2022-2023学年湖南省怀化市长沙市长郡中学等校高三（上）开学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省怀化市长沙市长郡中学等校高三（上）开学数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省怀化市长沙市长郡中学等校高三（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（1，3） C．[1，3] D．[3，+∞）
2．（5分）设i是虚数单位，已知复数z满足（1﹣i）z＝1+（a﹣1）i（a∈R），且复数z是纯虚数，则实数a＝（　　）
A． B． C．1 D．2
3．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（　　）

A． B． C． D．
5．（5分）将函数f（x）＝2cos（x﹣φ）图像上各点的横坐标变为原来的ω（ω＞0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，若对于满足|g（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，都有|x1﹣x2|min，则ω的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
6．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若|MA|＝2|AF|，则|AF|＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（　　）
A． B． C． D．[π，2π]
8．（5分）设a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则（　　）
A．P（25.35＜ξ＜25.45）＝0.8 B．E（X）＝2.4
C．D（X）＝0.48 D．P（X≥1）＝0.488
（多选）10．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（　　）
A．异面直线EF、PD所成角的大小为
B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
C．△EMF周长的最小值为
D．存在点M使得PB⊥平面MEF
（多选）11．（5分）已知正数α，β满足eα﹣eβ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．2α﹣β+1＞2
C．lnα+α＞lnβ+β D．
（多选）12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且F1到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线．则下列正确的是（　　）
A．双曲线的方程为
B．|PF1|＝3|PF2|
C．
D．点P到x轴的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量（1，），（3，），则在方向上的投影向量是 　 　．
14．（5分）已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则P（B|A）＝　 　．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，C：（x+1）2+y2＝9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l1，l2．设直线l1，l2的交点为P（m，n），则m的最大值为 　 　．
16．（5分）已知数列{an}的各项都是正数，．若数列{an}各项单调递增，则首项a1的取值范围是 　 　；当时，记，若，则整数k＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1，当n≥2时，anSn﹣an．
（1）求Sn；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且2S（）＝（a2+b2）sinA．
（1）求C的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
19．（12分）如图所示，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，且OA＝4，点C在线段AB上，且BC＝3CA，点D是以BC为直径的圆上一动点．
（1）当CD＝CO时，证明：平面PAD⊥平面POD；
（2）当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．

20．（12分）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
（1）求乙同学得100分的概率；
（2）记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
21．（12分）已知椭圆，（a＞1）的上、下顶点是B1，B2，左，右顶点是A1，A2，点D在椭圆Γ内，点M在椭圆Γ上，在四边形MB1DB2中，若MB1⊥B1D，MB2⊥B2D，且四边形MB1DB2面积的最大值为．
（1）求a的值；
（2）已知直线x＝my+1交椭圆Γ于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，证明：当m变化时，存在不同于A2的定点T，使得|A2S|＝|ST|．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+2ax﹣1，其中a为实数，e为自然对数底数，e＝2.71828…．
（1）已知函数x∈R，f（x）＞0，求实数a取值的集合；
（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个不同极值点x1、x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：2．

2022-2023学年湖南省怀化市长沙市长郡中学等校高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（1，3） C．[1，3] D．[3，+∞）
【解答】解：B＝{x|x＜1，或x＞4}；
∵A∪B＝R；
∴；
∴1＜a＜3；
∴a的取值范围是（1，3）．
故选：B．
2．（5分）设i是虚数单位，已知复数z满足（1﹣i）z＝1+（a﹣1）i（a∈R），且复数z是纯虚数，则实数a＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：由（1﹣i）⋅z＝1+（a﹣1）i，得，
又因为z为纯虚数，所以a＝2．
故选：D．
3．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由f（x）＝ex﹣1+ax2+1，得f'（x）＝ex﹣1+2ax，
因为函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图象在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
所以f'（1）＝1+2a＝3，则a＝1．
故选：A．
4．（5分）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，设∠AOB＝θ，则，
所以tanθ．
故选：A．

5．（5分）将函数f（x）＝2cos（x﹣φ）图像上各点的横坐标变为原来的ω（ω＞0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，若对于满足|g（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，都有|x1﹣x2|min，则ω的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：由题可得，若满足|g（x1）﹣g（x2）|＝4，
则x1和x2必然一个为极大值点，一个为极小值点，
又，则，即，所以，所以．
故选：A．
6．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若|MA|＝2|AF|，则|AF|＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：由题意可知，如图所示，

在抛物线上，则，
易知，，又|MA|＝2|AF|，
所以，
圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，
则，
由|MA|＝|ME|＝r，于是在Rt△MDE中，，
由①②解得：，所以．
故选：C．
7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（　　）
A． B． C． D．[π，2π]
【解答】解：连接PQ，QA，由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，
可知：△ABC和△PBC是等边三角形，
设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC＝BC，
所以PQ⊥底面ABC，而AQ⊂底面ABC，
因此PQ⊥AQ，
所以OFQE是矩形，△ABC和△PBC是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形OFQE中，，OF＝EQ，连接OA，
所以，
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，
因此圆Q的半径为：，所以此时面积为π⋅12＝π，
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为．
故选：A．

8．（5分）设a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：因为，，，
故构造函数，则，
令，解得x＝e，
当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，
又因为，b＝f（e），c＝f（4）
所以a＜b，c＜b．
因为，
又，
所以，即c＞a，
故a＜c＜b．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则（　　）
A．P（25.35＜ξ＜25.45）＝0.8 B．E（X）＝2.4
C．D（X）＝0.48 D．P（X≥1）＝0.488
【解答】解：∵ξ服从正态分布N（25.40，σ2），
∴P（ξ≥25.45）＝P（ξ≤25.35）＝0.1，
∴P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣P（ξ≥25.45）﹣P（ξ≤25.35）＝1﹣0.1﹣0.1＝0.8，故A选项正确，
∵X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，即X～B（3，0.2），
∴E（X）＝3×0.2＝0.6，D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48，故B选项错误，C选项正确，
P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（0.8）3＝0.488，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（　　）
A．异面直线EF、PD所成角的大小为
B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
C．△EMF周长的最小值为
D．存在点M使得PB⊥平面MEF
【解答】解：如图1，取PD的中点Q，连接EQ，AQ，
因为E，F分别是PC，AB的中点，
所以EQ∥DC∥AF，且EQ＝AF，所以四边形AFEQ为平行四边形，
则EF∥AQ，又正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为，
则AQ⊥PD，所以异面直线EF，PD所成角为，故A错误；

设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，
则PO⊥平面ABCD，OC＝OP＝2，
设OC的中点为H，连接EH，FH，
则EH∥OP，且EH⊥平面ABCD，
所以为直线EF与平面ABCD所成角，所以，△OFH中，OH＝1，，，
所以由余弦定理可得，所以，
所以，故B正确；
将正△PAB和△PBC沿PB翻折到一个平面内，如图2，
当E，M，F三点共线时，ME+MF取得最小值，
此时，点M为PB的中点，，
所以△EMF周长的最小值为，故C正确；
若PB⊥平面MEF，则PB⊥ME，此时点M为PB上靠近点P的四等分点，
而此时，PB与FM显然不垂直，故D错误；
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知正数α，β满足eα﹣eβ，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．2α﹣β+1＞2
C．lnα+α＞lnβ+β D．
【解答】解：∵eα﹣eβ，
∴eαeβ，
令f（x）＝ex，x∈（0，+∞），
g（x）＝2x+sinx，g'（x）＝2+cosx＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
由复合函数单调性得y在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（α）＞f（β），则α＞β＞0，
对于A：（）（α+β）＝22+24，
∴，故A错误；
对于B：∵α＞β，∴α﹣β+1＞1，
∴2α﹣β+1＞2，故B正确；
对于C：∵α＞β＞0，∴lnα＞lnβ，
∴lnα+α＞lnβ+β，故C正确；
对于D：∵α＞β＞0，∴eα＞eβ＞0，，
∴，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且F1到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线．则下列正确的是（　　）
A．双曲线的方程为
B．|PF1|＝3|PF2|
C．
D．点P到x轴的距离为
【解答】解：F1（﹣c，0）到的距离为，，解得c＝6，
又渐近线方程为，则，结合a2+b2＝c2可解得a＝3，，
则双曲线的方程为，故A正确；PQ为∠F1PF2的平分线，，故B错误；
由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|＝6，则可得|PF1|＝12，|PF2|＝6，
则在△PF1F2中，，
则，
则，即，故C正确；
在△PF1F2中，，
设点P到x轴的距离为d，则，
即，解得，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量（1，），（3，），则在方向上的投影向量是 　（，）　．
【解答】解：根据题意，向量（1，），（3，），
则在方向上的投影向量为||cos，（，）．
故答案为：（，）．
14．（5分）已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则P（B|A）＝　　．
【解答】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，
因为，所以．
故答案为：．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，C：（x+1）2+y2＝9，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线l1，l2．设直线l1，l2的交点为P（m，n），则m的最大值为 　　．
【解答】解：设点P（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，0），
因为分别以点A，B为切点作圆C的切线l1，l2．
设直线l1，l2的交点为P，所以CA⊥AP，则，
即（x1+1）（m﹣x1）+y1（n﹣y1）＝0，
所以，因为，
所以（m+1）x1+ny1+m﹣8＝0，
即（x1，y1）是方程（m+1）x+ny+m﹣8＝0的解，
所以点A（x1，y1）在直线（m+1）x+ny+m﹣8＝0上，
同理可得B（x2，y2）在直线（m+1）x+ny+m﹣8＝0上，
所以弦AB所在直线的方程为（m+1）x+ny+m﹣8＝0，
因为直线AB与圆O相切，所以，
解得n2＝63﹣18m≥0，得，
即m的最大值为．
故答案为：．
16．（5分）已知数列{an}的各项都是正数，．若数列{an}各项单调递增，则首项a1的取值范围是 　（0，2）　；当时，记，若，则整数k＝　﹣4　．
【解答】解：由题意，正数数列{an}是单调递增数列，且，
∴，且，解得an+1∈（1，2），
∴a2∈（1，2），∴，
又由，
可得：，
∴．∵，
∴

．
∵，且数列{an}是递增数列，∴a21∈（1，2），即，
∴．∴整数k＝﹣4．
故答案为：（0，2）；﹣4．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1，当n≥2时，anSn﹣an．
（1）求Sn；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【解答】解：（1）当n≥2时，，所以，，
整理得：SnSn﹣1＝Sn﹣1﹣Sn，即．
当n＝1时，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）知，所以，
所以①，
所以②，
由①﹣②得，
，
所以．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且2S（）＝（a2+b2）sinA．
（1）求C的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）在△ABC中，由三角形面积公式得：，
由正弦定理得，又sinA＞0，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，
∴，
又0＜C＜π，故；
（2）∵，，
由正弦定理得，，
即△ABC的周长
，
∵，∴，∴，
∴，
∴△ABC的周长的取值范围是．
19．（12分）如图所示，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，且OA＝4，点C在线段AB上，且BC＝3CA，点D是以BC为直径的圆上一动点．
（1）当CD＝CO时，证明：平面PAD⊥平面POD；
（2）当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣A的余弦值．

【解答】证明：（1）PO垂直于圆锥的底面，AD在圆锥的底面，
，
当CD＝CO时，且BC＝3CA，则CD＝OC＝AC，
，
又OD∩PO＝O，OD，PO⊂平面POD，
∴AD⊥平面POD，
又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面POD；
解：（2）由题可知OA＝OB＝4，且轴截面为等腰直角三角形，
，，
当三棱锥P﹣BCD的体积最大时，△DBC的面积最大，此时D为弧BC的中点，
如图，以点O为坐标原点，过O点且垂直AB的直线为x轴，OB，OP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（0，﹣4，0），B（0，4，0），P（0，0，4），D（3，1，0），
∴，，，
设平面PAD的法向量为，
则，即，令a＝5，解得，
∴，
设平面PBD的法向量，
则，即，令x＝1，解得，
∴，
则，
由图可知该二面角为钝角，
∴二面角B﹣PD﹣A的余弦值为．

20．（12分）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
（1）求乙同学得100分的概率；
（2）记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为
（2）由题意，甲同学的累计得分X可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
X
0
50
100
150
200
P（X）





所以期望．
21．（12分）已知椭圆，（a＞1）的上、下顶点是B1，B2，左，右顶点是A1，A2，点D在椭圆Γ内，点M在椭圆Γ上，在四边形MB1DB2中，若MB1⊥B1D，MB2⊥B2D，且四边形MB1DB2面积的最大值为．
（1）求a的值；
（2）已知直线x＝my+1交椭圆Γ于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，证明：当m变化时，存在不同于A2的定点T，使得|A2S|＝|ST|．
【解答】解：（1）由已知B1（0，1），B2（0，﹣1），
设M（x3，y3），D（x4，y4），则x3≠0，
因为MB1⊥B1D，MB2⊥B2D，
所以，
，
两式相减得y4＝﹣y3，代回原式得，
因为，所以，
又，，
因为S的最大值为，所以，得a＝2或（舍去），
所以a的值为2．
（2）证明：由已知有x＝my+1，
取m＝0，可得，，
则直线A1P的方程为，直线A2Q的方程为，
联立，可得交点为，
若，，由对称性可知交点，
若点S在同一直线l上，则直线l的方程为x＝4，
以下证明：对任意的m，直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l：x＝4上．
联立，消去x，整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
设A1P与l交于点S0（4，y0），由可得，
设A2Q与l交于点S'0（4，y'0），由，可得，
因为
，
所以y0＝y'0，即S0与S'0重合，
所以当m变化时，点S均在直线l：x＝4上，
因为A2（2，0），S（4，y），所以要使|A2S|＝|ST|，只需x＝4为线段A2T的垂直平分线，
根据对称性可得点T（6，0），
故存在定点T（6，0）满足条件．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+2ax﹣1，其中a为实数，e为自然对数底数，e＝2.71828…．
（1）已知函数x∈R，f（x）＞0，求实数a取值的集合；
（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个不同极值点x1、x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：2．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex+2ax﹣1，得f'（x）＝ex+2ax，
当a≥0时，∵f（﹣1）＝（1）﹣2a＜0，不合题意，
当a＜0时，当x∈（﹣∞，ln（﹣2a））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（ln（﹣2a），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（ln（﹣2a））＝﹣2a+2aln（﹣2a）﹣1，
要f（x）≥0，只需f（x）min＝﹣2a+2aln（﹣2a）﹣1≥0，
令g（x）＝x﹣xlnx﹣1，则g′（x）＝﹣lnx，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）≤g（1）＝0，则由g（﹣2a）＝﹣2a+2aln（﹣2a）﹣1≥0，得﹣2a＝1，
∴a，故实数a的取值的集合为{}；
（2）①由已知F（x）＝ex+2ax﹣1﹣ax2，F′（x）＝ex+2a﹣2ax，
∵函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个不同极值点x1、x2．
∴F′（x）＝ex+2a﹣2ax有两个零点，
若a≤0时，则F′（x）在R上单调递增，F′（x）在R上至多一个零点，与已知矛盾，舍去，
当a＞0时，由ex+2a﹣2ax＝0，得，令φ（x），
∴φ′（x），当x∈（﹣∞，2）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
当x∈（2，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
∴φ（x）max＝φ（x），
∵φ（1）＝0，当x→+∞，φ（x）→0，∴0，∴a，
故实数a的取值范围（，+∞）；
②证明：设x1＜x2．由①得1＜x1＜2＜x2．
∵φ（x1）＝φ（x2）＝0，∴e2ax1﹣2a，e2ax2﹣2a，
∴，取对数得x2﹣x1＝ln（x2﹣1）﹣ln（x1﹣1），
令x1﹣1＝t1，x2﹣1＝t2，则t2﹣t1＝lnt2﹣lnt1，即t2﹣lnt2＝t1﹣lnt1，（0＜t1＜1＜t2．
令u（t）＝t﹣lnt，则μ（t1）＝μ（t2），
∵u′（t）＝1，∴u（t）＝t﹣lnt在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
令h（t）＝u（t）﹣u（）＝t2lnt，则h′（t）0，h（t）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝0，∴t∈（0，1）时，h（t）＜h（1）＝0，即u（t）＜u（），
∴t2＞1，2﹣t1＞1，u（t）＝t﹣lnt在）1，+∞）上单调递增，∴t2，
∴x2﹣1，即x1x2＜x1+x2．
∴x1x2＜x1+x2（x1+x2）（x1+x2），
故2成立．
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