广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用过关检测A卷新人教版选择性必修第二册

这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用过关检测A卷新人教版选择性必修第二册，共8页。
第五章过关检测(A卷)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于(　　)
A.sin α B.cos α
C.2α+sin α D.2α-sin α
答案:A
解析:f'(x)=(α2-cosx)'=sinx,当x=α时,f'(α)=sinα.
2.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=(　　)
A.1 B. C.- D.-1
答案:A
解析:y'=2ax,于是切线斜率k=2a,由题意知2a=2,解得a=1.
3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
答案:D
解析:f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,故函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
4.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.不存在
答案:A
解析:因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.
5.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(　　)
A.2 B.1 C.0 D.由a确定
答案:C
解析:∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,
∴函数f(x)在R内单调递增,无极值.
故选C.
6.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f'(x)的图象,则f(-1)的值为(　　)

(1)

(2)

(3)
A. B.- C. D.-
答案:B
解析:f'(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是题图(1),题图(2)中,a=0,f'(x)=x2-1,与已知矛盾,故f'(x)的图象为题图(3).
∴f'(0)=0,即a2-1=0,解得a=±1,又其图象的对称轴在y轴右边,故a=-1,
∴f(x)=x3-x2+1,
∴f(-1)=-.
7.已知y=f(x)是定义在R内的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是(　　)
A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案:C
解析:不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0,设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R内单调递增,又g(1)=f(1)-1=0,∴f(x)>x⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1).∴x>1.故选C.
8.若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在R内为增函数,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,1] B.
C. D.
答案:C
解析:由题意,得f'(x)=1-cos2x+acosx≥0在R内恒成立,
即-cos2x+acosx+≥0在R内恒成立.
设t=cosx(-1≤t≤1),则g(t)=-t2+at+(-1≤t≤1),
则g(t)≥0在区间[-1,1]上恒成立,
于是有
解得-≤a≤,
故所求a的取值范围为.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列函数中,存在极值点的是(　　)
A.y=x- B.y=3x2+3x
C.y=-2x3-x D.y=xln x
答案:BD
解析:A中,函数y=x-,则y'=1+>0,
故函数y=x-在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,没有极值点,A不符合题意;
B中,函数y=3x2+3x,则y'=6x+3,当x∈时,y'0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以选项C不符合题意;
对于选项D,因为f'(x)=2x,存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1,所以选项D符合题意.
故选AD.
12.已知函数f(x)=则(　　)
A.若f(x)有两个极值点,则a=0或-
D.使f(x)的图象连续的a有3个取值
答案:CD
解析:作出函数y=x和y=4x3-3x的图象,如图所示.

对于选项A,若f(x)有两个极值点,则a=0或a>,所以选项A错误;对于选项B,当a=0时,x=0是函数f(x)的极小值点,所以选项B错误;对于选项C,由图易知正确;对于选项D,使f(x)的图象连续的a有3个取值,即-1,0,1,所以选项D正确.
故选CD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.
13.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为　　　　　. 
答案:(0,1)
解析:f'(x)=-1,令f'(x)=-1>0,解不等式得x0,则a的值为　　　　　. 
答案:　1
解析:f(x)的定义域为(-a,+∞),
f'(x)=1-.
当a=2时,f'(x)=1-,
故f'(0)=1-.
由f'(x)=0,解得x=1-a>-a.
当-a0,f(x)在区间(1-a,+∞)内单调递增.
因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
16.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则g(a),f(b)的大小关系为　　　　　　　　. 
答案:g(a)0,所以g(a)0).
(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值.
解:(1)由已知可得f(0)=1,f'(x)=+x-a=,则f'(0)=0,所以函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令f'(x)=0,即=0,解得x=0或x=a-1.
当a>1时,f(x),f'(x)随x变化的变化情况如下表.
x
(-1,0)
0
(0,a-1)
a-1
(a-1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
可知f(x)的单调递减区间是(0,a-1),单调递增区间是(-1,0)和(a-1,+∞),极大值为f(0)=1,极小值为f(a-1)=alna-a2+.
19.(12分)已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
解:(1)由a=0,且f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,得m≤在区间(1,+∞)内恒成立,令g(x)=,
则g'(x)=,
故g'(e)=0,当x∈(1,e)时,g'(x)0),
则h'(x)==-.
所以当x≠1时,h'(x)0,>0,
所以f(x)>;
当x∈(1,+∞)时,h(x)0,且x≠1时,f(x)>.
22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x21时,g'(x)1时,g(x)