2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x＝0}，B＝{x∈R|x2+x≠0}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{﹣1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．（5分）若函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象经过以下变换得到的，则该变换为（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM＝2B1N＝λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法．若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk，f（xk））的切线为y＝f'（xk）（x﹣xk）+f（xk），切线与x轴交点的横坐标为xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数f（x）＝x2﹣5，满足x0＝1．应用上述方法，则x3＝（　　）
A．3 B． C． D．
7．（5分）在四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG＝2，点O在线段AG上，则的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
8．（5分）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sinπx+cosπx（x∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）的最大值是2
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）的图象关于直线对称
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lnx，a＞0，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数y＝f（a+x）﹣f（x）是其定义域上的减函数
B．函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）是其定义域上的减函数
C．函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）是其定义域上的增函数
D．函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）是其定义域上的增函数
（多选）11．（5分）已知直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是M（m，1），则（　　）
A．k＝2 B．m＝3 C．|AB|＝5 D．OA⊥OB
（多选）12．（5分）如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则（　　）

A．圆锥的表面积是45π
B．球O的体积是
C．四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为
D．|QE|+|QF|的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，则实数a+b＝　 　．
14．（5分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+anxn（n∈N*，n≥4），若a4≥ai，i∈{0，1，2，⋯，n}，则n的所有可能取值的个数是 　 　．
15．（5分）某灯泡厂对编号为1，2，⋯，15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，方差为15000，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，方差为12000，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为 　 　．
16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点O为坐标原点，且，则双曲线C的离心率为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣1，数列{bn}（n∈N*）是等差数列，其前n项和是Tn，且b1＝a3，b5＝a5．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使得Tm是数列{bn}中的项的m的取值集合．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且tanB．
（1）探究A与B的关系并证明你的结论；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝BC＝2CD＝2，△PBC是正三角形．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，求：
①点A到平面PBC的距离；
②平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．

20．（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．
（1）请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

满意
不满意
合计
工薪族



非工薪族



合计



（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n（n∈N*），若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．记此时抽样次数为Xn．
①若n＝5，求X5的分布列和数学期望；
②请写出Xn的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义．
附：
a
0.050
0.010
0.005
x0
3.841
6.635
7.879
参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．
21．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AP，BP的交点为P，且它们的斜率之积为．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设点C为x轴上（不同于A，B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q，直线PQ与直线x＝﹣2和直线x＝2分别交于M，N两点，求证：∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．

22．（12分）已知f（x）＝e1﹣x+（a+1）lnx．
（1）若f（x）在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a，若g（x）存在两个不同的零点x1，x2．
①求a的取值范围；
②证明：x1+x2＞2．

2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x＝0}，B＝{x∈R|x2+x≠0}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{﹣1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【解答】解：由题意可得，x2﹣x＝0，即x＝1或x＝0，故A＝{0，1}，
又x2+x≠0，即x≠﹣1或x≠0，则B＝{x∈R|x≠﹣1或x≠0}，
则A∩B＝{1}，
故选：A．
2．（5分）复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：∵，
∴（﹣i）5＝（﹣i）4•（﹣i）＝﹣i．
故选：C．
3．（5分）若函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象经过以下变换得到的，则该变换为（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【解答】解：f（x）＝sin2x＝cos（2x），
即函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到，
故选：D．
4．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM＝2B1N＝λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过N作NP∥B1C1交A1C1于P，连接CP，

因为MC∥B1C1，∴NP∥MC，故N，P，M，C共面，
因为MN∥平面 AA1C1C，平面MNPC∩平面 AA1C1C＝CP，MN⊂平面MNPC，
所以MN∥CP，又NP∥MC，
∴四边形MNPC为平行四边形，
又CM＝2B1N＝λ，∴NP＝1λ＝CM，
∴，
故选：B．
5．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设甲条生产线生产芯片的次品率为p，则甲生产12块芯片可能出现的次品为12p，乙生产8块可能出现的次品为8，
所以生产20块芯片的次品率为0.08，解得p，
所以甲厂生产该芯片的次品率为．
故选：B．
6．（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法．若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk，f（xk））的切线为y＝f'（xk）（x﹣xk）+f（xk），切线与x轴交点的横坐标为xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数f（x）＝x2﹣5，满足x0＝1．应用上述方法，则x3＝（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣5，所以f′（x）＝2x，又x0＝1，f′（x0）＝2，
所以在点P0（1，﹣4）的切线方程为y+4＝2（x﹣1），
令y＝0，解得x1＝3，得P1（3，4），所以在点P1的切线方程为y﹣4＝6（x﹣3），
令y＝0，得，所以，所以在点P2的切线方程为，
令y＝0，得，
故选：C．
7．（5分）在四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG＝2，点O在线段AG上，则的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：如图所示：

因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以．
故选：A．

8．（5分）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【解答】解：易知a，b，c∈（0，+∞），
又30a＝5sin，30b＝6sin，30c＝2cos，
设f（x），x∈（0，），∵x∈（0，）时，x＜tanx，
∴，
∴f（x）在（0，）上单调递减，
∴f（）＜f（），即30a＜30b，∴a＜b，
∵x∈（0，）时，sinx＜x，
∴30b＝6sin61，
而30c＝2cos2cos1，
∴30c＞30b，∴c＞b，
综合可得a＜b＜c．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sinπx+cosπx（x∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）的最大值是2
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）的图象关于直线对称
【解答】解：函数f（x）＝sinπx+cosπx，
对于选项A，函数f（x）的周期，即函数f（x）是周期函数，即选项A正确；
对于选项B，当，即，k∈Z时，函数f（x）取最大值，即选项B错误；
对于选项C，由，k∈Z，可得：，k∈Z，即函数f（x）的图象关于点，k∈Z对称，即选项C正确；
对于选项D，由，k∈Z，可得：，k∈Z，即函数f（x）的图象关于直线，k∈Z对称，令，k无整数解，即选项D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lnx，a＞0，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数y＝f（a+x）﹣f（x）是其定义域上的减函数
B．函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）是其定义域上的减函数
C．函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）是其定义域上的增函数
D．函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）是其定义域上的增函数
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx，a＞0，
∴函数y＝f（a+x）﹣f（x）＝ln（a+x）﹣lnx＝lnln（1）在其定义域上是减函数，故A正确；
函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）＝ln（a﹣x）﹣ln（﹣x）＝lnln（1）在其定义域上是增函数，故B错误；
函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）＝ln（a﹣x）+ln（a+x）＝ln（a﹣x）（a+x）＝ln（a2﹣x2）在其定义域（﹣a，a）上不单调，故C错误；
函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）＝ln（a+x）﹣ln（a﹣x）＝lnln（1）在其定义域上是增函数，故D正确，
故选：AD．
（多选）11．（5分）已知直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是M（m，1），则（　　）
A．k＝2 B．m＝3 C．|AB|＝5 D．OA⊥OB
【解答】解：联立，消去x可得1＝0，
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
可得y1+y2，y1y2＝﹣4，
由线段AB的中点是M（m，1），可得y1+y2＝2，
即有2，即k＝2，故A正确；
x1+x2[（y1+y2）2﹣2y1y2]（4+8）＝3，
即有2m＝3，解得m，故B错误；
|AB|•5，故C正确；
由kOA•kOB••4≠﹣1，所以OA不垂直于OB，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则（　　）

A．圆锥的表面积是45π
B．球O的体积是
C．四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为
D．|QE|+|QF|的最大值为
【解答】解：依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为O2，连接PO1，如图，

正△PAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心O2都在线段PO1上，连OQ，O2Q，，
则球O的半径，显然OQ⊥PQ，O2Q⊥PO，∠POQ＝60°，，
对于A，圆锥的表面积是，A错误；
对于B，球O的体积是，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心O2到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥Q﹣AEBF的体积最大，
，当且仅当∠AO1E＝90°，即EF⊥AB时取“＝”，
则四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为，C正确；
对于D，因，则有QO1＝EO1＝FO1＝3，即QE⊥QF，因此QE2+QF2＝EF2＝36，
由均值不等式得：，即，当且仅当QE＝QF时取“＝”，D正确．
故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，则实数a+b＝　5　．
【解答】解：不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，
即x2﹣ax+b＝0的解为x1＝1，x2＝2，
由韦达定理可得：x1+x2＝a，即a＝3
x1•x2＝b，即b＝2．
那么：a+b＝5．
故答案为5
14．（5分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+anxn（n∈N*，n≥4），若a4≥ai，i∈{0，1，2，⋯，n}，则n的所有可能取值的个数是 　3　．
【解答】解：根据二项式定理展开式，当展开式的项数为奇数项时，正中间项的二项式系数最大，
当展开项为偶数项时，展开式的中间两项的二项式系数最大，
所以n的取值可以是7，8或9．
故答案为：3．
15．（5分）某灯泡厂对编号为1，2，⋯，15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，方差为15000，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，方差为12000，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为 　13600　．
【解答】解：根据题意，奇数号灯泡共8个，偶数号灯泡共7个，
又由奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，则15个灯泡平均使用寿命为1580，
这十五个灯泡的使用寿命的方差S21500012000＝13600；
故答案为：13600．
16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点O为坐标原点，且，则双曲线C的离心率为 　　．
【解答】解：过点A作AP⊥MN于点P，则点P为线段MN的中点，

因为点A为（a，0），渐近线方程为y＝±x，
所以点A到渐近线yx的距离为|AP|，
在Rt△OAP中，|OP|，
在Rt△NPA中，|NP|，
因为，所以|OP|＝|ON|+|NP|＝|NP||NP||NP|，
所以，即2a2＝3b2，
所以离心率e．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣1，数列{bn}（n∈N*）是等差数列，其前n项和是Tn，且b1＝a3，b5＝a5．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使得Tm是数列{bn}中的项的m的取值集合．
【解答】解：（1）由Sn＝2an﹣1知，a1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，所以an＝2an﹣1，所以数列{an}是等比数列，
故数列{an}的通项公式为，
又因为b1＝4，b5＝16，所以数列{bn}的公差为d＝3，
故数列{bn}的通项公式为bn＝4+（n﹣1）×3＝3n+1；
（2）由（1）知，，
而，所以当且仅当m＝3k+1（k∈N）时，Tm是数列{bn}中的项，
即所求的m的取值集合为{m|m＝3k+1，k∈N}．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且tanB．
（1）探究A与B的关系并证明你的结论；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解答】解：（1）AB，证明如下：
因为A为钝角，且tanB，
所以由正弦定理可得，
因为sinB≠0，
所以可得sinA＝cosB＝sin（B），
因为A为钝角，B为锐角，
可得AB＝π，
所以AB．
（2）由A+B+C＝π，且AB，
可得C2B＞0，
所以0＜B，
可得cosA+cosB+cosC
＝cos（B）+cosB+cos（2B）
＝﹣sinB+cosB+2sinBcosB，
令t＝cosB﹣sinB，则tcos（B）∈（0，1），且sin2B＝1﹣t2，
所以cosA+cosB+cosC＝﹣t2+t+1＝﹣（t）2，
当t时，取得最大值，最大值为，当t＝1或0时，函数值为1，
所以cosA+cosB+cosC的取值范围是（1，]．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝BC＝2CD＝2，△PBC是正三角形．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，求：
①点A到平面PBC的距离；
②平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．

【解答】（1）证明：如图，取AB的中点E，连接CE，AC，

∵AB＝2CD，AB∥CD，
∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，
又AD⊥AB，∴四边形AECD是矩形，∴CE⊥AB，
∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，
取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，
连接PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，
∵PO⋂AO＝O，POAO⊂平面PAO，
∴BC⊥平面PAO，∵PA⊂平面PAO，∴BC⊥PA．
（2）①由（1）知，△ABC是等边三角形，∴，
∴梯形ABCD的面积为定值，
故当平面PBC⊥平面ABCD时，四棱锥P﹣ABCD体积最大，
∵PO⊥BC，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，
∵OA⊥BC，BC∩PO＝O，BC、PO⊂平面PBC，∴AO⊥平面PBC，
故此时点A到平面PBC的距离等于；
②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
由，可得，
∴，
，
设平面PAD的一个法向量为，
由得，
可取，则，
设平面PAB的法向量为，
则，即，
取x1＝z1＝1，则，则，
设平面PAB与平面PAD的夹角为θ，则，
故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为．


20．（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．
（1）请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

满意
不满意
合计
工薪族



非工薪族



合计



（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n（n∈N*），若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．记此时抽样次数为Xn．
①若n＝5，求X5的分布列和数学期望；
②请写出Xn的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义．
附：
a
0.050
0.010
0.005
x0
3.841
6.635
7.879
参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由题意可得，2×2列联表为：

满意
不满意
合计
工薪族
40
30
70
非工薪族
40
10
50
合计
80
40
120
K26.857＞6.635，
根据α＝0.01的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；
（2）①当n＝5时，X5的取值为1，2，3，4，5．
由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，
所以P（X5＝1），P（X5＝2），P（X5＝3）＝（）2，P（X5＝4）＝（）3，P（X5＝5）＝（）4，
所以X5的分布列为：
X5
1
2
3
4
5
P


（）2
（）3
（）4
所以E（X5）＝123×（）24×（）35×（）4；
②由①得E（Xn）＝12...+（n﹣1）（）n﹣2n×（）n﹣1
[1×（）0+2×（）1+3×（）2+...+（n﹣1）（）n﹣2]+n×（）n﹣1，
令Sn＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+...+（n﹣1）（）n﹣2，（n＞2）①，
∴Sn＝1×（）1+2×（）2+3×（）3+...+（n﹣1）（）n﹣1，（n＞2）②，
①﹣②得，Sn＝（）0+（）1+（）2+...+（）n﹣2﹣（n﹣1）（）n﹣1＝3﹣（n+2）×（）n﹣1，
∴E（Xn）＝3﹣2×（）n﹣1，
当n趋向于正无穷大时E（Xn）趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．
21．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AP，BP的交点为P，且它们的斜率之积为．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设点C为x轴上（不同于A，B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q，直线PQ与直线x＝﹣2和直线x＝2分别交于M，N两点，求证：∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．

【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），
由题设，得，
故所求的点P的轨迹E的方程为．
（2）证明：设C（t，0），由题设知，直线MN的斜率k存在，
不妨设直线MN的方程为y＝kx+m，且P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，消去y并整理，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
则Δ＞0且，
由∠ACP＝∠ACQ，可得kCP+kCQ＝0，所以，
整理得y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，
可得（kx1+m）（x2﹣t）+（kx2+m）（x1﹣t）＝0，
整理得2kx1x2+（m﹣kt）（x1+x2）﹣2mt＝0
所以，
可得8k（m2﹣1）﹣8（m﹣kt）km﹣2mt（4k2+1）＝0，即4k+mt＝0，
将x＝﹣2代入y＝kx+m，可得yM＝m﹣2k，
则M（﹣2，m﹣2k），同理N（2，m+2k）．
由∠ACM＝∠ACN，可得kCM+kCN＝0，
所以，即4k+mt＝0，
所以∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．
22．（12分）已知f（x）＝e1﹣x+（a+1）lnx．
（1）若f（x）在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a，若g（x）存在两个不同的零点x1，x2．
①求a的取值范围；
②证明：x1+x2＞2．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）在定义域上单调递增，
故恒成立，
依题意可知，∀x∈（0，+∞），a+1≥xe1﹣x恒成立．
设F（x）＝xe1﹣x，则F′（x）＝（1﹣x）e1﹣x，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0，当x＞1时，F′（x）＜0，
则F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
因此F（x）≤F（1）＝1，故a+1≥1，即a≥0；
（2）①解：因为，
所以，
当0＜x＜1时，，
由（1）可知a≥0时，
恒成立，即有恒成立，
故g′（x）＞0．
当x＞1时，，
则h（x）＝1﹣xe1﹣x+a（1﹣x），则h′（x）＝（x﹣1）e1﹣x﹣a，
令m（x）＝（x﹣1）e1﹣x﹣a，m′（x）＝（2﹣x）e1﹣x，
当1＜x＜2时，m′（x）＞0，当x＞2时，m′（x）＜0，
则h′（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，从而．
当时，h′（x）≤0恒成立，此时h（x）单调递减，所以h（x）＜h（1）＝0，
即g′（x）≤0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减．
综上知，当x∈（0，1）时，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递减，
由g（x）存在两个零点，得g（1）＞0，即a＜1，从而．
设，可知当x∈（0，1）时，u（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，u（x）单调递减，故u（x）≤u（1）＝﹣1＜0，即lnx＜x，
由，
因此，取，则，且，
所以，
因此，g（x）在（1，+∞）上存在一个零点．
又取，则（a+1）lnt＝﹣e，从g（t）＝e1﹣t+（a+1）lnt﹣at＜e+（a+1）lnt＝0，
因此，g（x）在（0，1）上也存在一个零点．
综上可知，a的取值范围为；
②证明：设G（x）＝g（1﹣x）﹣g（1+x）（0＜x＜1），其中．
则，
由（1）可知，从而，
因此，
所以对任意a＞0，恒有G（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递减，
从而G（x）＜G（0）＝0，
即g（1﹣x）＜g（1+x）．
令x1＝1﹣x，则g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2），又2﹣x1＞1，x2＞1，且g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/2 21:02:15；用户：高中数学朱老师；邮箱：orFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0ofc@weixin.jyeoo.com；学号：37103942