2021年中考数学真题复习汇编：专题23锐角三角函数（第02期）（含解析）

这是一份2021年中考数学真题复习汇编：专题23锐角三角函数（第02期）（含解析），共59页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题23锐角三角函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．
【详解】
解：过作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
3．如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】
解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
4．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】
根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．
故选择：A．
【点睛】
此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
5．如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tan∠B等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据尺规作图的作法，可得 垂直平分 ，在 中，利用勾股定理求出ON，即可解答．
【详解】
解：根据尺规作图的作法，得： 垂直平分 ，
即 ，
∵AB＝16，
∴，
在 中， ，
∴ ，
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查了尺规作图—垂直平分线的作法和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值．
6．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于H．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH的长，属于中考常考题型．
7．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】
先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】
过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴　．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．

故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
8．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】
解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D

【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．
9．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中，，，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长．
【详解】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，

∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在中，AB=8，
∴
∴
在中，，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值
【详解】

设交于点,
由题意：
是等边三角形

四边形为正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥

又

设
则






解得：

故选A
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
11．如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面积为5，
∴，
∵，
∴，即，化简得：，
解得：或，
当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；
∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
【详解】
解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=BC=6，
∴AD=，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵

∴，即：，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=，
故选A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．

二、填空题
13．计算：（π﹣3）0＋（﹣）﹣2﹣4sin30°＝___．
【答案】3
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝1＋4﹣4×
＝1＋4﹣2
＝3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
14．在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
【答案】
【分析】
CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．
【详解】
解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，

∴DE＝DF，，
又，
∴四边形CEDF为正方形，
，，
在中，，
∵，
，
，，，
，
即，
又，
，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，





，
，
，
即（舍负），
故答案为：．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．

【答案】
【分析】
根据题意可知： ， ，， ，然后分别在 中在中，利用锐角三角函数求解即可．
【详解】
解：根据题意可知： ， ，， ，
在 中， ，
在中，，
∴ ，
即电视塔的高度为 米．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角锐角三角函数值．
16．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．

【答案】57
【分析】
根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．
【详解】
解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，

∵，，，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在中， ，
在中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并结合利用锐角三角函数解直角三角形．
17．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 ___m．（结果精确到0.1m，参考数据：1.73）


【答案】8.5
【分析】
先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD•tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
故答案为：8.5．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
18．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

【答案】326
【分析】
根据正切的定义即可求出BC．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，
，
∴（米）
故答案为：326
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】5
【分析】
①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】
①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点







5
②如图：

.





将绕点逆时针旋转60
由旋转可得：

是等边三角形，

P为的费马点
即四点共线时候，
=

故答案为：①5，②
【点睛】
本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
20．两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．

【答案】
【分析】
由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】
解：∵纸条的对边平行，即，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：

∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：

∴，
要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：

∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．

三、解答题
21．计算：．
【答案】-3
【分析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式

．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
22．计算：．
【答案】4
【分析】
首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：


．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．
23．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）

【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

【答案】米．
【分析】
作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】
解：作于点，设米，

在中，，
则（米，
∵，且AE=8
∴
∴
在直角中，米，
在直角中，，
米．
，即．
解得：，
则米．
答：的高度是米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

【答案】
【分析】
根据，然后根据即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．
26．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，轴于点B，延长AB至点C，连接．若，．

（1）求的长和反比例函数的解析式；
（2）将绕点旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
【答案】（1），；（2）或
【分析】
（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案．
【详解】
解：（1） ∵轴于点B
∴
在中，，
∴，
∴点A的横坐标为2
又∵点A在正比例函数的图象上
∴，
∴
把代入，得
∴，
∴反比例函数的解析式是 ；
（2）根据题意，
∵点A为（2，1），
∵将绕点旋转90°，
则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图：

∴或．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的综合，以及三角函数，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图像进行分析．
27．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

【答案】7
【分析】
假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【详解】
假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’

∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四边形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′=≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【点睛】
本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．
28．小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

【答案】
【分析】
作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】
解：如图，作于E，于F，

，
四边形BCFE是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．
29．如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．

【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【分析】
（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；
（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．
【详解】
解：（1）OM＝ON，如图1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，

设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝•a，OA＝•a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝•a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋•a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋•a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，


∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．
30．如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE．

（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】
（1）连结，，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于”得到，即，即可判定是的切线；
（2）过点作于点，连结，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根据勾股定理求出，，最后根据特殊角的三角函数即可得解．
【详解】
解：（1）证明：连结，，

，，
，
为的直径，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：过点作于点，连结，

，
，
在中，，
，
，
，，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
为的直径，
，
又，
，
即，
，
．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
31．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，从而得出结论；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN•DF＝DN•CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．
32．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【答案】（9＋4）m
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4）m．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
33．如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案；
（2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）如图所示，连接BD，
由题意可知，AE是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵，
∴，
∴，
∴三角形DEC是等边三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴

【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
34．如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）

【答案】38米
【分析】
过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可．
【详解】
解：过作于，如图所示：

则，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即无人机飞行的距离约是．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键．
35．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】约为5.7m
【分析】
先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】
解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点睛】
此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
36．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【答案】68.5m
【分析】
过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．

则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
37．如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，≈1.732）

【答案】约为13.7m．
【分析】
连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD＝CD，AD＝CD，再由AB＝AD﹣BD，即可求解．
【详解】
解：连接AC、BC，如图所示：

由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝tan45°＝1，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝tan30°＝，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD﹣BD＝CD﹣CD＝10（m），
解得：CD＝5＋5≈13.7（m），
答：建筑物CD的高度约为13.7m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出BD＝CD，AD＝CD是解答本题的关键．
38．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．


（1）特例感知：在图①中，若，求的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径、；
②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；
③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．
【答案】（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据黄金分割的定义求解即可；
（2）设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，继而求出OQ，MQ，即可作出判断；
（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根据已知条件可知cos72°=，再根据点E是线段PD的黄金分割点，即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
即，
解得：AC≈61.8；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，


∴OP=，
∴，
∴OQ=PQ-OP=，
∴MQ=OM-OQ=，
，
∴Q是线段OM的黄金分割点；
（3）正五边形的每个内角为：，
∴∠PEA=∠PAE=，
∴cos72°=，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴，
又∵AE=ED，
∴，
∴cos72°=．
【点睛】
本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题．
39．如图，在中，，点E在BC边上，过A，C，E三点的交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．

（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，，证明，，即可得到结论；
（2）证明得，设，那么，，根据勾股定理求出，，再根据正弦的定义求解即可
【详解】
解：（1）证明：连接，，则，

，，
∵F是的中点，
，
∴，
∵
∴
∵
∴，
，
；
∵，
．
即，
四边形CDMF是平行四边形．
（2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形，
，
由
∴，
∵BM//CD

，
设，那么，，
在中，，

在中，
在中，．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
40．如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．

（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1) ．
(2)DG//CF．理由见解析．
(3) ．
【分析】
(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为 算出 ．
(2)作辅助线BF、AC，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再证明 、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．
(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．
【详解】
(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．

点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF




四边形ABCD是正方形
AB=BC，



．
(2) 位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N

由(1)可知，






是等腰直角三角形

四边形ABCD是正方形

是等腰直角三角形


垂直平分AF


在 和 中，





在 和 中，





CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 于点M

由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形

设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到


FH=BH


是等腰三角形，

在 和 中，



BM=AE=


②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O

绕点B顺时针旋转得到

由(1)可知：





此时， 与 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，

由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．