广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性训练提升新人教版选择性必修第二册

这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性训练提升新人教版选择性必修第二册，共7页。
5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性课后·训练提升基础巩固1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是(　　)答案:D解析:∵函数f(x)在区间(0,+∞),(-∞,0)内都单调递减,∴当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)<0.故选D.2.若a>0,且f(x)=x3-ax在区间[1,+∞)内单调递增,则a的取值范围是(　　)A.(0,3) B.(0,3]C.(3,+∞) D.[3,+∞)答案:B解析:由题意得,f'(x)=3x2-a≥0在区间[1,+∞)内恒成立,所以a≤(3x2)min=3,又a>0,所以0<a≤3.3.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(　　)A.y=sin x B.y=xexC.y=x3-x D.y=ln x-x答案:B解析:B项中,y=xex,y'=ex+xex=ex(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故y=xex在区间(0,+∞)内单调递增.4.(多选题)若函数y=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的为(　　)A.f(x)=2-x B.f(x)=3-xC.f(x)=x3 D.f(x)=x2+2答案:AD解析:A中,exf(x)=ex·2-x=在R内单调递增,故f(x)=2-x具有M性质;B中,exf(x)=ex·3-x=在R内单调递减,故f(x)=3-x不具有M性质;C中,exf(x)=ex·x3,令g(x)=ex·x3,则g'(x)=ex·x3+ex·3x2=x2ex(x+3),当x>-3时,g'(x)>0,当x<-3时,g'(x)<0,故exf(x)=ex·x3在区间(-∞,-3)内单调递减,在区间(-3,+∞)内单调递增,故f(x)=x3不具有M性质;D中,exf(x)=ex(x2+2),令g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2)+ex·2x=ex[(x+1)2+1]>0,得exf(x)=ex(x2+2)在R内单调递增,故f(x)=x2+2具有M性质.5.定义在R内的连续函数f(x),若(x-1)f'(x)<0,则下列各项正确的是(　　)A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小关系不定答案:C解析:∵(x-1)f'(x)<0,∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,在区间(-∞,1)内单调递增,∴f(0)<f(1),f(2)<f(1),∴f(0)+f(2)<2f(1).6.若y=sin x+ax在R内是增函数,则a的取值范围是　　　　　. 答案:[1,+∞)解析:由已知得y'=cosx+a≥0对x∈R恒成立,即a≥-cosx对x∈R恒成立.所以a≥1.7.已知函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(-∞,0),(2,+∞)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则a的值为　　　　　. 答案:-6解析:由题意得f'(x)=6x2+2ax=0的两根为0和2,可得a=-6.8.已知函数f(x)=3x-2sin x,若f(a2-3a)+f(3-a)<0,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案:(1,3)解析:函数f(x)的定义域为R.∵f(x)=3x-2sinx,f(-x)=-3x+2sinx=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.又f'(x)=3-2cosx>0,∴函数f(x)为增函数,f(a2-3a)+f(3-a)<0,即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),即a2-3a<a-3,解得1<a<3.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)<2,则不等式f(x)>2x-1的解集为　　　　. 答案:(-∞,1)解析:令g(x)=f(x)-2x+1,则g'(x)=f'(x)-2<0,又g(1)=f(1)-2×1+1=0,所以当g(x)>g(1)=0时,x<1,所以f(x)-2x+1>0,即f(x)>2x-1的解集为(-∞,1).10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x2+2bx+c.由f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1.又f'(-1)=6,所以有解得b=c=-3.故所求函数解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x-3.令f'(x)>0,得x<1-或x>1+;令f'(x)<0,得1-<x<1+.故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-),(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).11.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.解:(1)当a=-时,f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1),f'(x)=-x+=-(x>-1).当f'(x)>0时,解得-1<x<1;当f'(x)<0时,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=-=-,易知当x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=-,则a≤-.故实数a的取值范围为.能力提升1.函数f(x)=的图象大致为(　　)答案:B解析:函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除选项A;当x>0时,f(x)>0,且f'(x)=,故当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,排除选项C;当x<0时,函数f(x)=<0,排除选项D,故选B.2.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)A. B. C.(1,2] D.[1,2)答案:A解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-.由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数f(x)在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<.又因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以k-1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.3.(多选题)下列不等式正确的是(　　)A.>ln 2 B.ln 2<lnC.ln 2< D.>5答案:ABC解析:构造函数f(x)=,导数为f'(x)=.当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∵32>23,y=lnx在定义域上单调递增,∴ln32>ln23,即2ln3>3ln2,∴>ln2,故A正确;∵e>>2,∴f>f(2),∴,lnln2,故B正确;∵f(2)<f(e)=,∴,即ln2<,故C正确;∵e>>2,∴f()>f(2),∴,∴2lnln2,∴ln()2>ln,∴5>,故D错误.故选ABC.4.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为　. 答案:(-∞,-1)∪(0,1)解析:由xf'(x)<0,可得由题图可知当-1<x<1时,f'(x)<0,当x<-1或x>1时,f'(x)>0,则解得0<x<1或x<-1.故xf'(x)<0的解集为(0,1)∪(-∞,-1).5.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是　　　　　. 答案:(0,+∞)解析:∵y'=-4x2+a,且y=-x3+ax有三个单调区间,∴方程y'=-4x2+a=0有两个不相等的实根,∴Δ=02-4×(-4)×a>0,∴a>0.6.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在区间(-1,+∞)内单调递减,则b的取值范围是　　　　　. 答案:(-∞,-1]解析:f'(x)=-x+,由题意知f'(x)=-x+≤0在区间(-1,+∞)内恒成立,即≤x在区间(-1,+∞)内恒成立,∵x>-1,∴x+2>1>0,∴b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)内恒成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1,∵x>-1,∴y>-1,∴要使b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)内恒成立,则有b≤-1.7.已知函数f(x)=+aln x+x,且曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-2x+2平行,则a=　　　　　,函数f(x)的单调递增区间是　　　　　. 答案:-1　(2,+∞)解析:f(x)=+alnx+x,定义域为(0,+∞),f'(x)=-+1=.由题知f'(1)=a-1=-2,解得a=-1,故f'(x)=,令f'(x)=0,得x1=2或x2=-1(舍).f'(x)>0,即x2-x-2>0,且x>0,得x>2,故函数y=f(x)的单调递增区间为(2,+∞).8.若f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上单调递增,则a的取值范围是　　　　　. 答案:[-1,1]解析:f'(x)=2·,∵f(x)在区间[-1,1]上单调递增,∴f'(x)=2·≥0在区间[-1,1]上恒成立.∵(x2+2)2>0,∴x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.令g(x)=x2-ax-2,则即∴-1≤a≤1.故a的取值范围是[-1,1].9.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　. 答案:(-∞,-1)∪(0,1)解析:因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.又当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)='=<0,故g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增.所以当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔<0⇔f(x)>0.综上所述,使f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).10.设函数f(x)=xekx(k≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.解:(1)由f'(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0).若k>0,则当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.若k<0,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述,当k>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;当k<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即0<k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.若k<0,则当且仅当-≥1,即-1≤k<0时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.综上可知,当函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].11.已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,试讨论f(x)的单调性.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.令g(x)=x2-ax+2,Δ=a2-8.①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0,都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;②当Δ=0,即a=2时,当且仅当x=时,有f'(x)=0,对定义域内其余的x都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实根,x1=,x2=,0<x1<x2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增f(x1)单调递减f(x2)单调递增故f(x)在区间和区间内单调递增;在区间内单调递减.