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2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，3）
3．（5分）已知边长为2的等边△ABC，O为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元．若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（ ）
A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元
5．（5分）已知函数f（x）＝cos2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
6．（5分）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为S1，圆台的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．无法确定S1与S2的大小
7．（5分）已知函数，则f（﹣1），f（e2），f（2e）的大小关系是（ ）
A．f（﹣1）＜f（2e）＜f（e2） B．f（﹣1）＜f（e2）＜f（2e）
C．f（e2）＜f（﹣1）≤f（2e） D．f（2e）＜f（e2）＜f（﹣1）
8．（5分）在△ABC中，，点M，N分别在边AB，BC移动，且MN＝BN，沿MN将△BMN折起来得到棱锥B﹣AMNC，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．时f（x）存在单调递增区间
B．时f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
（多选）11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），|AF|＝2|BF|
C．若AB中点M的横坐标为3，则|AB|最大值为8
D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7＝0
（多选）12．（5分）将n2个数排成n行n列的一个数阵．如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（ ）
A．m＝3
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
15．（5分）在△ABC中，tanB＝4tanA，则当B﹣A取最大值时，sinC＝ ．
16．（5分）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}中a1＝1．M（1，1），An（2，an），Bn（3，2an+1﹣3）为直角坐标平面上的点．对任意n∈N*，M、An、Bn三点共线．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
18．（12分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
（1）当时，求AC的长；
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
19．（12分）如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA＝4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且．
（1）求点O到平面PAB的距离；
（2）设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sinφ的值．
20．（12分）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21．
改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
改造后
合计
（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，k∈N*）进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T＝30，k＝1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．
附：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，（其中n＝a+b+c+d）
21．（12分）设F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设D（0，1）是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A、B两点（异于点D），过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长度为定值？并证明你的结论．
22．（12分）已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上极值点的个数并证明；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，⋯，xn，⋯，设an＝f（xn），Sn为数列{an}的前n项和．
①证明：a1+a2＜0；
②问是否存在n∈N*使得Sn≥0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：．
故选：A．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，3）
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝（1，3）．
故选：D．
3．（5分）已知边长为2的等边△ABC，O为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，
∵，∴，故①错误；
，故②正确；
∵O为等边△ABC的中心，∴，可得，故③正确；
由已知求得，且∠AOB＝120°，
∴，故④正确．
∴正确的个数是3．
故选：C．
4．（5分）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元．若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（ ）
A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元
【解答】解：从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率，
则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（元）．
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）＝cos2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
【解答】解：函数f（x）＝cos2sinωxcosωxsinωx＝sin（ωx），
可得T，π，0＜ω≤1，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：
或，
解得ω∈（0，]∪[，]．
故选：D．
6．（5分）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为S1，圆台的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．无法确定S1与S2的大小
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，设圆台上下底的半径分别为a，b，由其母线与下底面成60°角，且母线长佮好等于上下底半径之和，
则AE＝CD＝a，BE＝b﹣a，DB＝a+b，且a+b＝2（b﹣a），解得：b＝3a，
故，
取AC中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接OB，OD，
则由勾股定理得：，
又，由勾股定理逆定理可得：OB⊥OD，
所以，
故满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，
此球体积最大且半径是，表面积，
圆台上下底的半径分别为a，3a，母线长为4a，
侧面积，
则S1＜S2．
故选：B．
7．（5分）已知函数，则f（﹣1），f（e2），f（2e）的大小关系是（ ）
A．f（﹣1）＜f（2e）＜f（e2） B．f（﹣1）＜f（e2）＜f（2e）
C．f（e2）＜f（﹣1）≤f（2e） D．f（2e）＜f（e2）＜f（﹣1）
【解答】解：，
令t＝|x﹣2|，t＞0，则g（t）＝ln（t+1），t＞0，
求导可得0，
则g（t）在（0，+∞）上单调递增．
又f（﹣1）＝g（3），f（e2）＝g（e2﹣2），f（2e）＝g（2e﹣2），
因为e2﹣2＞2e﹣2＞3，所以g（e2﹣2）＞g（2e﹣2）＞g（3），
故答案为：A．
8．（5分）在△ABC中，，点M，N分别在边AB，BC移动，且MN＝BN，沿MN将△BMN折起来得到棱锥B﹣AMNC，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由得，由余弦定理得CB＝4，
则△ABC是直角三角形，C为直角，对MN的任何位置，当面MNB⊥面AMNC时，此时的点B到底面AMNC的距离最大，此时∠NMB即为MB与底面AMNC所成的角，
设BM＝2x，
在△MNB中，，
点B到底面AMNC的距离，
则，
，
令V′B﹣AMNC＝0，解得，可得下表：
x
（0，）
（，）
V′B﹣AMNC
+
0
﹣
VB﹣AMNC
↑
极大值
↓
故当时，该棱锥的体积最大，为．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A（a，0，0），A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴，
∵两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，
∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°．
B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．
（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．
∴直线A1D与BC1垂直．
C．D1（0，0，a）．
∵（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，不平行；
D．三棱锥A﹣A1CD的体积．
综上可知：只有C不正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．时f（x）存在单调递增区间
B．时f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
【解答】解：存在单调递增区间，
即f'（x）＞0在（0，+∞）有解，即在（0，+∞）有解，
又最小值为，故，A正确；
时，函数y＝ax2+2x﹣3的判别式Δ＝12a+4＞0，存在两个零点，
但，故在a＞0时x1，x2异号，只有一个值是f'（x）＝0的解，
即只有一个变号零点，f（x）只有一个极值点，B错误；
f（x）为减函数，即恒成立，
则a＜0且Δ＝12a+4⩽0，故，C正确；
当时，，
函数y＝ax2+2x﹣3的判别式Δ＝12a+4＞0，存在两个零点，且，x1＞0，x2＞0，
不妨设x1＜x2，可得0＜x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0，x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，
即f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上递减，在（x1，x2）上递增，
x2是极大值点，f（x）存在极大值，D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），|AF|＝2|BF|
C．若AB中点M的横坐标为3，则|AB|最大值为8
D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7＝0
【解答】解：选项A，当AB为抛物线的通径时，|AB|最小，为1+1+2＝4，即A正确；
选项B，由题意知，此时直线AB的方程为y（x﹣1），
联立，解得x＝3或，
因为点A在第一象限，所以xA＝3，xB，
所以|AF|＝xA3+1＝4，|BF|＝xB1，所以|AF|＝3|BF|，即B错误；
选项C，|AB|≤|AF|+|BF|＝xA+xB+2＝2×3+2＝8，所以|AB|最大值为8，即C正确；
选项D，由A（4，4），F（1，0），知kAF，所以kAB，
所以直线AF的方程为y（x﹣1），直线AB的方程为yx，
联立，解得x或4，所以xD，yD＝﹣1，
联立，解得x或4，所以xB，yB＝﹣7，
所以直线BD的方程为y+1（x），即4x+8y+7＝0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）将n2个数排成n行n列的一个数阵．如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（ ）
A．m＝3
B．
C．
D．
【解答】解：∵a11＝2，a13＝a61+1，
∴2m2＝2+（6﹣1）m+1，解得m＝3或（舍负），即选项A正确；
∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）•3]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，即选项C错误；
令T，则
T＝a11+a22+…+akk＝2•30+5•31+8•32+…+（3k﹣1）•3k﹣1①，
3T＝2•31+5•32+8•33+…+（3k﹣4）•3k﹣1+（3k﹣1）•3k②，
①﹣②得，﹣2T＝2+3•31+3•32+3•33+…+3•3k﹣1﹣（3k﹣1）•3k＝2+3（3k﹣1）•3k＝（3k）•3k，
∴T（）•3k，
当k＝18时，（）•318，即选项B正确；
S＝（a11+a12+…+a1n）+（a21+a22+…+a2n）+…+（an1+an2+…+ann）
（3n﹣1）•（a11+a21+…+an1）
（3n﹣1）•（2n3）
n（3n+1）（3n﹣1），即选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2）6的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．
【解答】解：由于（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 •24＝240，
故答案为：240．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，
则d2，即3k2﹣4k≤0，
∴0≤k．
∴k的最大值是．
故答案为：．
15．（5分）在△ABC中，tanB＝4tanA，则当B﹣A取最大值时，sinC＝ 1 ．
【解答】解：∵在△ABC中，tanB＝4tanA，可得tanA＞0，且0＜B﹣A，
∵tan（B﹣A），当且仅当tanA时等号成立，
∵y＝tanx在（0，）上单调递增，此时B﹣A取最大值，且tanB＝2，
∴tanA•tanB＝1，
∴sinAsinB＝cosAcosB，得cos（A+B）＝0，
∴A+B，此时sin（A+B）＝1，
∴sinC＝1．
故答案为：1．
16．（5分）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 ．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，|FQ|b，|OF|＝c，
在直角三角形QOF中，cos∠QFO，①
设|QN|＝t，则|QM|＝3t，|FN|＝b﹣t，
由双曲线的定义可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，
在三角形FNF'中，可得cosNFF'，②
在三角形FMF'中，可得cos∠MFF'，③
由①②化简可得t，
由①③化简可得t，
所以a+b＝3b﹣3a，
即b＝2a，
则e．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}中a1＝1．M（1，1），An（2，an），Bn（3，2an+1﹣3）为直角坐标平面上的点．对任意n∈N*，M、An、Bn三点共线．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
【解答】解：（1）由题意得：，
∵M、An、Bn三点共线，则 ，
∴2an﹣2＝2an+1﹣4，即 an+1﹣an＝1．
∴数列 {an}是首项为 1 公差为 1 的等差数列，
∴an＝n．
（2）∵，
∴（1）
（1）
（）
．
18．（12分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
（1）当时，求AC的长；
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
【解答】解：（1）绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
在△ABC中，，
由余弦定理，得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BC⋅cos∠ABC＝117，故．
因此AC的长为米．
（2）由题意，，所以 ．
在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝72+72sin2α．
所以.．
于是．
当，即时，S取到最大值，最大值为．
因此，当时，养殖场OABC最大的面积为平方米．
19．（12分）如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA＝4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且．
（1）求点O到平面PAB的距离；
（2）设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sinφ的值．
【解答】解：（1）由题意知：PO⊥OA，PO⊥OB，OA⋂OB＝O，
OA⊂平面AOB，OB⊂平面AOB，∴PO⊥平面AOB，
又PO＝2OA＝4，所以，
所以，
设点O到平面PAB的距离为d，
由VO﹣PAB＝VP﹣OAB得，解得；
（2）以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），
由题意知，则，
所以．
设平面PAB的法向量为，则，取c＝1，则a＝b＝2，
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．
20．（12分）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21．
改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
改造后
合计
（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，k∈N*）进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T＝30，k＝1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．
附：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，（其中n＝a+b+c+d）
【解答】解：（1）2×2列联表为：
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
5
15
20
改造后
15
5
20
合计
20
20
40
零假设为：H0：技术改造前后的连续正常运行时间无差异，
∴，
∴依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断H0不成立，即技术改造前后的连续正常运行时间有差异．
（2）由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为．
设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ，则ξ～B（4，）；
一个生产周期内的正常维护费为0.5×4＝2万元，保障维护费为 万元，
∴一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为 （0.1ξ2+0.1ξ+2）万元．
设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，，
，
，
，
．
所以，X的分布列为：
X
2
2.2
2.6
3.2
4
P
，
∴一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元．
21．（12分）设F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设D（0，1）是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A、B两点（异于点D），过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长度为定值？并证明你的结论．
【解答】解：（1）由题意知，点M在第一象限，
因为点M是椭圆C上一点，且MF2与x轴垂直，
所以M的横坐标为c，
当x＝c时，y，即M（c，），
又直线MN的斜率为，
所以tan∠MF1F2，
即b2ac＝a2﹣c2，
所以（）2•1＝0，
所以e2e﹣1＝0，
所以e或（舍），
所以椭圆C的离心率为．
（2）因为D（0，1）是椭圆C的上顶点，
所以b＝1，
由（1）知椭圆C的离心率为，
所以ca，
因为b2+c2＝a2，
所以1+（a）2＝a2，解得a2＝2，
所以椭圆的方程为y2＝1，
设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣1）＝0①，
所以x1+x2，x1x2，
又（x1，y1﹣1），（x2，y2﹣1），
因为过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A，B两点（异于点D），
所以•x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）
＝x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）
＝（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2，
＝（1+k2）•k（m﹣1）（）+（m﹣1）2，
0，
化简整理得3m2﹣2m﹣1＝0，
解得m或m＝1（舍），
所以直线AB经过y轴上定点G（0，），
又点Q在以DG为直径的圆上，取DG的中点为R（0，），
则|RQ|为定值，且|RQ||DG|．
22．（12分）已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上极值点的个数并证明；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，⋯，xn，⋯，设an＝f（xn），Sn为数列{an}的前n项和．
①证明：a1+a2＜0；
②问是否存在n∈N*使得Sn≥0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f（x）在区间（0，3π）内恰有两个极值点，证明如下：
证明：因为，所以，设 g（x）＝xcosx﹣sinx，
又 g′（x）＝﹣xsinx，
当 x∈（0，π]时，∵sinx＞0，g′（x）＜0，g（x）在（0，π]上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，∴g（x）在（0，π）上无零点；
当 x∈（π，2π]时，∵sinx＜0，g′（x）＞0，g（x）在（π，2π）上单调递增，g（π）＝﹣π＜0，g（2π）＝2π＞0，∴g（x）在（π，2π）上有唯一零点；
当 x∈（2π，3π]时，∵sinx＞0，g′（x）＜0，g（x）在（2π，3π）上单调递减，∵g（2π）＞0，g（3π）＜0，∴g（x）在（2π，3π）上有唯一零点．
综上，函数g（x）在区间（0，3π）上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数f（x）在区间（0，3π）内恰有两个极值点．
（2）①证明：由 （1）知f（x）在x∈（0，π]无极值点；在x∈（π，2π]有极小值点，即为 x1；在x∈（2π，3π]有极大值点，即为x2，
同理可得，在 （3π，4π]有极小值点x3，在 （nπ，（n+1）π]有极值点xn，
由 xncosxn﹣sinxn＝0得xn＝tanxn，
∵x2＞x1，∴tanx2＞tanx1＝tan（x1+π），
∵，
∴，
∵，
由函数 y＝tanx在 单调递增，可得 x2＞x1+π，
∴，
由y＝cosx在单调递减得cosx2＜cos（x1+π）＝﹣cosx1，
∴a1+a2＝f（x1）+f（x2）＜0．
②不存在，理由如下：
同理，，
由y＝cosx在 上单调递减，可得 cosx2n＜﹣cosx2n﹣1，
∴a2n+a2n﹣1＝f（x2n）+f（x2n﹣1）＝cosx2n+cosx2n﹣1＜0，a2n＝f（x2n）＞0，a2n﹣1＝f（x2n﹣1）＜0，
当n为偶数时，从a1＝f（x1）开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即 Sn＝[f（x1）+f（x2）]+[f（x3）+f（x4）]+⋯+[f（xn﹣1）+f（xn）]＜0，结论成立；
当n为奇数时，从a1＝f（x1）开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即 Sn＝[f（x1）+f（x2）]+[f（x3）+f（x4）]+⋯+[f（xn﹣2）+f（xn﹣1）]+f（xn）＜0，结论也成立，
综上，对一切n∈N*，Sn＜0成立，故不存在n∈N*使得Sn≥0．
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2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，3）
3．（5分）已知边长为2的等边△ABC，O为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元．若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（ ）
A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元
5．（5分）已知函数f（x）＝cos2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
6．（5分）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为S1，圆台的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．无法确定S1与S2的大小
7．（5分）已知函数，则f（﹣1），f（e2），f（2e）的大小关系是（ ）
A．f（﹣1）＜f（2e）＜f（e2） B．f（﹣1）＜f（e2）＜f（2e）
C．f（e2）＜f（﹣1）≤f（2e） D．f（2e）＜f（e2）＜f（﹣1）
8．（5分）在△ABC中，，点M，N分别在边AB，BC移动，且MN＝BN，沿MN将△BMN折起来得到棱锥B﹣AMNC，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．时f（x）存在单调递增区间
B．时f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
（多选）11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），|AF|＝2|BF|
C．若AB中点M的横坐标为3，则|AB|最大值为8
D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7＝0
（多选）12．（5分）将n2个数排成n行n列的一个数阵．如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（ ）
A．m＝3
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
15．（5分）在△ABC中，tanB＝4tanA，则当B﹣A取最大值时，sinC＝ ．
16．（5分）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}中a1＝1．M（1，1），An（2，an），Bn（3，2an+1﹣3）为直角坐标平面上的点．对任意n∈N*，M、An、Bn三点共线．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
18．（12分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
（1）当时，求AC的长；
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
19．（12分）如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA＝4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且．
（1）求点O到平面PAB的距离；
（2）设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sinφ的值．
20．（12分）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21．
改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
改造后
合计
（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，k∈N*）进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T＝30，k＝1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．
附：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，（其中n＝a+b+c+d）
21．（12分）设F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设D（0，1）是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A、B两点（异于点D），过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长度为定值？并证明你的结论．
22．（12分）已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上极值点的个数并证明；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，⋯，xn，⋯，设an＝f（xn），Sn为数列{an}的前n项和．
①证明：a1+a2＜0；
②问是否存在n∈N*使得Sn≥0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省部分校高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：．
故选：A．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，3）
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝（1，3）．
故选：D．
3．（5分）已知边长为2的等边△ABC，O为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，
∵，∴，故①错误；
，故②正确；
∵O为等边△ABC的中心，∴，可得，故③正确；
由已知求得，且∠AOB＝120°，
∴，故④正确．
∴正确的个数是3．
故选：C．
4．（5分）自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元．若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（ ）
A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元
【解答】解：从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率，
则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（元）．
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）＝cos2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，]∪[，）
C．（0，] D．（0，]∪[，]
【解答】解：函数f（x）＝cos2sinωxcosωxsinωx＝sin（ωx），
可得T，π，0＜ω≤1，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：
或，
解得ω∈（0，]∪[，]．
故选：D．
6．（5分）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为S1，圆台的侧面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．无法确定S1与S2的大小
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，设圆台上下底的半径分别为a，b，由其母线与下底面成60°角，且母线长佮好等于上下底半径之和，
则AE＝CD＝a，BE＝b﹣a，DB＝a+b，且a+b＝2（b﹣a），解得：b＝3a，
故，
取AC中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接OB，OD，
则由勾股定理得：，
又，由勾股定理逆定理可得：OB⊥OD，
所以，
故满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，
此球体积最大且半径是，表面积，
圆台上下底的半径分别为a，3a，母线长为4a，
侧面积，
则S1＜S2．
故选：B．
7．（5分）已知函数，则f（﹣1），f（e2），f（2e）的大小关系是（ ）
A．f（﹣1）＜f（2e）＜f（e2） B．f（﹣1）＜f（e2）＜f（2e）
C．f（e2）＜f（﹣1）≤f（2e） D．f（2e）＜f（e2）＜f（﹣1）
【解答】解：，
令t＝|x﹣2|，t＞0，则g（t）＝ln（t+1），t＞0，
求导可得0，
则g（t）在（0，+∞）上单调递增．
又f（﹣1）＝g（3），f（e2）＝g（e2﹣2），f（2e）＝g（2e﹣2），
因为e2﹣2＞2e﹣2＞3，所以g（e2﹣2）＞g（2e﹣2）＞g（3），
故答案为：A．
8．（5分）在△ABC中，，点M，N分别在边AB，BC移动，且MN＝BN，沿MN将△BMN折起来得到棱锥B﹣AMNC，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由得，由余弦定理得CB＝4，
则△ABC是直角三角形，C为直角，对MN的任何位置，当面MNB⊥面AMNC时，此时的点B到底面AMNC的距离最大，此时∠NMB即为MB与底面AMNC所成的角，
设BM＝2x，
在△MNB中，，
点B到底面AMNC的距离，
则，
，
令V′B﹣AMNC＝0，解得，可得下表：
x
（0，）
（，）
V′B﹣AMNC
+
0
﹣
VB﹣AMNC
↑
极大值
↓
故当时，该棱锥的体积最大，为．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（ ）
A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A（a，0，0），A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴，
∵两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，
∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°．
B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．
（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．
∴直线A1D与BC1垂直．
C．D1（0，0，a）．
∵（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，不平行；
D．三棱锥A﹣A1CD的体积．
综上可知：只有C不正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．时f（x）存在单调递增区间
B．时f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
【解答】解：存在单调递增区间，
即f'（x）＞0在（0，+∞）有解，即在（0，+∞）有解，
又最小值为，故，A正确；
时，函数y＝ax2+2x﹣3的判别式Δ＝12a+4＞0，存在两个零点，
但，故在a＞0时x1，x2异号，只有一个值是f'（x）＝0的解，
即只有一个变号零点，f（x）只有一个极值点，B错误；
f（x）为减函数，即恒成立，
则a＜0且Δ＝12a+4⩽0，故，C正确；
当时，，
函数y＝ax2+2x﹣3的判别式Δ＝12a+4＞0，存在两个零点，且，x1＞0，x2＞0，
不妨设x1＜x2，可得0＜x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0，x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，
即f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上递减，在（x1，x2）上递增，
x2是极大值点，f（x）存在极大值，D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时（点A在第一象限），|AF|＝2|BF|
C．若AB中点M的横坐标为3，则|AB|最大值为8
D．点A坐标（4，4），且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD方程为：4x+8y+7＝0
【解答】解：选项A，当AB为抛物线的通径时，|AB|最小，为1+1+2＝4，即A正确；
选项B，由题意知，此时直线AB的方程为y（x﹣1），
联立，解得x＝3或，
因为点A在第一象限，所以xA＝3，xB，
所以|AF|＝xA3+1＝4，|BF|＝xB1，所以|AF|＝3|BF|，即B错误；
选项C，|AB|≤|AF|+|BF|＝xA+xB+2＝2×3+2＝8，所以|AB|最大值为8，即C正确；
选项D，由A（4，4），F（1，0），知kAF，所以kAB，
所以直线AF的方程为y（x﹣1），直线AB的方程为yx，
联立，解得x或4，所以xD，yD＝﹣1，
联立，解得x或4，所以xB，yB＝﹣7，
所以直线BD的方程为y+1（x），即4x+8y+7＝0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）将n2个数排成n行n列的一个数阵．如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（ ）
A．m＝3
B．
C．
D．
【解答】解：∵a11＝2，a13＝a61+1，
∴2m2＝2+（6﹣1）m+1，解得m＝3或（舍负），即选项A正确；
∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）•3]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，即选项C错误；
令T，则
T＝a11+a22+…+akk＝2•30+5•31+8•32+…+（3k﹣1）•3k﹣1①，
3T＝2•31+5•32+8•33+…+（3k﹣4）•3k﹣1+（3k﹣1）•3k②，
①﹣②得，﹣2T＝2+3•31+3•32+3•33+…+3•3k﹣1﹣（3k﹣1）•3k＝2+3（3k﹣1）•3k＝（3k）•3k，
∴T（）•3k，
当k＝18时，（）•318，即选项B正确；
S＝（a11+a12+…+a1n）+（a21+a22+…+a2n）+…+（an1+an2+…+ann）
（3n﹣1）•（a11+a21+…+an1）
（3n﹣1）•（2n3）
n（3n+1）（3n﹣1），即选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2）6的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．
【解答】解：由于（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 •24＝240，
故答案为：240．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，
则d2，即3k2﹣4k≤0，
∴0≤k．
∴k的最大值是．
故答案为：．
15．（5分）在△ABC中，tanB＝4tanA，则当B﹣A取最大值时，sinC＝ 1 ．
【解答】解：∵在△ABC中，tanB＝4tanA，可得tanA＞0，且0＜B﹣A，
∵tan（B﹣A），当且仅当tanA时等号成立，
∵y＝tanx在（0，）上单调递增，此时B﹣A取最大值，且tanB＝2，
∴tanA•tanB＝1，
∴sinAsinB＝cosAcosB，得cos（A+B）＝0，
∴A+B，此时sin（A+B）＝1，
∴sinC＝1．
故答案为：1．
16．（5分）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|＝3|QN|，则双曲线的离心率是 ．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，|FQ|b，|OF|＝c，
在直角三角形QOF中，cos∠QFO，①
设|QN|＝t，则|QM|＝3t，|FN|＝b﹣t，
由双曲线的定义可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，
在三角形FNF'中，可得cosNFF'，②
在三角形FMF'中，可得cos∠MFF'，③
由①②化简可得t，
由①③化简可得t，
所以a+b＝3b﹣3a，
即b＝2a，
则e．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}中a1＝1．M（1，1），An（2，an），Bn（3，2an+1﹣3）为直角坐标平面上的点．对任意n∈N*，M、An、Bn三点共线．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
【解答】解：（1）由题意得：，
∵M、An、Bn三点共线，则 ，
∴2an﹣2＝2an+1﹣4，即 an+1﹣an＝1．
∴数列 {an}是首项为 1 公差为 1 的等差数列，
∴an＝n．
（2）∵，
∴（1）
（1）
（）
．
18．（12分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
（1）当时，求AC的长；
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
【解答】解：（1）绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设．
在△ABC中，，
由余弦定理，得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BC⋅cos∠ABC＝117，故．
因此AC的长为米．
（2）由题意，，所以 ．
在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝72+72sin2α．
所以.．
于是．
当，即时，S取到最大值，最大值为．
因此，当时，养殖场OABC最大的面积为平方米．
19．（12分）如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA＝4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且．
（1）求点O到平面PAB的距离；
（2）设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sinφ的值．
【解答】解：（1）由题意知：PO⊥OA，PO⊥OB，OA⋂OB＝O，
OA⊂平面AOB，OB⊂平面AOB，∴PO⊥平面AOB，
又PO＝2OA＝4，所以，
所以，
设点O到平面PAB的距离为d，
由VO﹣PAB＝VP﹣OAB得，解得；
（2）以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），
由题意知，则，
所以．
设平面PAB的法向量为，则，取c＝1，则a＝b＝2，
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．
20．（12分）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21．
改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
改造后
合计
（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，k∈N*）进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T＝30，k＝1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．
附：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，（其中n＝a+b+c+d）
【解答】解：（1）2×2列联表为：
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
5
15
20
改造后
15
5
20
合计
20
20
40
零假设为：H0：技术改造前后的连续正常运行时间无差异，
∴，
∴依据小概率值α＝0.010的独立性检验分析判断H0不成立，即技术改造前后的连续正常运行时间有差异．
（2）由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为．
设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ，则ξ～B（4，）；
一个生产周期内的正常维护费为0.5×4＝2万元，保障维护费为 万元，
∴一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为 （0.1ξ2+0.1ξ+2）万元．
设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，，
，
，
，
．
所以，X的分布列为：
X
2
2.2
2.6
3.2
4
P
，
∴一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元．
21．（12分）设F1，F2分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设D（0，1）是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A、B两点（异于点D），过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长度为定值？并证明你的结论．
【解答】解：（1）由题意知，点M在第一象限，
因为点M是椭圆C上一点，且MF2与x轴垂直，
所以M的横坐标为c，
当x＝c时，y，即M（c，），
又直线MN的斜率为，
所以tan∠MF1F2，
即b2ac＝a2﹣c2，
所以（）2•1＝0，
所以e2e﹣1＝0，
所以e或（舍），
所以椭圆C的离心率为．
（2）因为D（0，1）是椭圆C的上顶点，
所以b＝1，
由（1）知椭圆C的离心率为，
所以ca，
因为b2+c2＝a2，
所以1+（a）2＝a2，解得a2＝2，
所以椭圆的方程为y2＝1，
设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣1）＝0①，
所以x1+x2，x1x2，
又（x1，y1﹣1），（x2，y2﹣1），
因为过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A，B两点（异于点D），
所以•x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）
＝x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）
＝（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2，
＝（1+k2）•k（m﹣1）（）+（m﹣1）2，
0，
化简整理得3m2﹣2m﹣1＝0，
解得m或m＝1（舍），
所以直线AB经过y轴上定点G（0，），
又点Q在以DG为直径的圆上，取DG的中点为R（0，），
则|RQ|为定值，且|RQ||DG|．
22．（12分）已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，3π）上极值点的个数并证明；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，⋯，xn，⋯，设an＝f（xn），Sn为数列{an}的前n项和．
①证明：a1+a2＜0；
②问是否存在n∈N*使得Sn≥0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f（x）在区间（0，3π）内恰有两个极值点，证明如下：
证明：因为，所以，设 g（x）＝xcosx﹣sinx，
又 g′（x）＝﹣xsinx，
当 x∈（0，π]时，∵sinx＞0，g′（x）＜0，g（x）在（0，π]上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，∴g（x）在（0，π）上无零点；
当 x∈（π，2π]时，∵sinx＜0，g′（x）＞0，g（x）在（π，2π）上单调递增，g（π）＝﹣π＜0，g（2π）＝2π＞0，∴g（x）在（π，2π）上有唯一零点；
当 x∈（2π，3π]时，∵sinx＞0，g′（x）＜0，g（x）在（2π，3π）上单调递减，∵g（2π）＞0，g（3π）＜0，∴g（x）在（2π，3π）上有唯一零点．
综上，函数g（x）在区间（0，3π）上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数f（x）在区间（0，3π）内恰有两个极值点．
（2）①证明：由 （1）知f（x）在x∈（0，π]无极值点；在x∈（π，2π]有极小值点，即为 x1；在x∈（2π，3π]有极大值点，即为x2，
同理可得，在 （3π，4π]有极小值点x3，在 （nπ，（n+1）π]有极值点xn，
由 xncosxn﹣sinxn＝0得xn＝tanxn，
∵x2＞x1，∴tanx2＞tanx1＝tan（x1+π），
∵，
∴，
∵，
由函数 y＝tanx在 单调递增，可得 x2＞x1+π，
∴，
由y＝cosx在单调递减得cosx2＜cos（x1+π）＝﹣cosx1，
∴a1+a2＝f（x1）+f（x2）＜0．
②不存在，理由如下：
同理，，
由y＝cosx在 上单调递减，可得 cosx2n＜﹣cosx2n﹣1，
∴a2n+a2n﹣1＝f（x2n）+f（x2n﹣1）＝cosx2n+cosx2n﹣1＜0，a2n＝f（x2n）＞0，a2n﹣1＝f（x2n﹣1）＜0，
当n为偶数时，从a1＝f（x1）开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即 Sn＝[f（x1）+f（x2）]+[f（x3）+f（x4）]+⋯+[f（xn﹣1）+f（xn）]＜0，结论成立；
当n为奇数时，从a1＝f（x1）开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即 Sn＝[f（x1）+f（x2）]+[f（x3）+f（x4）]+⋯+[f（xn﹣2）+f（xn﹣1）]+f（xn）＜0，结论也成立，
综上，对一切n∈N*，Sn＜0成立，故不存在n∈N*使得Sn≥0．
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