是2和4，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD的面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 .

191．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点.若∠AEF＝120°，则线段EF的整数值有 个.

192．若10个正整数的和为24，令这10个数的平方和的最大值为a，平方和的最小值为b，则a＋b＝ ．
193．如图所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB＝，E为BC上一点，以BE为边向外作菱形BEFG（A、B、G三点在同一直线上），取AF得中点M，连接EM，AB＝5，则EM的最小值为________.

194．若10个正整数(各不相同)的和为2018，将这10个数从小到大排列，则第5个数的最大值为 ．
195．如图所示，∠AOB＝60°，点C在∠AOB内且OC＝3，以点C为圆心、1为半径作圆，点P、Q分别是射线OA、OB上异于点O的动点，点M在圆C上运动．若圆C和∠AOB两边都没有交点，则MP＋MQ＋PQ的最小值为 ．

196．如图所示，线段AB的端点坐标分别为A（－6，0），B（0，2），点C从（0，4）出发以每秒1个单位长度的速度沿直线y＝4向左平移，同时线段AB也沿x轴的正方向以每秒2个单位长度的速度平移，则经过 s，△ABC的周长最小．

197．如图所示，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝，∠B＝600，E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为____________。

198．如图所示，∠AOB＝90°，GM为∠AOB内(含两边)的两点，且GM＝2，OM＝4，GM/∥OA．若r为△OMG的内切圆半径，则r的最大值为 ．

199．在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC＝90°，AC//OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分别在线段AC、BC上运动，当△MON的面积达到最大时，△MON周长最小，则此时点M的坐标为 ．

200．如图所示，在△中，，，，为的中点，为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，则线段的最小值为 。

201．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点D、E分别为AC、BC边上的动点，且DE＝3，以DE为直径作⊙O，交AB于M、N，则MN的最大值为_______.

202．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF＋GH的最小值是______.

203．如图所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心、2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点且点P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，则线段AB的最小值是________.

204．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若CD＝3，则S△ABC的最小值为_______.

205．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是________.

206．有10个数据，x1，x2，…，x10，已知它们的和为2018，当代数式(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－x10)2取得最小值时，x的值为 ．
207．如图如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E、F分别是AC、CD上的动点，且AE＝CF，连接BE、BF，则BE＋BF的最小值为 ．

208．如图所示，AB为半圆的直径，点O为圆心，AB＝8.若P为AB反向延长线上的一个动点（不与点A重合），过点P作半圆的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，则AC＋BD的最大值为________________.

209．如图所示，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AB＝20，点D、F从点A出发，分别沿AC、AB运动，点D的速度为每秒个单位长度，点F的速度为每秒1个单位长度，过点D作DE//AB，交CB于点E，M为DE的中点，连接MF，则当t为_______时，MF取得最小值，最小值为_______.

210．如图所示，已知在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，E为CD边上一动点，过点E作EF//BD交BC于点F，连接AE，AE的中点为G，连接FG，则FG的最小值为_________.

211．如图所示，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°.M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为_______（结果保留根号）.

212．如图所示，已知AB＝6，P为AB上一动点，分别以PA、PB为边在AB同侧作Rt△APC和Rt△BPD（P、C、D三点共线），且使得AP：PC＝BP：PD＝3：4，分别为△APC、△BPD的内心，则的最小值为_________.

213．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M（8，m），N（n，8）分别是线段AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，m＋n＝_______.

214．如图所示,在矩形ABCD中,AB＝4, BC＝,E为AD上的动点,连接BE,F为BE.上的动点,且满足∠BAF＝∠AEB,M为BC的中点，以MF为边构造等边△MNF(M、N、F三点逆时针),则CN的最小值为____________.

215．如图所示,在矩形ABCD中，AB＝,BC＝6,E、F分别是AD、BC上的动点,CF＝2AE ,连接EF,以EF为边向右构造等边△EFG ,则DG的最小值为____________.

216．如图所示，已知边长为4的正方形CDEF截去一角成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.在AB上的一点P，使得矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM面积的最大值是( )

A.8 B.12 C. D.14
217．如图所示,在等腰△ABC的两腰AB、AC.上分别取点D和E,且AD＝CE.已知BC＝2,则DE的最小值为___________.

218．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点F从点C出发，以2cm/s的速度沿射线CD运动（当点E到达点C时两动点同时停止运动），连接BF、DE，则动点运动的时间t为 时，BF＋2DE取得最小值，最小值为 ．

219．如图所示，BC＝ a，M为BC的中点，∠EMF＝120°，∠EMF绕点M进行旋转，并始终保持∠EMF在BC的上方，在旋转的过程中，点A、D分别在射线ME、MF上运动，连接AB、CD，若始终满足AB＋CD＝b，则在该过程中，线段AD有最 值（填“大”或“小”） ．

220．如图如图所示，在矩形ABCD的边AD上有一动点F，在矩形ABCD内有一点E，其中AB＝6，BC＝10，则EF＋EB＋EC的最小值为 ．

221．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是正方形内的两点，∠AEB＝∠CFD＝120°，则AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值为________________________.

222．如图所示，⊙A的半径为2，l是⊙A的切线向下平移1个单位后所得的直线，点P是l上一动点，PC切⊙A于点C，以PC为边作△PBC，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°，线段PB的最小值为___________.

223．如图所示，点D是△ABC中BC边上的一个动点，点D关于AB、AC的对称点分别是点E和点F，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝8，则EF的最小值是____________________.

224．如图所示，∠BAC＝60°，半径为1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以点P为圆心、PA长为半径的⊙P与射线AB、AC分别交于D、E两点，连接DE，则线段DE的最大值为（ ）

A.3 B.6 C. D.
225．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB＋PD的最小值为（ ）

A. B. A. A.
226．已知，则y的最小值为 .
227．如图所示,在Rt △ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,D是边AB上一点,AD＝8,E是边AC上一点,AE＝BD,F为边BC上一点,且∠DFA＝90°,则线段EF的最小值为___________.

228．在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若点E为CD的中点，则AB＋BE的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．25
229．如图所示，在扇形AOB中，OA＝5，tan∠ABO＝，C是AB上一动点，过点C作CD∥OB交圆弧于点D，则CD的最大值为 ．

230．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点(可与点B、C重合)，分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C'、D'，则BB'＋CC'＋DD'的取值范围是 ．

231．如图所示，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边△ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E.设OD＝a,OE＝b，则a＋2b的取值范围是______________.

232．如图所示，∠ACB＝60°，圆O内切于∠ACB，半径为2.P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM＋2PN的取值范围为____.

233．如图所示，正方形ABCD的边长为10，E为边BC上一动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,M为ED的中点，连接MF，则MF的最小值为___________.

234．如图所示，正方形ABCD中，E为BC上一动点，连接AE将AE顺时针旋转90°至EF，连接BF.若AB＝4，M为BF的中点，则CM的最小值为_________.

235．如图所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），点B为x轴上的动点，那么CB＋AB的最小值为 ．

236．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（－1，0），B（0，），C是线段OB上的动点，则3AC＋BC的最小值为 ，此时点C的坐标为 ．

237．如图所示，在扇形AOB中，△AOB为等腰直角三角形，OA＝4，C是AB上一动点，过点C作CD∥OB交圆弧于点D，则CD的最大值为 ．

238．如图所示，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥1，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是_________________.

239．已知，则y的最大值为 .
240．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AD、DC上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为边BC上一动点，则PA＋PG的最小值为 ．

241．如图所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P时边AB上另一动点，则PD＋PG的最小值为 ．

242．如图所示，在矩形ABCD中，AD＝3，点E为边AB上一点，AE＝1，平面内动点P满足，则的最大值为 .

243．如图所示，在面积为7的梯形ABCD中，AD//BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与点A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE/DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F.则△PEF面积的最大值是________________.

244．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．

245．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足，则点P到AB两点距离之和PA＋PB的最小值为 .

246．如图所示，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x＝____________时，的值最大，最大值是_______________.

247．正方形ABCD边长为2，P在BC延长线上移动，求的最小值.

248．正方形ABCD，E、F分别在边AB、CD上移动，且EF始终经过中心O，当最小时，＝ .

249．Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠A＝60°，D在AB上移动，E在AC上，AE＝BD，F是BC中点，AB＝2，求BE＋DF的最小值.

250．△ABC，角分线AD，BD≥DC，∠BAC=60°，DE⊥AB，DF⊥AC，k=，求k的最大值

251．四边形ABCD，正△ABC，CD=2AD=2，求S△BCD的最大值

252．正△ABC内一点M，∠BMC＝120°，求的最小值．

253．如图，已知⊙O经过点A（2，0），C（0，2），直线y＝kx与⊙O交于B，D两点，则四边形ABCD面积的最大值为__________．

254．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D，E分别是AC，BC边上的点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N两点，则MN的最大值为 （ ）

A． B． C． D．
255．如图，在等边△ABC中，AB＝4，P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是__________．

256．△ABC，BC＝AC，∠ABC＝30°，AD＝4BD＝8，∠FDE＝60°，E、F分别在射线AC和射线BC上，则EF的最小值为 .

257．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，经过点A的圆F交AB于点D，ED＝ EB，则EF的最小值为 （ ）

A．3 B．2 C． D．2
258．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值是__________．

259．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，P为直线AC上一动点，连接PB，将线段PB绕B点顺时针旋转60°，P的对应点为P＇，求出P＇C的最小值

260．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行，回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开，所得侧面展开图是 （ ）

261．如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M．N，则线段MN的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．6 D．4
262．如图，点A的坐标为（－1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）

A．（0，0） B．（，－） C．（－，－） D．（－，－）
263．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过三个面爬到点B．如果它运动的路径是最短的，则AC＝__________．

264．如图，已知直线y＝x－3与x轴，y轴分别交于点A，B，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值是 （ ）

A．8 B．12 C． D．
265．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC可以发生变化，以BC为底边作等腰Rt△BCM，直角顶点M和点A在BC的异侧，试探索当∠BAC满足什么条件时，线段AM有最大值？并求这个最大值.

266．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为形外一点，若BP＝2，CP＝．
（1）请直接写出：当∠BPC＝ 时，线段AP取得最大值为 ；
（2）若∠BPC＝60°，求AP的长度．

267．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为形外一点，若AP＝，CP＝4．
（1）请直接写出：当∠APC＝ 时，线段BP取得最大值为 ；
（2）若∠APC＝75°，求BP的长度．

268．如图，△ACD中，AD＝3，CD＝，∠ACB＝90°，AC＝BC，则BD的最大值为

269．如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，4），B点的坐标为（4，－1），C 点的坐标为（0，1），过点C作x轴的平行线CD，M 为CD上的一个动点，MN⊥x 轴于点 N，连接AM、BN，则 AM＋BN的最小值为 ．

270．如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC，求∠B＝90°，AD＝3，AB＝BC＝9，MN为AB上的一条动线段，且MN＝2，连接CN、DM，则四边形CDMN周长的最小值为

271．如图，在等边△ABC中，P为形外一点，若AP＝6，CP＝4.
（1）请直接写出：当∠APC＝ 时，线段BP取得最大值为 ；
（2）若∠APC＝60°.
①等边△ABC的边长；
②求BP的长度.

272．已知△PAB中，PA＝4，PB＝，以AB为直角边，点A为直角顶点向形外作等腰直角△ABD，连接PD，则PD长的最大值为

273．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为△ABC外一点，PB＝7，PC＝3，求AP最小值.

274．如图，已知等边△ABC中，AB＝10．两顶点B，C分別在平面直角坐标系的y 轴，x轴的正半轴上滑动，连接OA．求OA长的最小值．

275．如图，在△ABC中，AC＝4，AB＝，∠ACB＝30°，CB＞CA，点P是△ABC内一动点，求PA＋PB＋PC的最小值

276．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC可以发生变化，以B为直角顶点BC为腰作等腰△BCM，点M和点A在BC的异侧，试探索当∠BAC满足什么条件时，线段AM有最大值？并求这个最大值.

277．如图，正方形ABCD中，AB＝2，MN 为对角线BD上的一条动线段，且MN＝，连接 CM、CN，则 CM ＋CN的最小值为 ．

278．如图，AB＝5，P是线段AB上的动点．分别以AP，BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF．求CF的最小值．

279．如图，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm．点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边BC上，从点C向点B移动，若点P、Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时,另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）.

A. 20 cm B. 18 cm C．cm D. cm
280．如图，在ñABCD中，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若AB＝5，BC＝10，则当BE＝ ,CE2－CF2取得最大值为 .

281．如图，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在直线AB的同侧作等边△ABC，等边△APD和等边△BPE，则四边形PDCE的面积的最大值是 。

282．如图，点A、B、C、D均在坐标轴上，OA＝OB＝6，OC＝OD＝4，连接AB，M为AB上任意一点，连接MC、MD，则MC＋MD的最小值为 ，的最大值是

283．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B点与原点重合，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，当动点A以2单位∕秒的速度从（0，6）向原点运动，同时动点B以1单位∕秒的速度从原点沿x轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，线段OC的最小值为 。

284．如图，A点的坐标为（0，4），动点P在x轴上运动，以P为直角顶点作等腰R△APQ（A、P、Q按逆时针顺序），求OQ的最小值.

285．如图，已知∠MON＝30°，A、B为OM上的两个定点，OA＝10．OB＝4，P、Q为ON上的两个动点，点P在点Q的右侧，则AP＋PB＋BQ的最小值为 。

286．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ．

287．如图，已知∠MON＝30°，A为边OM上的一个定点，OA＝6，P、Q分别为ON、OM上的两个动点，则AP＋PQ的最小值为 ．

288．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝2，AD＝4，M、N分别是BC、CD上的两点.
（1）如图1，△AMN周长的最小值为 ，此时∠MAN＝ ；

（2）如图2，AM＋MN的最小值为 ，此时∠AMN＝ .

289．在△ABC中，∠A＝45°，AB＝7，AC＝．
（1）如图1，AH⊥BC于点H，求AH的长度.
（2）如图2，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的动点，则△DEF的最小周长为 .

290．在边长为6的等边△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC边长的动点。
（1）若BD＝2，则△DEF的周长的最小值为 .
（2）若D点也可以在BC上运动时，则△DEF的周长的最小值为 .

291．如图，∠MON＝20°，定点A的在OM边上，且OA＝4，C为OM上的一个动点，B、D为ON上的两个动点，则AB＋BC＋CD的最小值为 .

292．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，E是AD上的动点，F是AC边上的动点，则CE＋EF的最小值为 ．

293．如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的取值范围是 .

294．如图，在等边△ABC中，D为AB边的中点，E为BC边上的一个动点，以DE边作等边△DEF(F点在DE的右侧)，若AB＝2．
（1）连接AF，则AF的最小值为 ；
（2）连接AF、BF，则AF＋BF的最小值为 ．

295．如图，边长为2的等边△ABC中，射线DE垂直平分BC，M是射线DE上的一个动点，连接CM，将线段CM绕点C顺时针旋转60°得到CN，连接DN，则在点M运动过程中，线段DN长度的最小值是 ．

296．如图，在△ABC中，AC＝6，∠BAC＝60°，D、E分别为边AB、边AC上的两个动点，以DE为边在DE的下方作等边△DEF，O为等边△DEF的中心，连接CO，则CO的最小值为 ．

297．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC延长线上的一个动点，以A为直角顶点，AD为腰在AD的右侧作等腰Rt△ADE，AC＝BC＝2，M为AB中点，连接ME，当点D在射线BC上运动的过程中，线段ME的最小值为 ．

298．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝1，P为AC边上的一个动点，以P为直角顶点BP为腰作等腰Rt△BMP，∠BPM＝90°，PB＝PM，则MA＋MB的最小值为 ．

299．如图，∠MON＝90°，A为ON上的一个定点，且OA＝6，P为OM上的一个动点，以AP为边在直线AP的下方作等边△APQ，连接OQ，在P点的运动过程中，线段OQ的最小值为 ．

300．如图，在△ABC中，AB＜AC，AC＝6，∠BAC＝60°，P为边AC上的一个动点，以BP为底边在BP的上方作等腰△BPQ，其中BQ＝PQ，∠BQP＝120°，连接CQ，则CQ的最小值为 ．

301．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，BC＝8，D、E分别为AB、AC上两个动点，且AD＝CE，连接CD、BE，则BE＋CD的最小值为 ．（可保留符合二次根式，不要求化简）

302．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，P、Q分别为对角线AC、边CD上的两点，且AP＝CQ，则BP＋BQ的最小值 ．

303．已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BD、CB上的动点，且DE＝BF，则线段和AE＋AF最小值为 ．（可保留复合二次根式，不需要化简）

304．如图，在边长为6的等边△ABC中，D为AC的中点，射线DE//BC，M、N分别为线段AB与DE上的点，连结CM、CN，若BM＝DN，求CM＋CN的最小值．

305．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，P、Q分别为边AB、边AC上的两点，且AP＝CQ，则DP＋DQ的最小值为

306．如图，若AD为边长为a的等边△ABC的高线，E、F分别为AD、AC上的两点，且AE＝CF，当∠BFC的度数为多少时，线段和BF＋CE取得最小值，并求这个最小值．

307．如图，若∠MON＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当点 B 在边ON 上运动时，点 A 随之在边 OM 上运动，且矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB＝2，BC＝1，在运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 ．

308．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当点 B 在边 ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，△ABC 的形状始终保持不变，在运动过程中，点C到点O的最小距离为 ．

309．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC 的边长为定长6，A、B两点分别在y轴正半轴、x轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ．

310．如图，已知∠MON＝90°，斜边为2的Rt△ABC的锐角顶点 A、B分别在边 OM，ON 上，当点B在边ON上运动时，点 A 随之在边OM上运动，直角三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O的最大距离为 ．

311．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上的一动点，过点C 作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH 的最小值为 ．

312．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠1＝∠2，则线段BP 长的最小值为 ．

313．如图，正方形ABCD 的边长AB＝4，E、F 分别为边 BC、CD上的两点，且BE＝CF，连接 AE、BF交于点P，则CP的最小值为 ．

314．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点 D 是△ABC所在平面上的一个动点，且AD＝2，连接 BD，E 为BD 的中点，则线段CE长的最大值为 ．

315．已知a＋b＝5，则－的最大值是_________________.
316．已知x＋y＝12，则＋的最小值是_________________.
317．阅读材料：
例题：说明代数式的几何意义，并求它的最小值。
解：＝。

如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值。
设点A关于x轴的对称点为，则PA＝。因此，求PA＋PB的最小值，只需求＋PB的最小值为线段的长度。为此，构造Rt△，因为＝3，CB＝3，所以，即原式的最小值为。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成是在平面直角坐标系中，点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和，并求它的最小值；
（2）求代数式的最小值。
318．在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），点B（－6，0），∠ABO的平分线交y轴于点C.
（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，将线段BC沿x轴向右平移得到B1C1，连接AB1、AC1.
①设BB1＝m，其中0＜m＜6，试用含m的式子表示AB12＋AC12，并求出使AB12＋AC12取得最小值时m的值；
②当AB1＋AC1取得最小值时，求m的值.

319．如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?

320．有一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐的底面周长为12m，高AB为5m，问所建梯子最短需要多少米？

321．如图，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2．若一只蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求蚂蚁爬行的最短路线的长．（结果保留根式）

322．已知长方体的长、宽、高分别为:30cm、20cm、10cm,一只蚂蚁从A处出发到B处觅食,求它所走的最短路径.(结果保留根号)

323．有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离。

324．如图，桌上有个圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长 18 cm ，在杯内壁离杯口 3 cm 的 A 处有一滴蜂蜜，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜂蜜相对方向离桌面 3 cm 的 B 处时，突然发现了蜂蜜．问小虫怎样爬去吃蜂蜜最近 ? 它至少爬多少路才能到达蜂蜜所在的位置 ?

325．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体.一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面爬到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_______分米。

326．在一个长为5米，宽为4米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是_____________米.

327．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是__________.

328．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一个小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示.若沿OA剪开，则得到圆锥侧面展开图为（ ）

329．如图是一个边长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路程.

330．如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则最短距离为 。

331．如图,圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在圆柱表面爬行,从A点到B点,路线如图,则最短路程为 。

332．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB^BC，AD＝1，BC＝3，P为AB边上一动点，连接PD并延长至点E，使得PD:PE＝1:3.以PE，PC为边作, PEFC，连接PF，则PF长的最小值为 .

333．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE.若点M是AB的中点，则ME的最小值是 .

334．（2017・武汉四调）已知四边形ABCD，∠ABC＝45°，∠C＝∠D＝90°，含30°角（∠P＝30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M，N分别在边AD，BC上，延长NM到点Q，使QM＝PB．若BC＝10，CD＝3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为

335．在平面直角坐标系中，A（4，0），直线l：y＝6与y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，当点P的横坐满足0≤x≤8，则点Q的运动路径长为
336．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝ ，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF＋2AE的最小值是 .

337．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径长为 cm

338．（2016武汉4调）如图，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，过A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为BC的中点，则PM的最小值为 .

339．如图，在等边△ABC中，边BC的长度为6，P在BC上从B点运动到C，将线段AP绕A点逆时针旋90°转到AP＇，连接PP＇，M为线段PP＇中点，当P从B运动到C时停止，则在整个运动过程中，M点运动的轨迹的长度为

340．如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动，两点同时以相同的速度出发，记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成路径长，

341．如图，Rt∧ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，D在CB的延长线上，BD＝2，点M在线段CD上运动，点N在CA的延长线上，始终满足AN＝2BM，MN的中点为P，当M从点D运动至C点时，P点运动的路径长为

342．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是射线DA上的一个动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折，得到△A'EF，则A'C的长的最小值是 ，A'C的长的最大值是 .

343．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），P为y轴上的一动点，PQ⊥AP，且tan∠PAQ＝（P，A，Q三点为逆时针顺序），则OQ的最小值是 .

344．已知四边形ABCD，ABC＝45°，C＝D＝90°，含30°角（P＝30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在AD、BC上，延长NM到点Q，使QM＝PB，若BC＝10，CD＝3，则当点M从A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为 ．

345．在平面直角坐标系中点A（4，0）绕点P（x，y）顺时针旋转90°至B（1，m），若1≤m≤3，则P点运动的路径

346．（2016年中考）如图已知A（4，4），B（2，0），以A为顶点的直角CAD分别交x轴于D，交y轴于C，连接CD，M为CD中点，求线段BM的最小值
【分析】连接OA，OM，AM
⑴线段AM OM（填写“＞”“＜”或“＝”）
⑵由（1）知点M在线段OA的 上．
⑶所以动点M的轨迹就是线段OA的垂直平分线，设线段OA的垂直平分线为l，则直线l的解析式为
⑷当BM与直线l满足： （填写位置关系）时，线段BM最小为

347．如图，在△ABC＝90°，AC＝BC＝4，M为AB的中点.D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，AN，MN.

（1）如图①，当BD＝2时，AN＝ ，NM与AB的位置关系是 ；
（2）当4＜BD＜8时，
①依题意补全图②；
②判断（1）判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，求ME长的最小值.
348．如图，在△ABC中，ÐBAC＝90°，AB＝AC＝2，线段BC上一动点P从点C开始运动，到点B停止，以AP为边AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径长为 .

349．如图，在边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M的运动过程中，线段HN长的最小值是 .

350．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ÐBAC＝ÐDAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 .

351．抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，M为抛物线顶点，MN⊥x轴于N，点P是线段MN上的动点，过P作PE⊥CP交x轴于E，当P从M运动到N时，求动点E的运动路径长？

⑴C点坐标为 ，M的坐标为 ，N的坐标为 ，直线MN的解析式为 ．
⑵设P（1，m），E(n，0)，则CE＝ ，CP＝ ，PE＝ ．
⑶CE，CP，PE的数量关系为 ，得到n＝ （用含m的代数式表示）；
⑷根据题意，m的取值范围是 ；
⑸当P与M重合时，E的坐标为 ，即E的起点；当P与N重合时，E的坐标为 ，即E的终点；当m＝ ，n有 （填写“最大值”或“最小值”），此时E的坐标为 ，即E的极端点；E由起点至极端点的运动路径长为 ，E由极端点至终点的运动路径长为 ，所以动点E的运动路径长为 ．
352．点M，N是边长为4的等边△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使点A恰好落在BC边上的D点处，当D从B移动到C的过程中，点N随之运动的总路径长为多少？

353．正方形ABCD中，一块直角三角板MNP，P＝90°，MNP＝30°，MN＝AB＝4，点M靠在AB上滑动，点N靠在BC上滑动，点P在正方形内部，则在点M从A滑动至点B的过程中，求点P移动的路径长．

354．（2016年江岸期中）在等腰Rt△ABC中，BAC＝90°，BC＝2，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边作等边△APQ（点A，P，Q为顺时针），求Q点运动的路径长

⑴点P在线段BC上运动，在线段BC上任取一点，为了作图和计算方便，可取特殊点C，如右图所示，以AC为边同向构造等边△ACD，连接DQ
（2）则△ACP △ADQ ，ADQ ACP＝ °（填写度数）
（3）由于A，B，C是定点，所以点D是 ．（填写“定点”或“动点”）
所以AD为 （填写“定”或“动”）线段
⑷动点Q与定点D的连线与定线段AD的夹角始终等于 °；（填写度数）
⑸当P与C重合时，Q与 点重合；当P与B重合时，Q与 点重合；（看图作答）
⑹所以Q点的运动路径长就是线段 的长，且长度为 ．
355．如图，A（4，0），M（0，4），N（0，－4），点B在y轴上从点M运动到点N，以AB为边作等边△ABP（点A，B，P为逆时针），则点P运动路径长为 ，OP最短为 ．

356．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，点O是边BC上的一动点，把线段OA绕点O顺时针旋转90°，得到线段OA'，则MA'的最小值是 .

357．如图AD∥BC，A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，E为AB上一点，BE＝2，点F在BC边上运动，以EF为边作菱形FEGH，使点H落在边AD上，点G落在梯形ABCD内部或其边上（1）求证G点在一条定直线上运动（2）求△CFG面积的取值范围．

358．如图Rt△ABC中，BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若EF的中点为Q，当P由B运动到C时，求点Q的运动路径长

359．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，正方形EFGH绕点E旋转，直线FB与直线CH相交于点P，若AB＝2，∠DBP＝75°，则DP 2的值是_____________．

360．正△ABC边长为4，D在边AC上运动，等腰Rt△BDP，∠BPD＝90°，则AP的最小值是 .

361．矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，等腰Rt△AEF，AE＝EF，E在BD上，当E从B运动到D时，F的路径长是 .

362．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），点C为x轴上的一动点，过点C作CB⊥AC，且使∠BAC＝30°（A，C，B三点为逆时针顺序），则OB的最小值为 .

363．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，以CD为边在矩形的外部作△CDE，且S△CDE＝16，连接BE，则BE＋DE的最小值为 .

364．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，点D为线段AC上的一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为点E，则AE的最小值为 .

365．A（0，3），点B在x轴上从（－3，0）运动至（3，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°至线段CB，过C作CD∥y轴，D在C的下方，CD＝BO，则D的运动路径长为 ．

366．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．

367．如图，在Rt△ABC中，ÐB＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC边上.在以AC为对角线的, ADCE中，DE长的最小值是 .

368．如图，在等边△ABC中，BC＝6，D,E是BC边上的两点，且BD＝CE＝1，P是一动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过BG扫过的区域面积为 .

369．如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

370．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

371．【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

372．如图，已知, OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .

373．如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

374．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

375．四边形ABCD，正△ABD，AH⊥CD，BC＝，CD＝13，求AH．

376．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值为__________．

377．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B是以点M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC长的最小值为__________．
378．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以AB边的中点O为圆心，作半圆与AC边相切，点P，Q分别是BC边和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是 （ ）

A．6 B．2＋1 C．9 D．6.5
379．【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．

380．已知，如图，△ABC中，AC＝3，BC＝AB，求△ABC面积的最大值．

381．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

382．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC 的平分线分别交AB、AC于点E、F．若AC＝12cm，BC ＝5cm，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC的周长的最小值是 cm．

383．等边三角形ABC的边长为6cm，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC 边的高OA在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是2cm/秒，在GC上运动速度为1cm/秒，则电子虫走完全程的最短时间为（ ）

A．3秒 B．3秒 C．6秒 D．(3＋)秒
384．等腰Rt△ABC,AB＝AC＝3,D在CA的延长线上，AD＝1，P在△BCD外接圆⊙O上，则PA＋2PB的最小值为 .

385．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB交于A(－4，－4)，B(0，4)两点，直线AC：y＝－x－6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求二次函数y＝－x2＋bx＋c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM ＋CM的最小值．

386．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A(0，2)，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）

A． (0，） B．(0，） C．(0，） D．(0，）
387．如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

388．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4），点的坐标为(－1，0），若P为线段OA上一动点，则CP＋AP最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
389．正方形ABCD边长为4，以AB为直径在正方形内作半圆⊙O，点G在半圆⊙O上移动，M、N分别是CD、CB中点，则2NG＋MG的最小值为 .

390．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC ＝8，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两动点，且PQ＝2，则当BP＝____ __时，四边形APQE的周长最小．

391．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点D，△COD关于CD的对称图形为△CED．连接AE，若AB＝4cm，BC＝ cm．若点P 为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．

392．矩形ABCD内一点E，∠AEB=90°，AB=2，BC=2正△EFG，F是BC中点，则GC的最小值是 ，GD的最小值是 ，GD+GC的最小值是

393．菱形ABCD边长为4，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，以A为圆心，AH为半径作⊙A，M在⊙A上移动，求MB+MD的最小值.

394．如图，在中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值是 ．

395．已知，如图，在平面直角坐标系中，D(2，0)，⊙D的半径为2，A(－6，0)，B(0，3.6)，P为⊙D上一点，求BP＋AP的最小值．

396．如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－ x＋b与抛物线的另一交点为D．若点D的横坐标为－5，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

397．如图，已知AB是⊙O的直径，OA＝1，AC，BD分别为⊙O的切线，且AC＝1，BD ＝2，P为弧AB上一动点，求PC＋PD的最小值．

398．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，CA＝9，⊙C半径为3，P为⊙C上一动点，连结AP，BP，则AP＋BP的最小值为（ ）

A．7 B．5 C．4＋ D．2
399．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为2时，求⊙O的直径AB的长．

400．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，求蚂蚁从A到E的最短时间．

401．如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋ CP的最小值为______．

402．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，AB＝8，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为______．

403．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路6千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是2千米，一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过______小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

404．已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(1，0)，若动点P满足：PA＝2PB，点P的路径所包围的面积为（ ）
A．π B．4π C．8π D．9π
405．已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动，当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是______．

406．如图，在平面直角坐标系中，M(6.5，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋ PN的最小值为______．

407．Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，D在直线AB上移动，∠CDE＝30°，∠CED＝90°，BC＝4，当AE最小时，BE＝ .

408．菱形ABCD边长为4，∠B＝60°，P在BC上移动，PA＝PQ，∠APQ＝120°，求DQ的最小值与△QPD面积S的最小值.

409．菱形ABCD边长为3，∠BCD＝60°，E在CD上移动，AE、BC的延长线交于F，BE的延长线交DF于G，则GB的最大值是 .

410．正方形ABCD边长为2，E、F分别在AD、BC上移动，FC＝(＋1)AE，正△EFG，则DG的最小值是 .

411．∠BAM=∠ABN=90°，∠MPN=60°，AP=2PB=2，求S△PMN的最小值.

412．正△ABC边长为2+，PB⊥AB，PC⊥AC，M、N分别在PB、PC上，∠MAN=30°，则S△AMN最小时，MN=

413．如图，线段AB＝10，点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝2，点O是MN上一动点，分别以AO、OB为边作两个等边三角形，连接DC.当点O从M运动到N时，CD的中点T所经过的路径的长为 ．

414．在平面直角坐标系中，已知A（0，2），M（m，0）．以AM为边在AM的右侧作等边AMC，若－1≤m≤3,则C点运动的路径长 .
415．在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以C为旋转中心，将A(0，5)逆时针旋转90°到B（m,1），若－6≤m≤6，求点C运动的路径长．
416．如图,正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线线交射线BC于点G，迮接EG，FG,P是MG的中点，求点P的运动路线的长．

417．如图，边长为4的等边△AOB如图置于坐标系中.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点〇向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间t秒.在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC.
(1＞当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为；
(2)在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）在点P从点O到点A的运动过程中.求出点C所经过的路径长.

418．如图.等腰Rt△ABD中,∠BAD＝90°,AB＝AD＝2，以AB为直径作半圆O,C是半圆上的任意一点，连接AC，BC,延长AC到点P,使CP＝CB.当点C从A运动到B时，求动点P的运动路径长.

419．如图，已知BC＝6，以BC为直径作半圆，圆心为O,A为半圆上方一点，且∠BAC＝60°,AB，AC交半圆于D,E两点，P为△ADE外心，当D从B点出发沿半圆顺时针运动到E与C重合为止，求P点的运动路径长.

420．等边三角形ABC的边长为6，在AC,BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P.
(1)若AE＝BF，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
(2)若AE＝CF,当点E从点A运动到点C时试求点P经过的路径长

421．如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与边AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°的过程中，BH的最大值是 ，点H运动的路径长是 ．

422．如图，—根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A’处,并且A’C＝1米时，求木棒AB的中点P运动的路径长.

423．正方形ABCD边长为2，E在BC上移动，等腰Rt△DEF，DE＝EF.
（1）求AF的最小值；
（2）S△AEF的最小值是 .

424．如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．

425．【2016乐山中考】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
426．如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．

427．如明，在平面打角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内．过点P作⊙O切线与y柚相交于点A，与x轴相交于点B，点P在运动时，线段AB的长度是否发生变化，若变化，求线段AB长度的最小值．

428．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心．作半圆与AC相切，点P，Q分別是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是多少？

429．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AC上的一点，且DC＝2，点E是边BC上的一动点，把△CDE沿直线DE翻折，得到△C’DE，求点C’到AB的最小距离.

430．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M时边AD的中点，点N时边AB上的一动点，将△AMN沿直线MN翻折得到△A’MN，连接A’N，求A’C的最小值.

431．矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E为AB上一点，AE＝1，F为BC边上一动点，将矩形沿EF折叠，B点落在B点，连CB，求CB1的最小值。

432．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．

433．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，A＝90°，AD＝1，AB＝2，BC＝3,P是线段AD上的动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积的最小值为 。

434．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（ ）

A． B．2 C．3 D．4
435．如图，直角扇形AOB的圆心角为90°，OA＝4，P为AB上的一个动点，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，⊙I内切于△OMN，则⊙I半径的最大值为 .

436．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点M，⊙O的半径为2，OM＝，则四边形ABCD面积最大值为 .

437．如图，⊙O交x轴正半轴于点A(5，0)，M为⊙O上任意一点，MB⊥x轴于点B，MC轴于点C，试求矩形OBMC面积S和周长C的最大值.

438．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

439．【2013年武汉市元月调考】如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合)，射线AC交⊙O于点E，BC＝a，AC＝b，则a＋b的最大值为 .

440．【2014年武汉市四月调考】如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AO、AP分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为 .

441．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一动点(不与点A、B重合)，过点C作CD⊥AB于点D，AB＝8，设AC＝x，AD＝y，则AC－AD的最大值等于 .

442．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图，直径AB⊥弦CD于点E)， 设AE＝x，
BE＝y .
(1)请用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度
(2)通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，写出你发现的不等式

443．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 .

444．半圆⊙O中，AB为直径，C、D为半圆上任意两点，将沿直线CD翻折使AB与相切，已知AB＝8，求CD的最大值 ．

445．已知⊙O的直径为10，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB＝CD＝8.
(1)如图1，当点A与点D重合时，求△ABC的面积;
(2)如图2，当BC为⊙O的直径时，求四边形ADBC的面积;
(3)如图3，当弦AB、CD不相交时，求四边形ABCD面积的最大值.

446．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
（2）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
（3）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．

447．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为 .

448．【2013年武汉市四月调考】如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).

449．在坐标系中，M(3，4)，P是以M为圆心，2为半径的⊙M上的一动点，A(－1，0)，B(1，0)，连接PA、PB，则PA2＋PB2的最小值是 ，最大值是 .

450．如图，点A、B、C均在坐标轴上，OA＝OB＝OC＝2，过O、A、B三点⊙M，P为⊙M上任意一点，连接PB、PC，则PB2＋PC2的最大值是 .

451．如图，M为⊙O内的一定点，已知过M点的最长弦长为10，最短弦长为6，P为⊙O上的一个动点，求线段PM的取值范围.

452．在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A(5，0)，直线y＝kx＋4k＋2与⊙O交于B、C两点，求弦BC的长的最小值.
453．如图，AB为⊙O的直径，弦CD在⊙O上滑动(C、D不与A、B重合)，CE⊥AB于E，M是CD的中点，若AB＝8，求EM的最大值为 .

454．如图，以P（2,0）为圆心，为半径作圆,点M（m,n）是⊙P上的一点。
（1）的最大值是 ；

（2）n－m的取值范围为 ；

（3）n＋m的取值范围为 ；

（4）以P（3,2）为圆心，半径为1作⊙P,点M（m,n）是⊙P上的一点，则的取值范围是 。

455．在平面直角坐标系中，A (4, 0)，直线l： y＝6与Y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ, ∠APQ＝90°，当点P的横坐标满足0≤x≤8，则点Q的运动路径长为 ．
456．如图，在等边△ABC中，AB＝2，D、E分别为BC、AC上两动点，BD＝CE，AD、BE相交于M点，点D由点B运动到点C时，求点M运动的路径长．

457．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径为________cm．
C
P
Q
A
B

458．(2016－2017武珞路九上期中T16)如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为___________．

459．(2017·元调)在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中将点A (0，4)逆时针旋转90°到点B(m，1)，若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为 ．
460．(2015·元调)如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为( )

A．2－ B．－1 C．2 D．＋1
461．在平面直角坐标系中A (4,0)，绕点P (x．y)顺时针旋转90°至B (1, m)，若1≤m≤3，则P点运动的路径 ．
462．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，D在CB的延长线上，BD＝2，点M在线段CD上运动，点N在CA的延长线上，始终满足AN＝2BM，MN的中点为P，当M从点D运动至C点时，P点运动的路径长为 ．

463．如图，点M为等腰Rt△ABC底边AB的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，A点的对应点A'，B点对应点B'，C点对应点C'，直线AA’，CC’交于点H． AC＝BC＝2，则BH的取值范围是 ．

464．如图，点O是边长为1的正方形ABCD的对角线的交点，分别延长OD，OC到点G，E，使得OG＝2OD，OE＝2OC，再以OG，OE为邻边作正方形OEFG.假设固定正方形ABCD，将正方形OEFG绕点O按逆时针旋转，得到正方形OE'F'G'，求AF'的最大值.

465．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )

A.1 B. C. D.2
466．(2014·元调)如图，扇形AOD中． ∠AOD＝90°, OA＝6，点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合)，PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足( )

A． 0＜r＜3 B． r＝3 C． 3＜ r ＜3万 D． r＝
467．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF、CF，则DF＋CF的最小值为 ．

468．如图所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为 ．

469．如图所示，AB＝2，以AB为直径作半圆O，半圆O上有一动点P，则AP＋BP的最大值为 ．

470．如图所示，在平面直角坐标系中，A（－2,0），B（4,0），C（0，m），其中m＞0.连接BC，以BC为斜边作直角三角形BCP，且tan∠PBC＝，则AP的最小值为______,此时m的值为__________.

471．如图所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B是在⊙C上一动点，OB＋AB的最小值为 ．

472．如图所示，点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC内切圆半径r的最大值为 ．

473．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为 ．

474．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b＞0)交x轴于点A，交y轴于点B，点P为直线y＝1上一动点，直线y＝1与y轴的交点为C．若△ABP为等边三角形，求b的值．

475．正方形ABCD边长为2，E在CD上（E不与C点或D点重合），F在BC上（F不与B点或C点重合），AE⊥DF，L为垂足，则LC取值范围是 .

476．如图，弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，若点P在优弧BAC上由点B 向点C移动，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路程为m，则m的取值范围为______________．

477．如图所示，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，DC＝2，E是AC上的动点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，则FG的最小值是______________________.

478．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( )

A． B．π C． D．2
479．如图所示,在矩形ABCD中,AB＝ m， BC＝6.若AD_上存在点P,使∠BPC＝60°,则m的取值范围为______.

480．△ABC中，∠A＝120°，BC＝1，I为△ABC的内心，则△IBC的外接圆的半径为 .
481．如图所示，AB＝3，AC＝2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ；

482．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以4为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为__________．

483．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝3，点E为线段DC上异于两个端点的一动点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BEF，连接AF并延长交DC于点G，求线段CG的最大值.

484．如图△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝ 4，以AB为直径作⊙O分别交AC、BC于D、E，则CE的长( )

A．不变为4 B．有最大值为4 C．有最小值为4 D．E为BC的中点
485．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，在线段AC上有一动点P(P不与C重合)，以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为_________．

486．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是( )

A． B． C． D．
487．(2016·元调)如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为( )

A．π B．π C．2 D．2
488．正方形ABCD边长为2，正方形DEFG，AE、BF交于H，P是BC中点，求PH的最大值.

489．如图，AB为⊙O的直径，且AB ＝4，点C在半圆上，OC⊥AB于O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，点M是△OPE的内心，连接OM，PM，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

490．△ABC中，∠A＝90°，BC＝1，I为△ABC的内心，则△ABC的外接圆的半径为 .

491．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长作正方形OABC，连接AB，CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°止，
求：（1）点P运动的路径长；（2）OP的最小值.

492．如图1，在R t △ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰直角三角形AD1E1如图2，设旋转角为a（0°＜a≤180°），直线BD1与CE1的交点为P，连接PA，求△PAB面积的最大值.

493．已知扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q,点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆⊙E的半径为r，当点P在AD上运动时，求r的值.

494．（2016・武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）

A． B． C．2 D．2
495．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E，当点A在弧MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（ ）

A． B． C． D．
496．如图，⊙P在第一象限，半径为3，动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为

497．如图，弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，若点P在优弧BAC上由点B移动到点C，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
498．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴，y轴于A，B两点，点M是AB上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是 ．

499．在⊙0中，所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO，AC为边构造□AODC，当线段BD最大时，求∠A的值.

500．如图所示，⊙O的半径为6，弦AB∥CD，且AB＝CD＝6，点P在上运动，连PA，PB，作BE⊥PA于E，AF⊥PB于F，BE交AF于G，当点P从C运动到D时，求点G运动路径的长．

501．如图，△ABC为正三角形，边长为6，以AB为直径，向三角形外作半圆O，P为上一动点，Q为CP中点，求点P从A运动到B时，Q点运动路径的长为 .

502．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D事AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．

503．如图，已知A(5，0)，⊙O的半径为2，点B为⊙O上一动点，点C在第一象限，且△ABC，为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则线段OC的取值范围是 ．

504．如图，已知A，B两点的坐标分别为(0，－4)，(3，0)，⊙C的圆心坐标为(0，1)，半径为1 ，D是⊙C上的一动点，则△ABD面积的最大值为 ．

505．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，，BC＝6，D是BC边上一动点，BE∥AC交△ABD的外接圆于点E，连接DE，则DE的最小值为_ ___．

506．如图，四边形ABCD是⊙0内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是__ __．

507．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AD＝2，将AD绕点A旋转，E为BD中点，在旋转过程中，则线段CE的取值范围是_ ___．

508．AB是⊙0的直径，点P在上运动，以PB为边向外作等边△PBQ，点Q与O在直线PB异侧。已知AB ＝6，求OQ长的最大值．

509．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB上，且AC＝3BC，点P在上运动，且不与A，B重合，以PC为边向外作等边△PCQ．点Q与O在直线PC异侧，已知⊙O的半径为6，求OQ长的最大值．

510．如图，⊙O的半径是1，AB为⊙O的弦，将弦AB绕点A逆时针旋转120°，得到AC，连OC，求OC的取值范围．

511．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以3为半径，过B，C两点作⊙O，求线段OA的最大值．

512．已知边长为4的等边△ABC，E，F分别是AB，BC的中点，将∠BEF绕点B顺时针旋转a°，直线AE与直线CF交于P，当a从0°增加到60°的过程中，点P运动的路径长是

513．如图，四边形ABCD为正方形，边长为 ，E在CD边上，CE＝，点P在线段CE上运动，DH⊥直线BP于H, 当点P从C运动E时，点H运动的路程长为 .

514．如图，射线CN上射线CM，Rt△ABD的顶点A.B分别在CN，CM上运动，∠BAD＝90°，AB＝4.AD＝2，求线段DC的长的最大值。

515．△ABC中，∠A＝60°,BC＝1．I为△ABC的内心，则△IBC的外接圆的半径为 ;
516．如图，已知矩形ABCO在平面直角坐标系内，点B（2，m）在第一象限内，若点P在边AB上运动（可以运动到与点A，B重合），发现能使得∠CPO＝45°的位置有两个，则m的取值范围为_________

517．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝2，BD，CE交于点F，则△BCF外接圆半径为 .

518．如图，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重台）、△ABD和△EDC为BC同侧等边三角形，AC和BE相交于点F，BC＝3，则△BFC外接圆半径为 .

519．(2018武汉四调)在O中，AB、CD是互相垂直的两条直径，点E在BC弧上，CF⊥AE于点F．若点F三等分弦AE，O的直径为12，求CF的长．

520．(2018武汉)如图，在O中，点C在优弧AB上，将弧AB沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若O的半径为，AB＝4，求BC的长．

521．(2017武汉四调)有－个内角为60°的菱形的面积是8，则它的内切圆的半径为．

522．(2017武汉)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )

A． B． C． D．
523．如图，AB是⊙O的弦，AB＝，∠AOB＝120°，C为⊙O上一动点，D，E分别是AC，OB的中点，连DE，求线段DE最大值和最小值.

524．如图，AB为半圆的直径，C为的中点，点D在半圆上，BD＝6，AB＝10，则CD的长为(B)

A．2 B． C．1 D．
525．四边形ABCD，BC＝4，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝DC，求BD的最大值。

526．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是 .

527．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为 .

528．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交D于E，则线段CE的最小值是 .

529．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分別绕点B，C以相同速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD的形状也随之发生改变、那么在旋转的过程中，AO’的长度范围是 .

530．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上ー点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，述接CQ，则线段CQ的最大值为 .

531．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边三角形PBM，则线段AM的最大值为 .

532．（2015・武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）

A．2－ B．＋1 C． D．－1
533．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，BC交⊙O于E点，＝，则AD的最小值为（ ）

A．1 B．2 C． D． －4
534．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，達接AC，则线段AC长度的最大值是 .

535．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以CD为直径，向正方形外作半圆O，P为上一动点,Q为AP中点，求点P从C运动到D时，Q点运动路径的长为 .

536．如图，AB为半圆的直径，C为的中点，点D在半圆上，AD＝6，AB ＝10，点E在DC的延长线上，CE＝AC，则BE＝( )

A．2 B．2 C．3 D．3
537．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

538．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与点A重合，三角板30°角的两边分别与BC交于D、E两点，则DE长度的最小值是 ．

539．如图所示，等边△ABO的边AB交y轴于点C，点A是反比例函数y＝(x＞0)图像上一点，且BC＝2AC，求B点的坐标．

540．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
541．如图，等边△ABC内接于⊙O ,AB＝2,P为劣弧上的一动点，AM⊥BP于M，当点P从点C运动到点A时，求点M运动的路径长.

542．如图所示，点A是直线y＝－x上的动点，点B是x轴上的动点．若AB＝2，则△AOB的面积最大值为 ．

543．在△ABC中，若O为边BC的中点，则必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依据以上结论，解决如下问题：如图3.92所示，矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）

A． B． C．34 D．10
544．如图所示，圆O的半径为3，A为圆内点，OA＝2，B、C为圆O上不同的两点，AB⊥AC，则BC的最大值为 ．

545．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ，

546．如图所示，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝.当点A在圆上运动时，OC的最小值为( )

A. B. C. D.
547．如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为 ；

548．如图所示，AB＝4，点O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，△PBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），则AC的取值范围为 ；

549．如图，已知边长为3的正△ABC的顶点A在∠DOE的边OE上运动，顶点B随之在∠DOE的边OD上运动，若∠DOE＝30°，求线段OC的最大值。

550．如图所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC＝3，EF＝2，G为DE上一动点.将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为___________.

551．如图所示，正方形ABCD的边长是4，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°，则△EAF的面积最小值为 ．

552．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点.线段BC的两个端点分别在x轴与直线上（点B，C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP^x轴，CP^直线，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P，O两点间的距离为定值 .

553．如图所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接PA、PB，则PA2＋PB2的最小值是___________.

554．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F，则线段DF长的最小值为__________．
555．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为__________．

556．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．P是这个菱形边上或内部一点，且以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D（P，D两点不重合）两点间的最短距离为__________．

557．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以点为圆心，1以半径的圆上运动，且始终满足ÐBPC＝90°，则a的最大值是 .

558．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

559．如图，在平面直角坐标系中，点,,☉O上一动点，过点B作BP^直线AC，垂足为P，则点P纵坐标的最大值为 （ ）

A. B. C.2 D.
560．如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

561．△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．

562．【2018南通中考】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

563．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

564．如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

565．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

566．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

567．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同.当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段CP的最小值为 .

568．如图所示，过等腰△ABC底边BC上一点P引PM//CA交AB于点M，引PN//BA交AC于点N，作点P关于MN的对称点Q.若∠A＝30°，BC＝12，当点P从点B运动到点C时，求点Q的路径长度.

569．如图，在等腰△ABO中，OB＝AO，∠AOB＝15°，在等腰△ODC中，OD＝OC，∠DOC＝45°，且点C在OA边上，连结BC，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到OE，使得ED＝CB，试求∠BOE的度数；

570．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝，点E是边DA的中点，F是AB边上的一个动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A'EF，连结A'C，求A'C的长度的最小值.

571．如图，在等腰△ABC中，CB＝AC，∠C＝70°，点P在△ABC外部，且与点C均在AB的同侧，如果PC＝BC，试求∠APB的度数。

572．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，BF⊥AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝AB；
（2）连接DB，DF，求证：∠BDF＝∠BCF．

573．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q，求DQ的最小值．

574．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，且∠AEB＝90°，点F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值．

575．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是上的一点，且∠AOC＝120°，点P是上的一动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD

576．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦（CD与AB不平行），点M是CD的中点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且∠EMF＝60°，求的值．

577．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB的取值范围为 ，

578．已知在四边形ABCD中，AB＋BD＋BC＝16，则四边形ABCD面积的最大值为______________ .
579．如图所示,△ABC内接于⊙O,BC＝12,∠A＝60°,点D为上一动点,DF为直径,BE⊥DF于点E.当点D从点B沿运动到点C时,求点E的路径长度.

580．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内一点，且满足∠PBC＝∠PAB，则线段CP的最小值为_____________ .

581．（1）在△ABC中，AB＝3，AC＝，则△ABC面积的最大值为_________________ .
（2）在△ABC中，AB＝3，AC＝，当∠B最大时，BC的长为_________________.
582．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，求线段DP的最小值.

583．如图所示，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为△ABC内部一动点，满足∠BDA＝120°，连接CD，取CD的中点E，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接FD，求FD的最小值.

584．如图所示,已知半径为2､圆心角为90°的扇形OAB, 上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH,交OA于点H.设△OPH的内心为点I,当点P在AB上从点A运动到点B时,求点I的路径长度.

585．如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(4,0),B(2,0),点B在⊙O上,点C为⊙O上一动点,连接AC.
(1)如图(a)所示,以AC为斜边,在AC上方作等腰Rt△ACD,当点C运动一周时,求点D的运动路径.
(2)如图(b)所示,以AC为直角边,点A为直角顶点,在AC上方作等腰Rt△ACD,当点C运动一周时,求点D的运动路径.
(3)如图(c)所示,以AC为直角边,点C为直角顶点,在AC上方作等腰Rt△ACD,当点C运动一周时,求点D的运动路径.

586．如图所示,在Rt△ABC中,∠B＝90°,BC＝,点P为线段BC上一动点,连接AP,将AP绕点P顺时针旋转120°得到PQ,当点P从点B运动到点C时,求点Q的路径长度.

587．如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(－2,0),C(6,0),点P在x轴上运动,以AP为直角边,以点P为直角顶点,在AP上方作等腰Rt△APQ,连接BQ,取其中点M,当点P从原点运动到点C时,求点M的路径长度.

588．如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点P是边BC上的动点(不与点B、C重合)，点P关于直线AB、AC的对称点分别是M、N，求MN的最小值．

589．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝6，点P在线段BD上运动，△APC的外心为点O，当点P从点B运动到点D时，求点O的路径长度.

590．如图所示，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，点D为斜边的中点，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿着DA、DC的方向移动，当点E达到点A时，运动停止，直线BE与AF交于点G，则当点E从点D运动到点A时，求点G的路径长度.

591．如图所示，已知AB＝10为半⊙O的直径，点C为半圆弧上一动点.
（1）若以AC为边向△ABC外侧作等边△ACD，如图（a）所示，当点C从点A运动到点B时，求点D的路径长度.
（2）若以AC为斜边向△ABC外侧作等腰Rt△ACD，如图（b）所示，当点C从点A运动到点B时，求点D的路径长度.

592．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点C沿着某路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0,4）逆时针旋转90°到点B（m，－2）.若－5≤m≤5，求点C的路径长度.

593．如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝60°，点P为⊙O上一动点，点D是AP的中点，求CD的最小值．

594．如图，在边长为3的正△ABC中，动点E，F分别是AC，BC上的点，且满足AE＝CF，连结AF，BE交于点P，则CP的最小值为_____________

595．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（一3，0），B（1，0），P是y轴上的一点，若满足∠APB＝45°，则这样的点P有几个？你能求出点P的坐标吗？

596．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC上的动点，DF⊥AB于点D，EF⊥AC于点E，则DE的长的最小值为________..

597．如图，线段AB＝10，以AB为斜边构造等腰直角△ABC和直角△ABD，且CD在AB两侧，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值为________.

598．如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.

599．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD＝∠AHE.

600．如图：已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC.求证：（1）∠AHD＝∠AHE；（2）＝

601．如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE.

602．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：
（1）图中有多少组四点共圆？
（2）求证：∠ADF＝∠ADE．

603．如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：

604．如图， BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.

605．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为________.

606．在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(－1，0)，C是y轴上一动点，当∠BCA＝60°时，点C的坐标为__________．

607．在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(－1，0)，C是y轴上一动点，当∠BCA＝120°时，点C的坐标为__________．

608．在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(－1，0)，C是y轴上一动点，当∠BCA＝135°时，点C的坐标为__________．

609．在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(－1，0)，C是y轴上一动点．当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________．

610．直线y＝x＋4分别与x轴，y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC 一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P．若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2)长度的最小值是__________ ．

611．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F 从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为_________．

612．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为_________．

613．已知A，B两点在直线l的异侧，在l上求作点P，使△PAB为直角三角形．(尺规作图，保留作图痕迹）

614．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD点F，求AF的最大值。

615．如图，已知AC＝5，BC＝4．∠ACB＝90°，P是边AC上一动点，以PC为直径做圆O，连接BP交圆O于Q，求AQ的最小值．

616．如图,在△ABC中，AC＝3,BC＝,∠ACB＝,D为△ABC内一动点,为△ACD的外接圆,交直线BD于点P,交BC于点E,，则AD长的最小值为( )

A. 1 B. 2 C. D.
617．在正方形ABCD中,AD＝2, 点E从点D出发向终点C运动,点F从点C出发向终点B运动,且始终保持DE＝CF. 连接AE,DF交于点P, 则点P运动的路径长是___________________.

618．如图，已知线段AB，试在平面内找到符合所有条件的点C，使∠ACB＝30°．(利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）

619．如图，△ABC中，BC＝4，BAC＝45°，以4为半径，过B、C两点作⊙O，连接OA，求线段OA的最大值.

620．如图，等边△ABC中，AB＝，D、E分别为边AC、BC上一动点，AD＝CE，直线AE、BD交于点F，当点D从点A运动到点C时，则点F运动的路径长________.

621．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为CD、BC上一动点，DE＝CF，AE交DF于点G，当点E从点D运动到点C时，则点G运动的路径长为________.

622．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝，P为AD边上的一个动点，沿BP翻折△ABP得到△MBP（A点的对称点为M点），当P点从A点运动到D点的过程中，点M的运动路径长为_______，连接DM，在P点的运动过程中， MD的最小值为_______.

623．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝2，⊙O内切于△ABC，则⊙O 的半径为R（ ）

A.最大值为1 B.最小值为1 C.等于1 D.随A点的变化没有最值
624．如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的AB上有一动点P，从点P向半径OA引垂线，PH交OA于点H.设△OPH的内心为I，则BI的最小值为 .

625．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，射线AP‖BC，点M是射线AP上的一个动点（不包括A点），△ACM的外接圆⊙O交BM于D，连接AD，在点M运动中的过程中，线段AD长度的最小值为 .

626．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点，以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为 .

627．【2015年武汉市元月调考】如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（ ）

A. 2－ B. －1 C.2 D. ＋1
628．△ABC，BC=3，∠PBA=∠BAC=60°，∠PAB=90°，求CP的最大值.

629．【2013年武汉市中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，且满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .

630．图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．
（1）当P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________.
（2）连接AM，则AM的最小值为________.

631．【2013年武汉市五月调考】在△ABC中，∠A＝120°，BC＝6，若△ABC的内切圆的半径为r，则r的最大值为 .

632．四边形ABCD，BD=2，∠ABC=90°，∠ADC=60°，AD=DC，求四边形ABCD面积的最小值.

633．正△ABC边长为，D、E分别在AC、AB上，AD=BE，BD交CE于F，连接AF，则AF的最小值为

634．（1）请利用以上操作所获得的经验，在图①的矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，使点P满足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹）
（2）如图②，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为(2，m)．过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A，C．若点P在线段AB上滑动(点P可以与点A，B重合)，发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为__________．

635．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若BC的垂直平分线交抛物线于D，E两点，求直线DE的解析式；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的点P的坐标．
A
B
O
C
x
y

636．如图，等边△ABC内接于，AB＝2，P为劣弧AC上的一点，AM⊥BP于M，当点P从C运动到点A时，求点M运动的路径长.

637．如图，点A与点B的坐标分别是A(1，0)，B(5，0)，P是该平面直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有__________个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

638．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为__________．

639．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是__________．

640．【2014年武汉市元月调考】如图，扇形AOD中∠AOD＝90°，OA＝6，点P为AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为R，则当点P在弧AD上运动时，R的值满足 .

641．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的最小值是________.

642．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．

643．已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．

644．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

645．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

646．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．

647．如图，⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，AB＝4，CD＝，动点P从点P出发，沿劣弧运动到D，AF⊥CP于F，则线段AF的中点M所经过的路径长为________..

648．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

649．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，弦CD垂直平分OB，E是上的动点，AF⊥CE于点F，点E在上从A运动到D的过程中，线段CF扫过的面积为________.

650．（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．

651．四边形ABCD中，AC＝4，CB＝3,∠ACB＝90°,∠ADC＝45°，求BD的最大值.

652．D在△ABC内，AC＝4 ,CB＝3,∠ACB＝90°,∠ADC＝45°，求BD的最小值.

653．如图，边长为2的等边△ABC的顶点A在x正半轴上移动，顶点B在直线y＝x第一象限的分支上移动，求线段CO的最大值.

654．△ABC中，三条高AD、BE、CH，AB＝2，DE＝，则CH的最大值是 .

655．四边形ABCD，BD＝2，∠ABC＝75°,∠ADC＝60°,AD＝DC，求四边形ABCD面积的最小值。

656．四边形ABCD，AD∥BC，∠ACB＝45°BC＝4,AC＝3,△ADC外接圆交BD于E，求AE的最小值.

657．BC是半圆⊙O的直径，BC＝2，A在半圆上，AB＝AC，P在上，AD⊥AP，交BP于D，连接CD，则CD的最小值是 .

658．如图，点C为AB上的一动点，AB＝4，以AC为斜边作等腰直角△ACD，以BC为直角边，B为直角顶点作等腰直角△BCE，直线AE，DB交于点F.当点C在线段AB上由点A运动到点B时，点F运动的路径长为________..

659．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．

660．如图，△ABC为等边三角形，面积为9，点P为△ABC内的一动点，且满足∠PAB＝∠PCA，求线段BP的最小值．

661．如图，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PE⊥AP交BC于点E．若∠CAE＝15°，求的值．

662．在平面角坐标系中．已知A(，0)，B(3，0)，C(0，5)，∠ADB＝60°，求线段CD的取值范围．

663．如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为 ．

664．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
665．如图,的半径为1,弦AB＝1，P为优弧上一动点，AC⊥ AP,交直跤PB于点C,则△ABC的最大面积是____________________.

666．如图，已知直角梯形ABCD中，AD＝AB＝1，BC＝2，P为射线DA上一动点，过点B、D、P三点的圆交PC于Q，求线段DQ的最小值.

667．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P为射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，求线段AQ的最小值？

668．如图，已知以AB为直径的半圆，C为的中点，P为上任意一点,CD ⊥CP,交AP于点D,连接BD.若AB ＝6,则BD长的最小值为___________________.

669．（1）如图1,2,3所示，点A，B，C都在⊙O上，

①图1中，AB为⊙O直径，则ACB＝ ；
②图2中，若AOB＝120°，则ACB＝ ；
③图中，若AOB＝90°，则ACB＝ ；
（2）根据（1）探究以下3个问题；
①如图4，若AB为定长，ACB＝90°，请在图4中画出动点C的运动轨迹？
②如图5，若AB为定长，ACB＝60°，请在图5中画出动点C的运动轨迹？
③如图4，若AB为定长，ACB＝135°，请在图6中画出动点C的运动轨迹？

670．如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．

671．如图，以点G(0，1)为圆心，2为半径的圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点,E为OG上一动点,CF ⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动至点D时，点F所经过的路径长为________________.

672．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．

673．在△ABC中，AB＝3，AC＝，当∠B最大时，BC的长是____________ ．
674．在△ABC中，AC＝4， AB＝5．则△ABC面积的最大值为_________．
675．在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
（1）如图①，请写出任意—对满足条件AB与AC的值：AB ＝_____．AC＝______．
（2）如图②，在AC右侧作∠CAD＝∠B．交BC的延长线于点D，求CD的长．
（3）求△ABC的面积的最大值．

图① 图②
676．已知在四边形ABCD中，AD＋DB＋BC＝16，则四边形ABCD面积的最大值为_________
677．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．

678．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．

679．如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．求证：∠1＋∠2＝90°.

680．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为_______．

681．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70 °，点P在△ABC的外部，且与点C均在AB的同侧．如果PC＝BC，那么∠APB＝________．

682．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°．在△OCD 中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在OA边上．连接CB，将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为_________．

683．如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则 BD＝_______

684．如图，点A(2，0)，B(6，0)，CB丄x轴于点B，连结AC．在y轴正半轴上求作点P，使∠APB＝∠ACB．(尺规作图，保留作图痕迹）

685．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，・AD＝AB＝2，BC＝4，P为AD上一动点，将△ABP沿BP折叠得到△EBP，则△CDE面积的最小值为 .

686．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .

687．如图，AB为半⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，BC＝2AC，P为半⊙O 上的一个动点，取BP的中点D，连接CD，则线段CD的最小值为 .

688．【2018年武汉市元月调考】在⊙O中，AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造□AODC，当∠A＝ 时，线段BD最长.

689．如图，△ABC中，AB＝，AC＝4，BC＝6.动点D从B运动到A，则B关于直线CD的对称点G的运动路径长为________..

690．在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为_____________cm2.

691．已知AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为上的一动点，延长DC至点E，使CE＝CD.若AB＝，当D从A运动到C时，线段BE扫过的面积为________.

692．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝5，且AD∥BC，对角线BD＝8，求CD的长．

693．如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．

694．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）

A. B. π C. D. 2
695．【2016淮安中考】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

696．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，当ÐB最大时，BC的长为 .

697．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则DF长的取值范围为 .

698．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 .

699．如图，在Rt△ABC中，ÐACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在点D运动过程中，线段CM长的取值范围是 .

700．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝ ，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是 ．

701．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC＝2.设tan∠B0C＝m，则m的取值范围为__________
702．【2019扬州中考】如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

703．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B’CP，连接B’A，则B’A长度的最小值是___．

704．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．

705．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动。点Q从点A出发，沿A→B→C→D→A方向滑动到点A为止；同时点F从点B出发，沿B→C→D→A→B方向滑动到点B为止.那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为______________.

706．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA＋PG的最小值为____________.

707．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AB边的中点，F是BC边上的动点.将△EFB沿EF所在的直线折叠得到△，连接，则的最小值为____________

708．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在AC边上，并且CF＝2．E为BC边上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到AB边距离的最小值是1.2．

709．【2018相城区一模】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

710．如图，在矩形ABCD中，AB＝，点P是边BC上的一动点（不与B，C重合），PQ⊥AP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，求矩形ABCD的周长．

711．已知半圆⊙O的直径AB长为12，点P是半圆上的一动点，点Q是弦AP上的一点，且AQ＝2PQ，连接BQ并延长交⊙O于点M，则的最大值为________.

712．如图，点C是⊙O上的一点，⊙O的半径为2，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．

713．如图，A（0，8），B（0，2），点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当∠AEB最大时，求点E的坐标．

714．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内的一点，且AC＝2，设∠BOC＝m，则m的取值范围是 ．

715．如图，点A，B，P三点在一条直线上，AB＝4，PB＝2，∠ACB＝90°，当∠APC最大时，求PC的长

716．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是边AB上的一点，PQ⊥CP交边BC于点Q，求BQ的最大值．

717．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的一点，点E，F分别是边BC，AC上的动点，且∠DEF＝45°．
（1）若DF＝2，求△DEF的外接圆的半径；
（2）当DF的值最小时，求AF的长．

718．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的动点，当∠BPC最大时，求PC的长．

719．（2019武汉元调）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，求AF的最大值．

720．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于E，EF⊥AC，交其延长线于F，则AF的最大值为

721．如图，点P为⊙O内的一定点，点A为⊙O上的一动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．

722．(八上P78例2改）已知AB＝AC，AD∥BC，交∠B的平分线于D点，BD＝8，CD＝6，求AB的长

723．如图，⊙M与x轴相交A（2－，0），B（2＋,0）两点，与y轴相切于C点，P是⊙M上一动点，Q是OP中点，连接CQ，则CQ的最大值为 。

724．如图AC＝4，BC＝3，ACB＝90°，AD＝2，连BD，E为BD的中点，连接CE，求线段CE长的取值范围.

725．如图，⊙O的直径AB＝4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边在半圆外作正方形BCDE（点D在直线AB的上方），连接OE，求OE的取值范围.

726．如图，已知A（3,0）点B在半径为的⊙O上运动，BAC＝120°，AB＝AC，求OC的取值范围.

727．如图，已知点A（2,0），⊙O半径为1，点B为⊙O上一动点，点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，求线段OC的最大值？

728．如图，已知A（2,0），B（5,0），点P为⊙A上一动点，⊙A半径为2，以PB为边作等边△PBM，求线段AM的取值范围？

729．如图，⊙O的半径为4，A为⊙O外一点，OA＝8，P为⊙O上的一个动点，以AP为边作等边△APQ，则线段OQ的取值范围是________．

730．加图，⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，OA＝5，P与⊙O上的一个动点，以A为直角项点AP为直角边作等腰Rt△APQ，则线段OQ的取值范围是________．

731．如图，点A为半径为2的⊙O上的一定点，点M是⊙O上不同于A点的一动点，连AM，将线段AM绕点A顺时针旋转90°至AN，连ON，则线段ON的最大值是________．

732．如图，点C是半圆AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE(使BC在正方形内)，连OE．若AB＝4cm，则OE的最大值为_________cm．

733．如图，已知⊙O的半径为4，A为⊙O外一点，OA＝8，P为⊙O上的一个动点，以P为直角顶点，AP为腰作等腰Rt△APQ，则线段OQ的取值范围是__________．

734．如图，点A为半径为2的⊙O上的一定点，点P是⊙O上不同于A点的一动点，连AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AQ，连OQ，则线段OQ的最大值是__________．

735．【2015年武汉市四月调考试题】如图，直径AB，CD的夹角为60°．P为的⊙O上的一个动点(不与点A，B，C，D重合)PM、PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M、N，若⊙O的半径长为2，则MN的长( )

A．随P点运动而变化，最大值为 B．等于
C．随P点运动而变化，最小值为 D．随P点运动而变化，没有最值
736．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，P为BC上的一个动点(不与B、C两点重合)，以AP为直径作⊙O，⊙O分别交AB、AC于M、N两点，则PM＋PN的值( )

A．最大值为 B．最大值为 C．等于 D．等于
737．如图：点P为⊙O上一动点，PA、PB为⊙O的两条弦．BE，AF分别垂直于PA，PB，垂足分别为E，F．若∠P＝60°，OO的半径为4，则EF的长( )

A．随P点运动而变化，EF的最小值为2
B．随P点运动而变化，EF的最大值为2
C．等于2
D．随P点运动而变化，EF的值无法确定
738．【武汉市2016年元月调考】如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心，当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为( )

A． B．π C．2 D．2
739．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）

A．3 B． C． D．4
740．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，AC＝3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP＝PQ，则BP的取值范围是（ ）

A．BP B．BP C．BP D．BP＜3
741．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）

A． B． C．3 D．2
742．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）

A．2 B．1 C． D．
743．如图，∠POQ＝90°，AB为OP上的两点，OB＝AB＝2，M为射线OQ上的一个动点，
当OM＝_______时，∠AMB最大.

744．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）

A． B． C．3 D．2
745．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是 ．

746．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是_______.

747．如图，A(4，0)，B(0，3)，C为坐标平面内的一动点，且BC＝1，P为AC的中点，则OP的长可能为( )

A． B． C．4 D．3
748．如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12，∠A＝60°，点D为上一动点，BE⊥OD交直线OD于点E．当点D从点B沿运动到点C时，点E经过的路径长为 ．
B
A
C
D
E
O

749．已知△ABC中，若O为BC边的中点，则结论AB2＋AC2＝2AO2＋BC2恒成立．根据上述结论，解决如下问题：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点P是矩形内的一动点，且∠BPC＝120°，则PA2＋PD2的最小值为 ．

750．(2019原创题)如图，在□ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，E为平面内一动点，AE＝1，点P为CE的中点，则BP的最大值为 ．
B
C
D
E
P
A

751．(2019原创题)如图，A(4，0)，B(0，3)，C为坐标平面内一动点，BC＝1，P为AC的中点，则OP的值可能为( )
B
x
y
A
O
C
P

A． B． C．4 D．
752．如图，在半径为1的⊙O中，弦AD＝1，点B是优弧上的一动点，延长BD至点C，使AC＝AB，则线段OC的长不可能为( )

A．－1 B．2－ C．＋1 D．2
753．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，∠BOD＝90°，C是优弧BAD上一动点，I是△ACB的内心，AB＝2，当点C由点B逆时针运动到点D时，点I所经过的路径长为．
B
A
D
O
C
I

754．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC，交直线AC于点D，当点C从△ABC的面积最大处运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ．

755．如图，在扇形OAD中，∠AOD＝90°，OA＝8，点P为上的一动点，PQ⊥OD于点Q，点I是△OPQ的内心，当点P从点A沿运动到点D时，点I运动的路径长为 ．

756．(2019原创题)如图，点C为线段AB上一动点，AB＝4，作∠EAC＝∠DBC＝90°，且AE＝AC，DB＝BC，P为ED的中点，则PC的最小值为 ．
B
D
E
P
A
C

757．(2019改编题)如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．
A
B
C
P

758．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD(点D在直线AB的上方)，当点C在半圆上从点B运动到点A处时，点D运动路的径长为．
B
A
D
O
C

759．如图，点A是半径为2的⊙B上的任意一点，点C是⊙B外的一点，且BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为( )

A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
760．如图，点P为⊙O内的一定点，点A为⊙O上的一动点，谢线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点．若OP＝，则弦BC的最大值为 ．

761．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝2，E为CD上一点，点F在AD上，EF＝2，P为EF的中点，Q为BP的中点，当点E从点C运动到点D时，点Q的运动路径长为．
B
A
F
D
C
P
Q

762．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是( )

A．2 B． C．2 D．2
763．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆上的一动点，以BC为边向⊙O外作等边△BCD，当点C在半圆上从点B运动到点A处时，则点D所经过的路径长为 ．

764．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝6，AC＝4，动点D在边AB上，从点B运动到点A，则点B关于直线CD的对称点M的运动路径长为 ．

765．如图，△ABC中 ∠C＝ 90° ，BC＝6，AC＝ 8，将△ABC绕着点B旋转一 定的角度，得到△DEB．若点F为AB的中点，连EF，则EF的最大值为 ．

766．如图，点D时等边△ABC的边BC的中点，BC＝2，点F是一动点，DE⊥DF，且DE＝DF＝，指点AE与CF相交于点M.
(1)求证：A，D，C，M在同一个圆上；
(2)连接BM，求线段BM的长的最大值和最小值.

767．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在以1为半径的⊙B上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°，得到对应线段CE，连接BE，求BE的长度的最小值.

768．如图，线段OB＝5，点A在OB上，OA＝2，点P是以2为半径的⊙A上的一动点，连接PB，以PB为边作等边△PBM(P，B，M按逆时针方向排列)，连接AM，求AM的取值范围.

769．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上的一动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE，连接AF，求AF的最小值.

770．(2019改编题)如图，已知A(－2，0)，B(0，2)，半圆⊙O的半径为1，点C为半圆⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则△AOP的面积的最大值为 ．
x
y
B
A
C
O
P

771．(2019原创题)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝AB，点D是△ABC所在平面上一动点，∠BDC＝60°，当△BDA的面积最大时，∠DCA的度数为 ．
B
C
D
A

772．如图，A是半径为r的⊙O上一点，点B，C在⊙O内，．DB＝OC＝r，AB，AC的延长线分别交⊙O于点D，E，当∠BOC＝度时，∠DAE取得最大值．
B
C
E
A
D
O

773．如图,在平面直角坐标系中,A(0,3)、B(3,0),以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP,若点C为AP的中点,连接OC,则OC的最小值为 （ ）

A. 1 B. C. D.
774．如图,有一块BC＝12m,AB＝8m的矩形空地,他在以BC为直径的半圆内种菜,羊拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长最长不超过 m.

775．如图,点P(3,4),⊙P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是⊙P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值 .

776．如图,已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点,以AC为直角边在⊙O内作等腰R△ABC,∠C＝90°,连接OB,求OB的最小值

777．半径为5的⊙O中有一点P,OP＝4,则经过点P且垂直于OP的弦CD的长为 .
778．如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(,0),直线y＝k－2k＋3与⊙O交于B、C两点,求弦BC的长的最小值

779．如图,在平面直角坐标系中,以x轴正半轴上的点M为圆心、MO为半径在第一象限内作半圆，直线y＝2x交这个半圆于点A,以OA为一边作□ OABC,使得点B在半圆上,点C在x轴上,若点A的横坐标为3,求点C的坐标.

780．如图,⊙M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是⊙M上的任意一点,PA⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为（ ）

A.3 B.8 C.6 D.8
781．如图,正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆,E是⊙A上的任意一点,将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F,则线段AF的长的最小值为( （ ）

A.； B.； C.；D.2
782．在半径为13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7.若AB＝24,则CD的长为（ ）
A. 10 B. C.10或 D.10或
783．根据下列条件作图：
(1)如图①，用尺规作图作出圆的一条直径MN(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图②，P为圆上一点，作出直径PQ(不写画法，保留画图痕迹)．

图① 图
784．如图,⊙O的半径OA＝6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC＝ .

785．如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为 .

786．把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,若EF＝CD＝4cm,则球的半径长是 .

787．如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a＞2),半径为2,函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23,则a的值是 .

788．在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.
依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形ABCD中,若AB＝3,BC＝4,点P在以BC为直径的半圆上运动,则PA2＋PD2的最小值为 .
789．如图，⊙O的半径为2，以弦AB为边在⊙O内部作正方形ABCD，连接OD，则OD最小值为 ．

790．如图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去(如图2)，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B、C在⊙O上)，其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．

图1 图2 图3
(1)已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
(2)用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为
S矩形MNPQ＝9cm2的有盖盒子(接缝处忽略不计)．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
791．如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为7.2m时，桥洞顶部离水面2.4m，已知桥洞的拱形是圆弧形．

(1)求该圆弧所在圆的半径长；
(2)现有一艘宽3m，船舱顶部高岀水面(AB)2m的游船要经过这座拱桥，此游船能否顺利通过?
(画出示意图，通过计算加以说明)
792．如图，⊙O与Rt△AOB的斜边交于C，D两点，CD恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于5，
求AB的长．

793．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别为⊙P与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，有一直线l过P点且与AB垂直，C点为l与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，求a的值．

794．如图,在R△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长（ ）

A. B. C. D.5
795．半径为5的⊙O中有一点P,OP＝4,则经过点P且长度为整数的弦的数量有 条.
796．如图，点A、B在⊙O上，请你只用无刻度的直尺作图．
(1)图①中，点C、D在⊙O上，且∠DBC等于∠A的余角；
(2)图②中，点C在⊙O内，点E、F在⊙O上，且∠EBF等于∠A的余角．

797．如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧 上一点．
(1)若∠ACB＝45，点P是⊙O上一点(不与A、B重合)，则∠AP8＝ ．．
(2)如图②，若点P是弦AB与所围成的弓形区域(不含弦AB与)内一点，求证：∠APB＞∠ACB；
(3)请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．

798．如图，点A(1，0)，B(0，3)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点，过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

799．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

800．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧BD上，连接AE、ED、DA．
(1)求证：∠DAC＝∠AED；
(2)若点E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，当BD＝5，CD＝4时，求DF的长．

801．在△ABC中，若∠ACB＝45°，AB＝4，求△ABC面积的最大值

图① 图② 图③
802．请用尺规作出符合下列要求的点(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在图①中作出一点D，使∠ADB＝2∠C；
(2)在图②中作出一点E，使∠AEB＝∠C．
803．如图，N、M分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点O三点的圆和直线y＝x交于点P，连接MN，设直线y＝x交MN于点G，若PG∶PN＝3∶4，△PGN的周长为12，则△PON的周长是 ．

804．如图，⊙C经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于A、D两点，∠OBA＝45°，点D的坐标为(0，2)
(1)连接AD，求证：点C在线段AD上；
(2)求点A的坐标．

805．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 ．

806．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DAB＝48°，则∠ACD＝ ．

807．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是( )

A．10 B．5 C．10 D．20
808．如图，A、B两点的坐标分别为(，0)、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°．求P点坐标．

809．⊙O的半径为3，弦AB的长为3，则弦AB所对的圆周角为 ．
810．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF．若∠EDC＝135°，CF＝，求AE2＋BE2的值．

811．如图，AB是半⊙O的直径，以半⊙O的一条弦BC(非直径)为对称轴将折叠，点D是折叠后的上一点，若∠ABC＝20°，则∠CDB的度数是( )

A．100° B．105° C．110° D．115°
812．如图，CO、CB是⊙D的弦，⊙D与平面直角坐标系的x、y轴分别交于B、A，若∠COB＝45°，
∠OBC＝75°，点A的坐标为(0，2)，则⊙D的直径是( )

A．2 B．2 C．4 D．5
813．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，且与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )

A．15° B．35° C．25° D．45°
814．如图，BD为⊙O的直径，点A为的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC的度数是( )

A．15° B．20° C．25° D．30°
815．如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC．则AC的长 ．

816．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE的长为 ．

817．如图，已知直线l:y＝－x－以每秒3个单位长度的速度向右平移；同时以点M(3，3)为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为( )

A.2.5 B.5－2 C.2.5或10 D.5－2或5＋2
818．如图，在⊙O中，PB是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交P的延长线于点B．
(1)求证：HB是⊙O的切线；
(2)若HB＝6，BC＝4，求⊙O的直径．

819．如图1，一次函数y＝x＋4的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是线段AB上的一动点，以P为圆心，r为半径画圆．
(1)若点P的横坐标为－3，当OP与x轴相切时，求半径r的值并判断此时⊙P与y轴的位置关系；
(2)若r＝，当⊙P与坐标轴有且只有3个公共点时，求点P的坐标．

图1 备用图
820．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，□ABCD中，D(6，0)，函数y＝x＋m图象过点E(4，0)，与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t.
(1)若⊙P与直线EG相切，求⊙P的半径；
(2)以CD为边作等边△CDQ，若⊙P内存在Q点，求t的取值范围.

821．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径( )

A.4 B. C.5 D.
822．如图，直线y＝x＋与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左移动得⊙P′，当⊙P′与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6
823．(1)如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A(6，0)、B(0，2)，点C(x，y)在线段AB上，计算(x＋y)的最大值.小明的想法是：这里有两个变量x，y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y＝－x＋m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，则(x＋y)的最大值为_______；
(2)请你用(1)中小明的想法解决下面问题：如图2，以(1)中的AB为斜边在右上方作Rt△ABC.
设点C坐标为(x，y)，求(x＋y)的取值范围.

824．如图，已知一次函数y＝－x＋2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为( )

A.2 B. C. D.
825．如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD.设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为( )

A.3－ B.3＋ C.4＋6 D.4－6
826．如图，一次函数y＝－x＋3m(m＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，矩形OEDC的三个顶点分别为O(0，0)、C(0，12)、E(2m＋5，0)，将△OAB沿AB翻折，得到△FAB，连结OF.
(1)若AB＝AD，求OF的长；
(2)以AF为直径作⊙M，问是否存在m值，使得⊙M与CD相切，若存在，求出m值，若不存在，说明理由.

827．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts.
(1)求证：AB⊥PN；
(2)当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

828．已知在△ABC中，如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，AM是边CD上一点，将△ADM沿直线AM翻折，得到△ANM.当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.

829．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求AE的长.

830．如图，AB、CD是⊙O两条互相垂直的直径，点P为⊙O上一动点，过点P分别作PE⊥AB、PF⊥CD垂足分别为E、F，点M为EF的中点，若点P从点B出发，以每秒15°的速度按逆时针方向旋转一周，当∠MAB取得最大值时，则点P运动的时间为_____秒.

831．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为2，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD＝OE＝，则AB的最大值为_________.

832．在直角坐标系中，O为原点，A(0，4)，点B在直线y＝kx＋6(k＞0)上，若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为_______.
833．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，O都是格点，线段AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)后与⊙O相切，则α的值为_________.

834．如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是_____.

835．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）

A. 1.2 B.1.5 C.1.8 D. 2.4
836．如图，已知矩形ABCD，AB＝m，BC＝6，点P为线段AD上任一点.
（1）若∠BPC＝60°，请在下图中用尺规作图画出符合要求的点P；（保留作图痕迹，不要求写做法）
（2）若符合（1）中要求的点P必定存在，求m的取值范围.

837．如图，在平面直角坐标系中，A（6,0），B（0,8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴的正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为 .

838．（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是 .

839．在平面直角坐标系中，A（3,0）、B（a，2）、C（0，m）、D（n，0），且＝4.若E为CD中点，则AB＋BE的最小值为 .
840．如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点C是以OA为直径的⊙B上一动点，点A关于点C的对称点为P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y＝－x－1有且只有一个公共点，则a的值等于 .

841．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝4，BC＝1.当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，运动过程中矩形ABCD的性质保持不变，则点D到点O的最大距离是 .

842．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A→B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 .

843．如图，在直角坐标系中，O（0,0），A（6,0），C（t，1），B（t＋6,1），∠COA、∠OAB的平分线交于P，则△OAP的面积最大值为 .

844．苏教版九下P56，“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现也成立.
问题1：请你证明；

图1 图2 图3
学生乙从中得出：可以画出两条已知线段的比例中项.
问题2：已知两条线段 AB、BC在x轴上个，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项.要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出索要作的线段.
学生丙也从中悟出了矩形与正方形的等积作法.
问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP＝S矩形ABCD.要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点.
845．如图，矩形OABC的三个顶点O（0,0），A（0,5），C（7,0），P是边AB上一动点，将△OAP沿着OP翻折到△OA＇P.求A＇到直线y＝－x＋24距离的最小值.

846．在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连结AP，线段AP的最小值和最大值分别是多少？

847．等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为 .

848．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 .

849．如图，已知边长为4的等边三角形ABC，两顶点A、B分别平面直角坐标系的在x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，求OC长的最大值.

850．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CBD＝50°，则∠CAD的度数是（ ）

A.100° B.105° C. 110° D. 120°
851．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相较于点P，则线段DP的最小值为（ ）

A. B. C. D.－1
852．如图，△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动过程中，点C到点O的最小距离为（ ）

A. 5 B. 7 C. 12 D.
853．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）

A. B.1 C. D.－1
854．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1.
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度.
（2）如图②，当m＝3.5时，用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.

（3）对应每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
855．如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿x轴的正半轴移动，点B在直线上移动，求点C到原点O的最大距离.

856．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 .

857．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E是⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为__________，线段CF所扫过的面积为__________．
x
O
y
A
E
F
B
C
D
G

858．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，延长BC到D，使CD＝BC，连接AC、OD交于点P，若AB＝6，当点C在⊙O上运动一周时，点P所经过的路径长为____________．
A
B
C
D
O
P

859．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，延长BC到D，使CD＝BC，连接AC、OD交于点P，若AB＝6，当点C在⊙O上运动一周时，点P所经过的路径长为__________.

860．如图，⊙M是以点M（0，－2）为圆心、半径为4的圆，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，P为 上一动点，直线l过点C且与直线AP垂直，垂足为Q，当点P从B点沿圆弧逆时针运动到D点时，点Q所经过的路径长为___________．
861．如图，正三角形ABC的边长为2，顶点B、C在半径为 的圆上，顶点A在圆内．将正三角形ABC绕点B逆时针旋转，当点A第一次落在圆上时，点C运动的路线长为___________．（结果保留π）
A
A′
B
C
C′

862．如图，射线OM与ON互相垂直，PQ是半圆的直径，PQ＝6，A是半圆弧上的一点，且弧AQ的度数为60°，当点P从与点O重合的位置开始，沿射线OM滑动时，点Q随着沿NO方向滑动，当点Q到达点O时，P、Q两点都停止滑动，则在整个运动过程中，点A所经过的路径长为_____________．
M
P
Q
N
A
A
O
Q
N
O
(P)
M

863．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），Q（1，－1），以PQ为直径在PQ右侧作半圆弧，点A是半圆弧上的一个动点，以A为顶点作边长为2的菱形ABCD，且使得OB＝OD＝3，则菱形ABCD的面积的最小值为____________；当点A沿半圆弧从P运动到Q时，点C所经过的路径长为____________．
O
x
y
B
P
Q
A
C
D

864．如图，扇形OAB的半径为6，圆心角为90°，等边△CDE的顶点C、D、E分别在OB、OA、上，I为△CDE的内心，当点C从点B运动到点O时，点I所经过的路径长为___________．
A
B
O
C
D
E
I

865．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为_____________．
E
F
A
B
C
D

866．已知正六边形的边长为6，一个以点P为圆心，半径为 的圆在其内部无滑动地滚动，且总是与该正六边形的边相切，当点P第一次回到它原来的位置时，点P所走过的路程是____________，圆P自传了____________圈．
P

867．已知正六边形的边长为6，一个以点P为圆心，半径为1的圆在其外部无滑动地滚动，且总是与该正六边形的边相切，当点P第一次回到它原来的位置时，点P所走过的路程是____________，圆P共滚动了____________圈．
P

868．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，以O为圆心、OM为半径画交y轴正半轴于点N，点P是上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA．当点P沿从点M运动到点N时，点B运动的路径长是_________．
x
O
B
M
A
y
P
C
N

869．如图，是一个曲边三角形，它的外围由以等边△ABC的顶点为圆心，以等边△ABC的边长为半径的三段等弧组成，已知AB＝2．将该曲边三角形放置于水平面上，使与水平面相切于C点，然后向右作无滑动的滚动，转到与水平面相切于B点，则顶点A经过的路径长为__________．
A
B
C
A
C
B

870．如图，点P是⊙O的直径AB上一动点，AB＝6，CD是过P点且垂直于AB的弦，E是OC的中点，AE的延长线交BC于F．当点P从OB的中点运动到OA的中点时，点F所经过的路径长为____________．
A
B
C
D
O
E
F
P

871．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，⊙O过C、D两点且分别交边AC、BC于点E、F，连接CO、EF．下列结论：
①AE 2＋BF 2＝EF 2；②设⊙O的面积为S，则 π ≤S ≤ π ；③当⊙O从过点A变化到过点B时，点O移动的路径长为5；④当CO⊥AB时，△CEF面积的最大．
其中正确的结论的序号是_______________（把所有正确结论的序号都填上）．
C
B
A
D
E
F
O

872．如图，点P是⊙O的直径AB上一动点，AB＝6，CD是过P点且垂直于AB的弦，E是OC的中点，AE的延长线交⊙O于F，DF交BC于G．当点P从OB的中点运动到OA的中点时，点G所经过的路径长为____________．
A
B
O
C
D
E
F
G
P

873．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆弧上的动点，延长AC到D，使CD＝BC，连接OC、BD．若AB＝2，则当点C在半圆弧上从点A运动至点B时，点D所经过的路径长为_________，△ADB的面积的最大值为___________，四边形OBDC的面积的最大值为___________．
A
B
O
C
D

874．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆弧上的动点，以AC为边在AC的上方作等边三角形ACD．若AB＝2，则当点C在半圆弧上从点A运动至点B时，点D所经过的路径长为_________，动线段CD所扫过的面积为___________，四边形OADC的面积的最大值为_____________．
B
C
A
D
O
H

875．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一定点，D是半圆O上一动点，以CD为边在CD的上方作等边三角形CDE．已知AB＝2，OC＝a，当点D在半圆弧上从点A运动至点B时，点E所经过的路径长为_________，四边形OCED的面积的最大值为________________．
A
B
O
D
C
E

876．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，半径为1的⊙P在△ABC的外部沿边线无滑动地滚动一周，则圆心P经过的路径所围成的封闭图形的面积为________________．
A
B
C
P

877．如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′ 处，则顶点O经过的路径长为__________．
60°
O
A
B
l
O′
B′
A′

878．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点．点C处有两只蚂蚁，一只沿圆锥侧面爬行到点A，另一只绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ）
B
O
A
C

O
O
O
O
B
A
C
B
B
B
C
C
C
A
A
A
(A)
(A)
(A)
(A)
A
B
C
D

879．如图1，⊙M的直径AB在y轴的正半轴上，且点A与原点O重合，点C是y轴右侧半圆上的一点，AC＝1，BC＝2．点A由O点开始沿x轴的正半轴滑动，点B随之沿着y轴向原点O滑动（如图2），当点B滑动至与原点O重合时运动结束，则点C在整个运动过程中所经过的路径的长为_____________．
C
M
O
B
x
y
(A)
图1
C
M
O
B
x
y
A
图2

880．如图，等边△ABC的边长为a，⊙O的直径为△ABC高的一半，且⊙O与边AB、BC都相切．现将⊙O沿着△ABC内各边按图中箭头的方向进行滚动，且⊙O始终与△ABC的边相切，当点O第一次回到它原来的位置时，点O所经过的路径长为____________．
A
B
C
O

881．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形OAB的上有一动点P，过P作PH⊥OA于H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为___________．
A
B
O
P
I
H

882．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是____________m．（结果用π表示）
OM
OM
OM
OM
lM

883．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为
A
B
O
C
D
M
P
N
Q

A． B．
C． D．
884．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆圈走过45°弧长时，点Q走过的路径长为
C
A
D
B
Q
P
M
N
O

A． B． C． D．
885．如图，⊙O的半径为1，弦AB的长为1，点P为优弧AB上一动点，CA⊥PA交直线PB于点C．当点P从PA＝ 移动到PA＝2时，点C经过的路径长为__________．
O
P
A
B
C

886．如图，已知AB＝12，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2，点P从点C出发沿线段CD向点D移动（移动到点D停止），分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰Rt△AEP和等腰Rt△PFB，连接EF，设EF的中点为G，则下列结论中正确的有（ ）
①线段EF长的最小值是6；②△EPF的外接圆始终与AB相切；③四边形AEFB的面积为定值；④点G移动的路径长为4．
E
A
B
C
F
P
D
G

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
887．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝9，D为上一动点，BE⊥直线OD于E，当点D从B点沿运动到C点时，点E所经过的路径长为____________．
A
B
C
O
D
E

888．如图，点P是⊙O的直径AB上一动点，AB＝6，CD是过P点且垂直于AB的弦，E是OC的中点．当点P从OB的中点运动到OA的中点时，点E所经过的路径长为____________．
A
B
C
D
O
E
P

889．如图，AB是⊙O的直径，C是下半圆弧的中点，D是上半圆弧上的动点，E是CD延长线上一点，以DE为底边作等腰△FDE（点D、E、F按逆时针方向排列），连接FC，且DF＝2，CF＝3．
（1）CD·CE的值为 ；
（2）若AB，当点D沿弧BA从B点运动到A点时，点E经过的路径长为 ．

890．如图，圆锥的底面半径为3dm，母线长为5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝dm．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
D
C
B
A
O
V
l

A．3dm B．4dm C． dm D．2dm
891．如图，⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，AB＝4，CD＝2，动点P从B点出发，沿劣弧BD运动到D点，AF⊥CP于F，则线段AF的中点M所经过的路径长为__________，线段AF所扫过的图形面积为__________．
A
B
C
D
O
E
P
F
M

892．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在半径为 的圆上，顶点C、D在圆内．将正方形ABCDC沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为___________．
A
B
C
D
B1
C1
D1

893．如图，AB是⊙O直径，AC是弦，AB＝2，AC＝4，动点P从A点沿弧AB运动到B点（点P、C在AB的两侧），过点C作PC的垂线，交PB的延长线于点D，则在P点运动的整个过程中，点D所经过的总路径长为____________．
O
A
C
P
B
D

894．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从A点沿弧AB运动到B点（点P、C在AB的两侧），过点C作CP的垂线，交PB的延长线于点Q，则在P点运动的整个过程中，点Q所经过的路径长为____________．
P
O
A
B
C
Q

895．如图，AB是半圆的直径，C是弧的中点，D是弧上的一个动点，点E在AD的延长线上，若AB＝4，AD·AE＝20，那么，当点D从点B沿圆弧运动到点C时，点E所经过的路径长为____________．
A
B
D
C
E

896．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆滚动一周．
（1）设圆心O所经过的路径长分别为c1、c2、c3，则c1、c2、c3的大小关系为_____________；
（2）设⊙O自转的圈数分别为n1、n2、n3，则n1、n2、n3的大小关系为_____________；
（3）设⊙O扫过的图形面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系为_____________．
O
O
O

897．如图，AB是半圆的直径，C是弧的中点，D是弧上的一个动点，点E在AD的延长线上，若AB＝4，AD＝2DE，那么，当点D从点B沿圆弧运动到点C时，点E所经过的路径长为____________．
A
B
D
C
E

898．如图，AB是⊙O的直径，C是下半圆弧的中点，D是上半圆弧上的动点，E是CD延长线上一点，以DE为底边作等腰△FDE（点D、E、F按逆时针方向排列），连接FC，且DF＝2，CF＝3．
（1）CD·CE的值为_____________；
（2）若AB＝2，当点D沿弧BA从B点运动到A点时，点E经过的路径长为_____________．
A
B
O
C
F
E
D

899．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从A点沿弧AB运动到B点(点P、C在AB的两侧)，过点C作CP的垂线，交PB的延长线于点Q，则在P点运动的整个过程中，点Q所经过的路径长为 ．

900．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为_____ _____.

901．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小
（1）在图中作出点P（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若BC＝6，BC边上的高为4，求△PDE周长的最小值

902．如图1，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M处是一所中学.现欲在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处.点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处.
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图1中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图2中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

图1 图2
903．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点.
（1）如图1，若E为AB上的一个动点，求△CGE的周长最小值；
（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，求四边形CGEF周长的最小值.

图1 图2
904．河岸l同侧的有两个居民小区A、B，现欲在河岸边建绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离AC与D到小区B的距离BD之和最小.
（1_在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程；
（2）若小区A到河岸l的距离＝20米，小区B到河岸1的距离＝10米，量得＝50米，绿化带CD＝10米，求AC＋BD的最小值.

905．台球是一项高雅的体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识。图1是一个台球桌，目标球F与白球E之间有一个G球阻挡（忽略球的大小）
（1）击球者想通过击打白球E先撞击球台的AB边.经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点，请在图1中用尺规作出这一点H，并作出E球的运行路线（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，建立合适的坐标系，使A（0,4），C（8,0），E（4,3），F（7,1），并求（1）中H点的坐标。

906．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是_______________.

907．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是___ __________.

908．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为_____ ______.

909．如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M（x,0）到定点P（5,5）、Q（2,1）的距离分别为MP、MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的坐标是_____.

910．已知，在直角坐标系中，已知两点A（－8,3）、B（－4,5）以及动点C（0，n）、D（m,0）,则当四边形ABCD的周长最小时，比值为 （ ）
A. B.－2 C. D.－3
911．如图，点A的坐标为（0,4），∠AOB＝20°，P为y轴上的一个动点，M、N为射线OB的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为 （ ）

A.2 B. C. D.3
912．在平面直角坐标系中，已知A（1,1）、B（3,5），要在坐标轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，则点P的坐标为 （ ）

A. （0,1） B.（0,2） C.（，0） D.（0,2）或（，0）
913．如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值为OP的长，则∠AOB的度数是 （ ）

A.15° B.30° C.45° D.60°
914．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 （ ）

A.2 B. C. D.3
915．如图，已知平面直角坐标系中，A（2，－3）、B（4，－1）
（1）若P（x,0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x的值；
（2）若C（a,0）、D（a＋1,0）是x轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求a的值；
（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m,0）和N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由。

916．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD的中点，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过E作EF⊥PE交射线BC于点F．设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为__________．
D
C
A
B
E
M
F
P

917．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，2)，点M的坐标为(m，－m－3)（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为 （ ）
A. B. C. D.
918．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，2)，点M的坐标为(m－1，－m－)(其中m为实数)．当PM的长最小时，m的值为________．
919．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE : ED＝1 :3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为__________．
C
B
A
P
E
M
D
F

920．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝1，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段CG的最小值是 ．

921．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1:3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，求点M运动路线的长.

922．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在AD边上，且AE:ED＝1：3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EF^PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .

923．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
O
x
y
A
B

924．（江夏区2018－ －2019 学年度上学期期中考试I6）如图，四边形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E为BC中点，∠AED＝ 120，则AD的最大值是______

925．（江汉区2016－2017 学年度上学期期中考试16）将边长为4正方形ABCD向右倾斜，边长不变，∠ABC 逐渐变小。顶点A， D及对角线BD的中点N，分别运动到A′、D’和N′的位置.若∠A′BC ＝30°，则点N到点N′的运动路径长为___________

926．（江岸区2016－ －2017 学年度上学期期中考试16）在△ABC中，∠BAC＝90°, AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径为________ cm.

927．（汉阳区2017－ －2018 学年度上学期期中考试16）如图，B(0，3)，A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连OC，则0C的最小值为_________.

928．（武昌区2016－ 2017 学年度上学期期中考试16）如图，△ABC中, AB＝3，AC＝4，以BC为边向三角形外作等边△BCD，连AD，则当∠BAC＝_________时，AD有最大值___________.

929．（武珞路中学2016－ －2017 学年度上学期期中考试16）如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°, F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为____________.

930．（硚口区2017－ －2018 学年度上学期期中考试16）如图1，一副含30和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与边AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°的过程中，BH的最大值是___________，点H运动的路径长是____________。

931．（东湖高新区2017－ －2018 学年度上学期期中考试16）如图，在锐角△ABC中，AB＝4， BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的取值范围是______________

932．（武珞路中学2017－ －2018 学年度上学期期中考试16）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心, EF为直径的半圆经过点A，连接AE、CF相交于点P.将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°的过程中，线段OP 的最小值是_______.

933．（洪山区2016 －2017 学年度上学期期中考试10）如图,在等腰R△ABC中，斜边AB＝8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点.当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是( )

A.2π B. π C.2π D.2
934．（江汉区2016－ －2017 学年度上学期期中考试10）如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F.以C为圆心，CF的长为半径作 圆，D是OC上－－动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为( )

A.2 B. 2 C .2＋1 D.6
935．（青山区2016－ －2017 学年度上学期期中考试10）如图，等边△OPQ的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点P，点Q.连接AQ, BP相交于点C，将等边△OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120°，交点C运动的路径是( )

A.长度为的线段 B.半径为2的一段圆弧
C.半径为的圆弧 D.无法确定
936．如图，在△ABC中，∠C＝90°，如图，AC＝3，BC＝4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A'B'C'．在
旋转过程中，求A，C'两点间的最大距离.

937．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA，CD分别绕点B，C以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD的形状也随之发生改变，A'C与D'B交于点O′，那么在旋转的过程中，求AO'的最大值.

938．已知，在正方形ABCD中，AB＝5，点F是边DC上的一个动点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABE，点F的对应点E落在CB的延长线上，连接EF．
(1)如图1，求证：∠DAF＋∠FEC＝∠AEF：
(2)将△ADF沿AF翻折至△AGF，连接EG．
①如图2，若DF＝2，求EG的长；
②如图3，连接BD交EF于点Q，连接GQ．则S△QEG的最大值为 ．

939．（研口区2017－2018学年度上学期期中考试23）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB， AC上，DE∥BC，BD＝CE．
(1)求证：∠B＝∠C，AD＝AE；
(2)若∠BAC＝90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE， DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN的最大面积为____．

940．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2DO，OE ＝2CO，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°＜a＜360°)得正方形OE′F′C．（如图2）
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求a的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时a的度数，直接写出结果，不必说明理由.

941．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝，点D在边BC上，CD＝，将线段CD绕点C逆时针旋转（其中0＜≤360）得到CE，连接AE，以AB，AE为边作□ABFE，连接DF，则DF的最大值为（ ）

A. B. C. D.
942．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，将PB绕点P逆时针旋转90°得PM，求AM长的最大值.

943．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值。

944．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　　．

945．（汉阳区2017－2018学年度上学期期中考试23）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图(1)位置放置，AD与AE在同一条直
线上，AB与AG在同一条直线上．
(1)探究DG与BE的数量与位置关系，并证明你的结论；
(2)如图(2)，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求此时四边形BEFG的面积．
(3)如图(3)，若将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE相交，交点为H，直接写出△GHE与△BHD面积之和的最大值．

946．如图1，在△ABC中，AC＝7.∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转，得到△DBE（其中A与D对应）.
（1）如图2，当点C在线段DE的延长线上时，△CDB的面积为2,
①求证：CB平分∠ACE；②求BC的长。
（2）如图3，AB＝5,点F为线段AB的中点，点P是线段DE 上的动点，在旋转过程中，线段FP长度的最大值与最小值之和等于 .

947．如图，P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，求PC的长最大值，并求当PC取得最大值时，∠APB的度数．

948．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想，图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明，把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

949．（洪山区2018－2019学年度上学期期中考试23）如图1，△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AC、BC边上中点．将△DEC绕点C旋转角度a(0°＜a＜360°)得到△D’E'C，连接AD、BE．
(1)如图2，若∠C＝60°，在旋转过程中，求证：AD'＝BE′；’
(2)如图3，在(1)的旋转过程中，边D′E′的中点为P，连接AP，求AP最大值；
(3)如图4，若∠C＝90°，△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD’E’，设旋转角为a(0°＜a≤180°)，直线AD'与BE的交点为P，连接PC，直接写出△PBC面积的最大值为 ．

950．如图，边长为4的正方形ABCD外有点E ，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF.求CF的最大值.

951．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB、AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为a(0°＜a≤180°)，直线BD1与CE1的交点为P．
（1）求证：BD1＝CE1；
（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，求CE12的值；
（3）连接PA，PA最大值为________．（直接填写结果）

952．如图,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是 ，在旋转过程中，CF的最大长度是 ．

953．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使连接，则长的最大值为______．

954．如图，平面直角坐标系中，是以点为圆心2为半径的圆，为上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的最大值为______．

955．如图，，，点在上，是等边三角形，则面积的最大值为______．

956．如图，边长为4的正方形外有一点，，为的中点，连接，求的最大值．

957．矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点A（0，3），C（－4,0）. 若M为AC边上的一动点，在OA上取一点N(0,1)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转一周，在旋转的过程中，M的对应点为M′′，则NM′的最大值和最小值分别为____ __.

958．（梅范中学2018－2019学年度上学期期中考试23）已知，点A(8，0)、B(6，0)．将线段OE绕着原点O逆时针方向淀转角度到OC，连接AC，将AC绕着点A时针力向旋转角度至AD，连接OD．
(1)当＝30°，＝60°时，求OD的长；
(2)当＝60°，＝120°时，求OD的长；
(3)已知E(10，0)，当＝90°时，改变的大小，求ED的最大值．

959．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝12，D在AC上，AD＝8，把线段AD绕A点旋转到AD′位置，设F为BD′的中点，则CF的最大值是 .

960．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋特得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 .

961．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为　 　．

962．（七一中学2018－2019学年度上学期12月月考16）△ABC的最大边BC上的高AD和中线AM恰好把∠BAC三等份，AD＝3，则AM＝________________.
963．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝3，等腰Rt△BEF中，BE＝EF＝1，O为FC的中点，当△EBF绕点B旋转时，求AO的最大值。
964．（洪山区2018－2019学年度上学期期中考试15）如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．

965．如图，在等边△ABC和△ADE中，连接BE，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，把△ADE 绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，则△PMN的周长的最大值 ．

966．已知有两个以0为顶点且不全等的Rt△AOB和Rt△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°.
(1)如图①，设∠BOD＝α（0°＜α＜60°），E，F，M分别是AC，CD，DB的中点，连接FM，EM,请问：随着α的变化，的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；
(2)如图②，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点0旋转的过程中，线段PN长度的最大值为 ，最小值为

967．在锐角△ABC中，AB＝6，BC＝11，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，
得到△A1 B1Cl.
(1)如图①，当点C1在CA延长线上时，则∠OC1A1＝____；
(9)如图②，连接AA1，CC1．．若△ABA1．的面积为24，求△CBC1的面积；
(3)如图③，E为线段AB的中点，P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差．

968．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，将PB绕P逆时针能转90°得PM，若PA＝2，求当线段AM长最大时点P的坐标

969．如图，等腰直角△ABC与等腰直角△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10
请直接写出△PMN的最大面积为

970．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕BC以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD的形状也随之发生改变，那么在旋转的过程中，求AO’的最大值。

971．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝8，AB＝4，点D在AC上，且AD＝5，将线段AD绕点A旋转至AD’，F为BD’的中点，求线段CF的最大值。

972．如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，以AB为边向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度数发生变化，连接CN，求CN的最大值。

973．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，将PB绕P逆时针旋转90°得PM，求AM长的最大值．

974．如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，求线段AM的最大值．

975．(本题12分)若抛物线y＝x2－2ax－3的对称轴是直线x＝1．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点A是抛物线在第四象限的动点，过A作AH⊥x轴，H为垂足，求AH＋OH的最大值．
(3)设抛物线的顶点为C，点B的坐标为(－1，－4)，在抛物线的对称轴上是否存在点M；
①若点B关于点M的对称点落在抛物线上，直接写出点M的坐标，M ．
②若线段MB绕点M顺时针旋转90°得到线段MB’，且点B’恰好落在抛物线上?若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．

976．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为Rt△ABC外一点，BD＝3，AD的最大值为5，则BC的长为( )

A．1 B． C．2 D．3
977．（武汉二中广雅中学2018—2019学年度上学期数学练习（七）23）如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连接EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转，使点B的对应点F落在BA的延长线上．
（1）在图1中画出图形．
①求∠CEF的度数；
②探究线段AB、AE、AF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG．将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP的面积最大值．

978．如图，平面直角坐标系中，A(7，0)，B(5，2)，C(0，2)，一条动直线l分别与BC、OA交于点E、F，且将四边形OABC的面积分成相等的两部分，求点C到动直线l的距离的最大值．

979．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，以BC为斜边在矩形外部作Rt△BEC，F为CD的中点，求EF的最大值．

980．将三角形的顶点A，B放在射线OM，ON上滑动，∠MON＝∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，求线段OC的最大值．

981．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝，∠BAD＝135°，点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，直线l为过点O的任意一条直线，求点C到直线l的最大距离．

982．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，求线段PE的最大值．

983．正方形ABCD边长为1,E、F分别在DC、DA延长线上,AF＝CE,EH⊥FB,交FB延长线于H,DK⊥DH交HF延长线于K,求CK的最大值.

984．正方形ABCD，G在BC边上，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，BG＝kBC；
（1）求证：AE＝BF；
（2）∠EDF＝，∠EBF＝，求证：；
（3）AG与BD交于H，△AHD和四边形CDHG面积分别为和，求的最大值.

985．在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP；
（1）若AB＝6，BC＝8，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，平行四边形ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

986．在□ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当□ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
987．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是 .

988．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，点F为平面内一点，且AF＝4，E为CF的中点，连接DE，将线段AF绕点A旋转，求旋转过程中，线段DE长度的最大值和最小值。

989．已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.

990．图①，图②都是4×4的正方形网格，每个小正方的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①中已画出线段AB，在图②中已画出点A，按下列要求画图；
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（2）在图②中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．

991．已知：如图AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝，试求a＋b的最大值．

992．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的□ADCE中，DE的最小值是 .

993．如图，□OABC的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝5上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .

994．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，则EF的最小值为( )

A.3.6 B.4.8 C.5 D.5.2
995．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，P为AD上任意一点，连接BP，点A关于PB的对称点为A′，连接DA′，则线段DA′的最小值为 .

996．如图1，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点A（0，3）、点C(一4，0)．
（1）若把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．请根据题意画出图形，并求折痕DE的长；
（2）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若M为AC边上的一动点，在OA上取一点N(0，1），将矩形OABC绕点O顺时针旋转一周，在旋转的过程中，M的对应点为M1，请直接写出NM1的最大值和最小值．

997．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为__________；

998．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有一个格点三角形ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形．）
若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC＋PQ取得最小值时，
①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ．（请保留作图痕迹．）
②直接写出PC＋PQ的最小值：____

999．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．

1000．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝7，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE＝16，连接BE，求BE＋DE的最小值.