2021年中考数学真题复习汇编：专题18三角形解答题（40题）（第02期）（含解析）

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 专题18三角形解答题（40题）
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专题18三角形解答题（40题）
一、解答题
1．（2021·广西中考真题）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：
（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到OD=OE；
(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.
【详解】
解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE
∴△DOB≌△EOC（AAS）
∴OD=OE；
(2)∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC
又∵BD=CE
∴AB=AC，AD=AE
∵∠A=∠A
∴△ABE≌△ACD（SAS）
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（2021·广东中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．

【答案】见解析
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵，
∴∠B=∠C，
∵，，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2021·广西中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．

（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵点O是对角线BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（2021·湖北中考真题）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

【答案】（1）；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域
【分析】
(1)如图1, 作，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;
(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为作圆，作圆的切线 计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.
【详解】
解：（1）如图1，作，交AB的延长线于C，

由题意知：，．
设：则，
，
解得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
；
（2），
．
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以为圆心，为半径作圆，过作圆P的切线 交于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：

∴，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域．
【点睛】
本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．
5．（2021·湖南中考真题）如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．

（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质证明再证明 从而可得结论；
（2）利用折叠与三角形全等的性质求解 再利用的余弦求解即可.
【详解】
解：（1） 矩形，

由对折可得：

为的中点，



（2），

由折叠可得：






【点睛】
本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
6．（2021·广东中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】
解：（1）如图，AF平分，

（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
7．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．


（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；
（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．
【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）或或
【分析】
（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论；
（2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出关于x的方程，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴，
∴=；
（2）∵，CA⊥l，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直线垂直平分线段；
（3）①当点Q在直线上方时，如图所示，
延长BQ交l与点E，过点Q作与点F，

由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
即，
解得或，
即AP的长度为或；
②当点Q在直线l下方时，
过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，
由（1）小题，可知：，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=，
∴BM=BE÷sin60°=2÷=，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×，
∵的面积等于，
∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去），
∴AP=．

综上所述，AP的长为：或或．

【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
8．（2021·江苏）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）利用平行线等分线段定理证明直线l1平分AC；利用直角三角形的判定证明直线l1垂直AC；
（2）以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．
【详解】
（1）解：如图①，连接OC，

∵OB=OA，l1∥l2，
∴直线l1平分AC，
由作图可知：OB=OA=OC，
∴∠ACB=90°，
∴l2垂直AC，
∵l1∥l2，
∴l1垂直AC，
即直线l1垂直平分AC．
（2）如图②，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．

【点睛】
本题主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，与考查了尺规作图．
9．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的度数．

【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴根据三角形内角和可得，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2021·江苏中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】
（1）四边形是矩形


因为折叠，则

是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中

即
解得：

【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
11．（2021·贵州中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．


（探究发现）
（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
（拓展迁移）
（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；
（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，

∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．
∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，
∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，
∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．
12．（2021·吉林中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形；
（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．
【详解】
解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．
13．（2021·山东中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解．
【详解】
（1）证明：∵BD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）可得．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键．
14．（2021·内蒙古中考真题）如图，在山坡的坡脚A处竖有一根电线杆（即），为固定电线杆，在地面C处和坡面D处各装一根引拉线和，它们的长度相等．测得米，，求点D到的距离．

【答案】
【分析】
作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函数及勾股定理求出AD的长，再利用三角函数求出答案即可．
【详解】
如图：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，
在Rt△ABC中，，AC=6，
∴AB=8，
∴，
在Rt△ABF中，，
∴，
，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，
∴．
∴点D到的距离为米．
．
【点睛】
此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理的计算，正确理解题意引出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
15．（2021·吉林中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．

（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或
【分析】
（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；
（2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；
（3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
【详解】
解：（1）如图①，在中，，
∵是斜边上的中线，，
∴．

（2）四边形是菱形．
理由如下：
如图②∵于点，
∴，
∴；
由折叠得，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形是菱形．

（3）如图③，点与点在直线异侧，
∵，
∴；
由折叠得，，
∴；

如图④，点与点在直线同侧，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
综上所述，或．

【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
16．（2021·内蒙古中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．

（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线的的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；
（2）只需证得四边形AEDF是矩形即可，
【详解】
解：（1）∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分线，
∴AD⊥EF；
（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键．
17．（2021·辽宁中考真题）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，．
求证：．

【答案】见详解
【分析】
由题意易得，进而易证，然后问题可求证．
【详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（2021·辽宁中考真题）已知，，．
（1）找出与相等的角并证明；
（2）求证：；
（3），，求．

【答案】（1）（2）见解析（3）
【分析】
（1）根据三角形外角的性质直接求解即可；
（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可证明，进一步证明和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明；
（3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值．
【详解】
（1）根据题意可知，
，
，
；
（2）如图，在BF上截取BP，使AE=BP，

由（1）得，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
和均为等腰三角形，
又，
，
和为顶角相等的等腰三角形，
，
；
（3）又（1）可知，
，
，
设，则，
，
，
，
则，
，
，
，
，
，即，
由此得，
则，
．
【点睛】
本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解题关键．
19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】
解：（1）如图，为所作的平分线；

（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
20．（2021·广西中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】
（1）结论．证明，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：（1）结论：．
理由：如图1中，

，，，
，，
，
，
，，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，

，，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图3中，

由旋转的性质可知，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
21．（2021·广西中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使ADE∽ACB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可．
（2）作，射线交于点，点即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求．
（2）如图，点即为所求．

【点睛】
本题考查作图相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2021·江苏中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．

（1）求证：；
（2）将沿直线l翻折得到．
①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则直线与l的位置关系是__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行
【分析】
（1）根据“SAS”即可证明；
（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于，连接B，C，即可；
②过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，证明四边形MND是平行四边形，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵，
∴BC=EF，
∵，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵，
∴；
（2）①如图所示，即为所求；

②∥l，理由如下：
∵，与关于直线l对称，
∴，
过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，
∴四边形MND是平行四边形，
∴∥l，
故答案是：平行．

【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
23．（2021·湖北中考真题）如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见详解；（2）1．
【分析】
（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，

；
（2）由（1）得

∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
24．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解；（2）4-8
【分析】
（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；
（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵在矩形中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵，
∴（AAS），
（2）∵，
∴AN=DM=4，
∵，
∴，
∴AB=，
∴矩形的面积=×2=4，
又∵，
∴四边形的面积=4-4-4=4-8．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．
25．（2021·吉林中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置；
（2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；
（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置．
【详解】
（1）如图①所示，点M即为所求．

（2）如图②所示，点M即为所求．

（3）如图③所示，点M即为所求．

【点睛】
本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．
26．（2021·湖北中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．


（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作的中线．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】
（1）连接，交于点即可；
（2）先延长，相交于点，再连接，相交于点，然后连接，交于点即可．
【详解】
解：（1）如图，连接，交于点，则即为所求．


（2）分以下三步：
①延长，相交于点，
②连接，相交于点，
③连接，交于点，
则即为所求．

【点睛】
本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
27．（2021·黑龙江中考真题）（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【分析】
（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．
【详解】
（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，

（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
28．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可证△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理，即可；
（3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，由△ABC为等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可证△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得结论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
，
即；
（3）证明：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，即，
∴，
整理得，
即，
∴，
∴，
∴．


【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，三角形旋转变换，勾股定理，锐角三角函数及其公式推导，掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
29．（2021·福建中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
【详解】
证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）连接．

由平移的性质得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
【点睛】
本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．
30．（2021·江苏中考真题）如图，已知锐角中，．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；
（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：


（2）连接OA，
∵，的平分线，
∴AD=BD=，CD⊥AB，
∵的半径为5，
∴OD=，
∴CD=CO+OD=5+=，
∴BC=，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．
31．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．


（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）已知正方形和，用“边角边”证明两三角形全等即可；
（2）方法一：过作交于点，过作交于点，则，从而求的，
方法二：连接交于，交于，构造相似三角形，从而求得；
（3）不在直角三角形中，过点作交于点，过点作交于点，求得结果．
【详解】
（1）∵四边形为正方形





在和中

．
（2）方法一：

，
为正方形对角线




设，则



在三角形中
过作交于点，过作交于点


是等腰直角三角形


∴，
．
方法二：
连接交于，交于


∵正方形
，，





，
∴，
，，


为中点
，
设




（3）过点作交于点，过点作交于点

，




，
为等腰直角三角形


，
，

，
在中
．

【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键．
32．（2021·湖南中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．


（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形
【分析】
（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；
（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】
解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴；
（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴，
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；
②∵，点，分别为，的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH=；

（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；

（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．

【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
33．（2021·江苏中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．


（1）求证；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
34．（2021·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．

（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）或
【分析】
（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．
（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】
（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．

②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．

【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．
35．（2021·辽宁阜新市教育服务中心中考真题）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且．

（1）如图2，求证：；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；
（3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【分析】
（1）四边形ABCD是正方形，，，又知道，可得到即可求解；
（2）作交AC于点H,则,知道四边形ABCD是正方形可得，推出，，，，，得到，，又知道得到即可求解
（3）分三种情况①点E在线段AB上、②点E在线段BA的延长线上、③点E在线段AB的延长线上，逐一进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）（解法一）作交AC于点H，如图1．则．

图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（解法二）作交AC于点H ，如图2．

图2
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
连接CE，FH ．
又∵．
∴四边形CEHF是平行四边形．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（3）解：①当点E在线段AB上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠2=45°，
∴∠1=45°-∠3，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2+∠CFE=90°，
∴∠3=90°-45°-α=45°-α，
∴∠1=45°-∠3=α，
∵∠DGO=∠ACD+∠1，
∴∠DGO=α+45°；
②当点E在线段BA的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°，
∴∠2=90°-α+45°=135°-α，
∴∠1=∠2=135°-α，
∴∠DGO=90°-∠1=α-45°；
③当点E在线段AB的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∴∠2=∠3，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDE=∠DEG=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°，
∵∠CFE-∠2=45°，
∴∠CFE=∠1=α，
∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°，
∴∠DGO=45°-α．
综上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解．
36．（2021·黑龙江中考真题）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC（EC＋FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图②；当点E在BC延长线上时，如图③，请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图②进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．


【答案】（1）当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC=（FG－CE）；
（2）或．
【分析】
（1）在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM，先证明△AME≌△ECF ，得到AE=EF，再证明△ABE≌△EGF，得到BE=GF，结合图形中的点E所在的位置，即可得出AC，EC，FG的数量关系；
（2）根据（1）证明过程中得出的结论：AE=EF，分∠BAE =30°或∠AEB=30°两种情况,解直角三角形即可．
【详解】
解：（1）当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC=（FG－CE）；
证明如下：当点E是BC边上任意一点时，如图②，
在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．

∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°．
∵在正方形ABCD中，∠B =90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∴∠BAE=∠FEG．
∴∠BME=45°．
∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°．
∵CF平分∠DCG，GF⊥BC，
∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG．
∴∠AME = ∠ECF．
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF．
∴BE=GF．
∵AB=BC，
∴AB=BC=CE+BE=CE+FG．
∵AC=AB，
∴当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；
当点E在BC延长线上时，如图③，在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．

同理可证得BE=FG．
∴AB=BC = BE－CE= FG－CE．
∵AC=AB，
∴当点E在BC延长线上时， AC=（FG－CE）．
（2）∵正方形ABCD的面积是27，
∴AB=BC=．
根据（1）中AE=EF，∠AEF＝90°，可知AF=AE．
当在△ABE中，∠BAE =30°时，点E在BC边上．
∵cos∠BAE==，
∴AE=6．
∴AF=．
当在△ABE中，∠AEB=30°时，点E在BC延长线上．
∵sin∠BAE==，
∴AE=．
∴AF=．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质在几何中的应用、解直角三角形，考查了分类讨论这一基本数学思想方法．解决这类题目的关键是正确的分情况讨论，数形结合，化繁为简．
37．（2021·广西中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH．

（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BEBC，求GH的长．
【答案】（1）见详解；（2）．
【分析】
（1）由ASA证明△ABE≌△BCF，即可得到BE＝CF；
（2）由题意，得到，，然后证明△ABE∽△BPE，求出，，再证明△APG∽△BPH，求出，得到，然后利用勾股定理即可求出GH的长度．
【详解】
解：（1）在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF；
（2）由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BEBC，
∴，，
∴，
∵G为AD的中点，
∴，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴，即，
∴，
∵∠APB=90°，
∴，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴，即，
∴，
∴，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握上述知识，正确找出证明三角形相似的条件，从而进行解题．
38．（2021·江苏中考真题）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．

（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1) ．
(2)DG//CF．理由见解析．
(3) ．
【分析】
(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为 算出 ．
(2)作辅助线BF、AC，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再证明 、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．
(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．
【详解】
(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．

点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF




四边形ABCD是正方形
AB=BC，



．
(2) 位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N

由(1)可知，






是等腰直角三角形

四边形ABCD是正方形

是等腰直角三角形


垂直平分AF


在 和 中，





在 和 中，





CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 于点M

由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形

设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到


FH=BH


是等腰三角形，

在 和 中，



BM=AE=


②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O

绕点B顺时针旋转得到

由(1)可知：





此时， 与 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，

由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．
39．（2021·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
（问题发现）
小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；
小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；
（类比探究）
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；
（归纳总结）
最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出时的值和的度数．


【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30°
【分析】
（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律；
（2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题．
【详解】
（1）【问题发现】如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝60°，
当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝45°，
【归纳总结】
由此，可归纳出，＝∠ACB＝；
（2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝＝∠ACB＝30°．
【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．
40．（2021·辽宁中考真题）已知,在正方形中,点M､N为对角线上的两个动点,且,过点M、N分别作､的垂线相交于点E,垂足分别为F､G,设的面积为,的面积为,的面积为．


（1）如图（1）,当四边形为正方形时,
①求证:;
②求证:;
（2）如图（2）,当四边形为矩形时,写出,,三者之间的数量关系,并说明理由;
（3）在（2）的条件下,若,请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）：
【分析】
（1）①利用两个正方形性质易证；
②连接BD，则BD过点E，且 ， ，由①知AM=CN，易证，可得 BM=BN，进一步证明，从而得到，同理，故；
（2）如图，连接BD交AC于点O，易证，进而得到，仿照上面同样的方法，可证，即，从而得到，故；
（3）在（2）的条件下，有，根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，先求出BF的长，进而求出AF的长，即可得出答案．
【详解】
（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，
AB=CB，BF=BG， ，，
∴AF=CG，
∴
②如图，连接BD，则BD过点E，且，，

由①知AM=CN，
∵，AB=BC，
∴ ，
∴BM=BN，
∵ ，∴，
∵ ，
∴，
∴FM=ON，，
同理 ，
∵ ，
∴．
（2），理由如下:

如图，连接BD交AC于点O，则，，
，AC=BD=2OB，
∵，，
∴，
∴ ，
同理，
∴，
所以，即 ，
∵ ， ，
∴，
∴，
∴．
（3）根据题意可设BG=mx，GC=nx，AB=BC=(m+n)x，
∴，即，
∴ ，
∴
∴AF：BF=:= ：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思想．